Theorem nnm2 8649

Description: Multiply an element of ω by 2_o. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm2	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴))

Proof of Theorem nnm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8463	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	oveq2i 7413	. 2 ⊢ (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 ·o suc 1o)
3		1onn 8636	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
4		nnmsuc 8603	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (𝐴 ·o suc 1o) = ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc 1o) = ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴))
6		nnm1 8648	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
7	6	oveq1d 7417	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴) = (𝐴 +o 𝐴))
8	5, 7	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc 1o) = (𝐴 +o 𝐴))
9	2, 8	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  suc csuc 6357  (class class class)co 7402  ωcom 7849  1_oc1o 8455  2_oc2o 8456   +_o coa 8459   ·_o comu 8460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467

This theorem is referenced by:  nn2m  8650  omopthlem1  8655  omopthlem2  8656