Theorem nnm1 8637

Description: Multiply an element of ω by 1_o. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem nnm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8452	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	oveq2i 7422	. 2 ⊢ (𝐴 ·o 1o) = (𝐴 ·o suc ∅)
3		peano1 7884	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
4		nnmsuc 8592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 ·o suc ∅) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc ∅) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
6		nnm0 8590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
7	6	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴) = (∅ +o 𝐴))
8		nna0r 8594	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∅ +o 𝐴) = 𝐴)
9	5, 7, 8	3eqtrd 2808	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc ∅) = 𝐴)
10	2, 9	eqtrid 2816	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∅c0 4294  suc csuc 6363  (class class class)co 7411  ωcom 7861  1_oc1o 8445   +_o coa 8449   ·_o comu 8450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-omul 8457

This theorem is referenced by:  nnm2  8638  mulidpi  10870