Theorem ntrss 23011

Description: Subset relationship for interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntrss	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ntrss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sscon 4097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 → (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑇))
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑇))
3		difss 4090	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑇) ⊆ 𝑋
4	2, 3	jctil 519	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((𝑋 ∖ 𝑇) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑇)))
5		clscld.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
6	5	clsss 23010	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∖ 𝑇) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑇)) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇)))
7	6	3expb 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑋 ∖ 𝑇) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑇))) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇)))
8	4, 7	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇)))
9	8	sscond 4100	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆)) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇))) ⊆ (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆))))
10		sstr2 3942	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝑋 → 𝑇 ⊆ 𝑋))
11	10	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑋)
12	5	ntrval2 23007	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑇 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑇) = (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇))))
13	11, 12	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑇) = (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇))))
14	5	ntrval2 23007	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆))))
15	14	adantrr 718	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆))))
16	9, 13, 15	3sstr4d 3991	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))
17	16	3impb 1115	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6500  Topctop 22849  intcnt 22973  clsccl 22974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-top 22850  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977

This theorem is referenced by:  ntrin  23017  ntrcls0  23032  dvreslem  25878  dvres2lem  25879  dvaddbr  25908  dvmulbr  25909  dvmulbrOLD  25910  dvcnvrelem2  25991  ntruni  36540  cldregopn  36544  limciccioolb  45975  limcicciooub  45989  cncfiooicclem1  46245