Theorem nnm1 8073

Description: Multiply an element of ω by 1_o. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem nnm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 7903	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	oveq2i 6985	. 2 ⊢ (𝐴 ·o 1o) = (𝐴 ·o suc ∅)
3		peano1 7414	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
4		nnmsuc 8032	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 ·o suc ∅) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 679	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc ∅) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
6		nnm0 8030	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
7	6	oveq1d 6989	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴) = (∅ +o 𝐴))
8		nna0r 8034	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∅ +o 𝐴) = 𝐴)
9	5, 7, 8	3eqtrd 2811	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc ∅) = 𝐴)
10	2, 9	syl5eq 2819	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∅c0 4172  suc csuc 6028  (class class class)co 6974  ωcom 7394  1_oc1o 7896   +_o coa 7900   ·_o comu 7901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-omul 7908

This theorem is referenced by:  nnm2  8074  mulidpi  10104