Theorem nnm0 7931

Description: Multiplication with zero. Theorem 4J(A1) of [Enderton] p. 80. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnm0	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 ∅) = ∅)

Proof of Theorem nnm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7310	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		om0 7843	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·𝑜 ∅) = ∅)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 ∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1637   ∈ wcel 2157  ∅c0 4127  Oncon0 5949  (class class class)co 6883  ωcom 7304   ·_𝑜 comu 7803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-om 7305  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-omul 7810

This theorem is referenced by:  nnmcl  7938  nndi  7949  nnmass  7950  nnmsucr  7951  nnmcom  7952  omabs  7973  nnm1  7974