MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnm2 8013
Description: Multiply an element of ω by 2o. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm2 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴))

Proof of Theorem nnm2
StepHypRef Expression
1 df-2o 7844 . . 3 2o = suc 1o
21oveq2i 6933 . 2 (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 ·o suc 1o)
3 1onn 8003 . . . 4 1o ∈ ω
4 nnmsuc 7971 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (𝐴 ·o suc 1o) = ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴))
53, 4mpan2 681 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc 1o) = ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴))
6 nnm1 8012 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
76oveq1d 6937 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴) = (𝐴 +o 𝐴))
85, 7eqtrd 2814 . 2 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc 1o) = (𝐴 +o 𝐴))
92, 8syl5eq 2826 1 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  suc csuc 5978  (class class class)co 6922  ωcom 7343  1oc1o 7836  2oc2o 7837   +o coa 7840   ·o comu 7841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848
This theorem is referenced by:  nn2m  8014  omopthlem1  8019  omopthlem2  8020
  Copyright terms: Public domain W3C validator