MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnm1 7935
Description: Multiply an element of ω by 1𝑜. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm1 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 1𝑜) = 𝐴)

Proof of Theorem nnm1
StepHypRef Expression
1 df-1o 7766 . . 3 1𝑜 = suc ∅
21oveq2i 6855 . 2 (𝐴 ·𝑜 1𝑜) = (𝐴 ·𝑜 suc ∅)
3 peano1 7285 . . . 4 ∅ ∈ ω
4 nnmsuc 7894 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 ·𝑜 suc ∅) = ((𝐴 ·𝑜 ∅) +𝑜 𝐴))
53, 4mpan2 682 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 suc ∅) = ((𝐴 ·𝑜 ∅) +𝑜 𝐴))
6 nnm0 7892 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 ∅) = ∅)
76oveq1d 6859 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ·𝑜 ∅) +𝑜 𝐴) = (∅ +𝑜 𝐴))
8 nna0r 7896 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (∅ +𝑜 𝐴) = 𝐴)
95, 7, 83eqtrd 2803 . 2 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 suc ∅) = 𝐴)
102, 9syl5eq 2811 1 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 1𝑜) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  c0 4081  suc csuc 5912  (class class class)co 6844  ωcom 7265  1𝑜c1o 7759   +𝑜 coa 7763   ·𝑜 comu 7764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-omul 7771
This theorem is referenced by:  nnm2  7936  mulidpi  9963
  Copyright terms: Public domain W3C validator