Theorem nnm2 8635

Description: Multiply an element of ω by 2_o. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm2	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴))

Proof of Theorem nnm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8450	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	oveq2i 7421	. 2 ⊢ (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 ·o suc 1o)
3		1onn 8622	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
4		nnmsuc 8589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (𝐴 ·o suc 1o) = ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc 1o) = ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴))
6		nnm1 8634	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
7	6	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴) = (𝐴 +o 𝐴))
8	5, 7	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc 1o) = (𝐴 +o 𝐴))
9	2, 8	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  suc csuc 6362  (class class class)co 7410  ωcom 7858  1_oc1o 8442  2_oc2o 8443   +_o coa 8446   ·_o comu 8447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454

This theorem is referenced by:  nn2m  8636  omopthlem1  8641  omopthlem2  8642