Theorem ntrss 22948

Description: Subset relationship for interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntrss	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ntrss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sscon 4108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 → (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑇))
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑇))
3		difss 4101	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑇) ⊆ 𝑋
4	2, 3	jctil 519	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((𝑋 ∖ 𝑇) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑇)))
5		clscld.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
6	5	clsss 22947	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 ∖ 𝑇) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑇)) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇)))
7	6	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑋 ∖ 𝑇) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑇))) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇)))
8	4, 7	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇)))
9	8	sscond 4111	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆)) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇))) ⊆ (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆))))
10		sstr2 3955	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝑋 → 𝑇 ⊆ 𝑋))
11	10	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑋)
12	5	ntrval2 22944	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑇 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑇) = (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇))))
13	11, 12	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑇) = (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑇))))
14	5	ntrval2 22944	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆))))
15	14	adantrr 717	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋 ∖ 𝑆))))
16	9, 13, 15	3sstr4d 4004	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))
17	16	3impb 1114	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3913   ⊆ wss 3916  ∪ cuni 4873  ‘cfv 6513  Topctop 22786  intcnt 22910  clsccl 22911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-top 22787  df-cld 22912  df-ntr 22913  df-cls 22914

This theorem is referenced by:  ntrin  22954  ntrcls0  22969  dvreslem  25816  dvres2lem  25817  dvaddbr  25846  dvmulbr  25847  dvmulbrOLD  25848  dvcnvrelem2  25929  ntruni  36310  cldregopn  36314  limciccioolb  45612  limcicciooub  45628  cncfiooicclem1  45884