Theorem ntrss 23045

Description: Subset relationship for interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntrss	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ntrss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sscon 4080	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 → (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑇))
2	1	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑇))
3		difss 4073	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑇) ⊆ 𝑋
4	2, 3	jctil 524	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((𝑋 ∖ 𝑇) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑇)))
5		clscld.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
6	5	clsss 23044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∖ 𝑇) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑇)) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇)))
7	6	3expb 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑋 ∖ 𝑇) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑇))) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇)))
8	4, 7	sylan2 599	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇)))
9	8	sscond 4083	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆)) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇))) ⊆ (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆))))
10		sstr2 3929	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝑋 → 𝑇 ⊆ 𝑋))
11	10	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑋)
12	5	ntrval2 23041	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑇 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑇) = (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇))))
13	11, 12	sylan2 599	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑇) = (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇))))
14	5	ntrval2 23041	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆))))
15	14	adantrr 723	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆))))
16	9, 13, 15	3sstr4d 3977	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))
17	16	3impb 1120	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4845  ‘cfv 6492  Topctop 22883  intcnt 23007  clsccl 23008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-top 22884  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011

This theorem is referenced by:  ntrin  23051  ntrcls0  23066  dvreslem  25901  dvres2lem  25902  dvaddbr  25930  dvmulbr  25931  dvcnvrelem2  26010  ntruni  36562  cldregopn  36566  limciccioolb  46073  limcicciooub  46087  cncfiooicclem1  46343