Theorem dvmulbrOLD 25858

Description: Obsolete version of dvmulbr 25857 as of 10-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶ℂ)
dvadd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑆)
dvaddbr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvadd.bf	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvadd.bg	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
dvadd.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
dvmulbrOLD	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))))

Proof of Theorem dvmulbrOLD

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadd.bf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆)
3		dvadd.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
5		dvaddbr.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		dvadd.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7		dvadd.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	eldv 25815	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
9	1, 8	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
10	9	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋))
11		dvadd.bg	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
12		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
13		dvadd.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶ℂ)
14		dvadd.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑆)
15	2, 3, 12, 5, 13, 14	eldv 25815	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
16	11, 15	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
17	16	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌))
18	10, 17	elind 4153	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌)))
19	3	cnfldtopon 24686	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
20		resttopon 23064	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
21	19, 5, 20	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
22		topontop 22816	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top)
24		toponuni 22817	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
25	21, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
26	7, 25	sseqtrd 3974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
27	14, 25	sseqtrd 3974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
28		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)
29	28	ntrin 22964	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌)))
30	23, 26, 27, 29	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌)))
31	18, 30	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
32	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
33		inss1 4190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
34		eldifi 4084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
36	33, 35	sselid 3935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ 𝑋)
37	32, 36	ffvelcdmd 7023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
38	5, 6, 7	dvbss 25818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
39		reldv 25787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel (𝑆 D 𝐹)
40		releldm 5890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
41	39, 1, 40	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
42	38, 41	sseldd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
43	6, 42	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
45	37, 44	subcld 11493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
46	7, 5	sstrd 3948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑋 ⊆ ℂ)
48	47, 36	sseldd 3938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ ℂ)
49	46, 42	sseldd 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
50	49	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
51	48, 50	subcld 11493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧 − 𝐶) ∈ ℂ)
52		eldifsni 4744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧 ≠ 𝐶)
53	52	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ≠ 𝐶)
54	48, 50, 53	subne0d 11502	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧 − 𝐶) ≠ 0)
55	45, 51, 54	divcld 11918	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
56	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐺:𝑌⟶ℂ)
57		inss2 4191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
58	57, 35	sselid 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ 𝑌)
59	56, 58	ffvelcdmd 7023	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
60	55, 59	mulcld 11154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
61		ssdif 4097	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑌 ∖ {𝐶}))
62	57, 61	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑌 ∖ {𝐶}))
63	62	sselda 3937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}))
64	14, 5	sstrd 3948	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
65	5, 13, 14	dvbss 25818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) ⊆ 𝑌)
66		reldv 25787	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (𝑆 D 𝐺)
67		releldm 5890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Rel (𝑆 D 𝐺) ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
68	66, 11, 67	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
69	65, 68	sseldd 3938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑌)
70	13, 64, 69	dvlem 25813	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
71	63, 70	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
72	71, 44	mulcld 11154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
73		ssidd 3961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
74		txtopon 23494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
75	19, 19, 74	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
76	75	toponrestid 22824	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
77	9	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
78	6, 46, 42	dvlem 25813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
79	78	fmpttd 7053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
80		ssdif 4097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∖ {𝐶}))
81	33, 80	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∖ {𝐶}))
82	46	ssdifssd 4100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
83		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
84	33, 7	sstrid 3949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑆)
85	84, 25	sseqtrd 3974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
86		difssd 4090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
87	85, 86	unssd 4145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋)) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
88		ssun1 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋)))
90	28	ntrss 22958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋)) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))))
91	23, 87, 89, 90	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))))
92	91, 31	sseldd 3938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))))
93	92, 42	elind 4153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
94	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋)
95		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋) = ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋)
96	28, 95	restntr 23085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋) → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
97	23, 26, 94, 96	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
98	3	cnfldtop 24687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐽 ∈ Top
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
100		cnex 11109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ ∈ V
101		ssexg 5265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
102	5, 100, 101	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
103		restabs 23068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋) = (𝐽 ↾t 𝑋))
104	99, 7, 102, 103	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋) = (𝐽 ↾t 𝑋))
105	104	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋)) = (int‘(𝐽 ↾t 𝑋)))
106	105	fveq1d 6828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
107	97, 106	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
108	93, 107	eleqtrd 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
109		undif1 4429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∪ {𝐶})
110	42	snssd 4763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝑋)
111		ssequn2 4142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝐶} ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∪ {𝐶}) = 𝑋)
112	110, 111	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∪ {𝐶}) = 𝑋)
113	109, 112	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = 𝑋)
114	113	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽 ↾t 𝑋))
115	114	fveq2d 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽 ↾t 𝑋)))
116		undif1 4429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ {𝐶})
117	42, 69	elind 4153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
118	117	snssd 4763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
119		ssequn2 4142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐶} ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∩ 𝑌))
120	118, 119	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∩ 𝑌))
121	116, 120	eqtrid 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∩ 𝑌))
122	115, 121	fveq12d 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
123	108, 122	eleqtrrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
124	79, 81, 82, 3, 83, 123	limcres 25803	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
125	81	resmptd 5995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))))
126	125	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
127	124, 126	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
128	77, 127	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
129		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌)
130	129, 3	dvcnp2 25837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ 𝑌 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺)) → 𝐺 ∈ (((𝐽 ↾t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶))
131	5, 13, 14, 68, 130	syl31anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (((𝐽 ↾t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶))
132	3, 129	cnplimc 25804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) → (𝐺 ∈ (((𝐽 ↾t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺‘𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐶))))
133	64, 69, 132	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (((𝐽 ↾t 𝑌) CnP 𝐽)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺‘𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐶))))
134	131, 133	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ (𝐺‘𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐶)))
135	134	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ (𝐺 limℂ 𝐶))
136		difss 4089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)
137	136, 57	sstri 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌
138	137	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌)
139		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ↾t (𝑌 ∪ {𝐶})) = (𝐽 ↾t (𝑌 ∪ {𝐶}))
140		difssd 4090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
141	85, 140	unssd 4145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌)) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
142		ssun1 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌)))
144	28	ntrss 22958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌)) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))))
145	23, 141, 143, 144	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))))
146	145, 31	sseldd 3938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))))
147	146, 69	elind 4153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
148	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌)
149		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌) = ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌)
150	28, 149	restntr 23085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌) → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
151	23, 27, 148, 150	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
152		restabs 23068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌))
153	99, 14, 102, 152	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌))
154	153	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌)) = (int‘(𝐽 ↾t 𝑌)))
155	154	fveq1d 6828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
156	151, 155	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
157	147, 156	eleqtrd 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
158	69	snssd 4763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝑌)
159		ssequn2 4142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝐶} ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∪ {𝐶}) = 𝑌)
160	158, 159	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝐶}) = 𝑌)
161	160	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t (𝑌 ∪ {𝐶})) = (𝐽 ↾t 𝑌))
162	161	fveq2d 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝐽 ↾t (𝑌 ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽 ↾t 𝑌)))
163	162, 121	fveq12d 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t (𝑌 ∪ {𝐶})))‘(((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
164	157, 163	eleqtrrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t (𝑌 ∪ {𝐶})))‘(((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
165	13, 138, 64, 3, 139, 164	limcres 25803	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) limℂ 𝐶) = (𝐺 limℂ 𝐶))
166	13, 138	feqresmpt 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺‘𝑧)))
167	166	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺‘𝑧)) limℂ 𝐶))
168	165, 167	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺‘𝑧)) limℂ 𝐶))
169	135, 168	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐺‘𝑧)) limℂ 𝐶))
170	3	mulcn 24772	. . . . . 6 ⊢ · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
171	5, 6, 7	dvcl 25816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
172	1, 171	mpdan 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
173	13, 69	ffvelcdmd 7023	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
174	172, 173	opelxpd 5662	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, (𝐺‘𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
175	75	toponunii 22819	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
176	175	cncnpi 23181	. . . . . 6 ⊢ (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, (𝐺‘𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, (𝐺‘𝐶)⟩))
177	170, 174, 176	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, (𝐺‘𝐶)⟩))
178	55, 59, 73, 73, 3, 76, 128, 169, 177	limccnp2 25809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐺‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧))) limℂ 𝐶))
179	16	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
180	70	fmpttd 7053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))):(𝑌 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
181	64	ssdifssd 4100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
182		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
183		undif1 4429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑌 ∪ {𝐶})
184	183, 160	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = 𝑌)
185	184	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽 ↾t 𝑌))
186	185	fveq2d 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽 ↾t 𝑌)))
187	186, 121	fveq12d 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
188	157, 187	eleqtrrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
189	180, 62, 181, 3, 182, 188	limcres 25803	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
190	62	resmptd 5995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))))
191	190	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
192	189, 191	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
193	179, 192	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
194	84, 5	sstrd 3948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ℂ)
195		cncfmptc 24821	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↦ (𝐹‘𝐶)) ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌)–cn→ℂ))
196	43, 194, 73, 195	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↦ (𝐹‘𝐶)) ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌)–cn→ℂ))
197		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
198	196, 117, 197	cnmptlimc 25807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶))
199	43	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
200	199	fmpttd 7053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↦ (𝐹‘𝐶)):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶ℂ)
201	200	limcdif 25793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶) = (((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↦ (𝐹‘𝐶)) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) limℂ 𝐶))
202		resmpt 5992	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↦ (𝐹‘𝐶)) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐹‘𝐶)))
203	136, 202	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↦ (𝐹‘𝐶)) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐹‘𝐶)))
204	203	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↦ (𝐹‘𝐶)) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶))
205	201, 204	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶))
206	198, 205	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (𝐹‘𝐶)) limℂ 𝐶))
207	5, 13, 14	dvcl 25816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
208	11, 207	mpdan 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
209	208, 43	opelxpd 5662	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐿, (𝐹‘𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
210	175	cncnpi 23181	. . . . . 6 ⊢ (( · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐿, (𝐹‘𝐶)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐿, (𝐹‘𝐶)⟩))
211	170, 209, 210	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐿, (𝐹‘𝐶)⟩))
212	71, 44, 73, 73, 3, 76, 193, 206, 211	limccnp2 25809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · (𝐹‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) limℂ 𝐶))
213	3	addcn 24770	. . . . 5 ⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
214	172, 173	mulcld 11154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
215	208, 43	mulcld 11154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
216	214, 215	opelxpd 5662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐾 · (𝐺‘𝐶)), (𝐿 · (𝐹‘𝐶))⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
217	175	cncnpi 23181	. . . . 5 ⊢ (( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨(𝐾 · (𝐺‘𝐶)), (𝐿 · (𝐹‘𝐶))⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨(𝐾 · (𝐺‘𝐶)), (𝐿 · (𝐹‘𝐶))⟩))
218	213, 216, 217	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨(𝐾 · (𝐺‘𝐶)), (𝐿 · (𝐹‘𝐶))⟩))
219	60, 72, 73, 73, 3, 76, 178, 212, 218	limccnp2 25809	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)))) limℂ 𝐶))
220	42	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ 𝑋)
221	32, 220	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
222	37, 221	subcld 11493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
223	222, 59	mulcld 11154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
224	69	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ 𝑌)
225	56, 224	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
226	59, 225	subcld 11493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
227	226, 221	mulcld 11154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
228	47, 220	sseldd 3938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
229	48, 228	subcld 11493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧 − 𝐶) ∈ ℂ)
230	223, 227, 229, 54	divdird 11956	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) / (𝑧 − 𝐶)) = (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) / (𝑧 − 𝐶)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))))
231	37, 59	mulcld 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
232	221, 59	mulcld 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
233	221, 225	mulcld 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
234	231, 232, 233	npncand 11517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧))) + (((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)))) = (((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶))))
235	37, 221, 59	subdird 11595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧))))
236	226, 221	mulcomd 11155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) = ((𝐹‘𝐶) · ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
237	221, 59, 225	subdid 11594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹‘𝐶) · ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) = (((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶))))
238	236, 237	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) = (((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶))))
239	235, 238	oveq12d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) = ((((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧))) + (((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)))))
240	6	ffnd 6657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
241	240	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐹 Fn 𝑋)
242	13	ffnd 6657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑌)
243	242	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐺 Fn 𝑌)
244		ssexg 5265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
245	46, 100, 244	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
246	245	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑋 ∈ V)
247		ssexg 5265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
248	64, 100, 247	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
249	248	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑌 ∈ V)
250		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝑋 ∩ 𝑌)
251		eqidd 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
252		eqidd 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
253	241, 243, 246, 249, 250, 251, 252	ofval 7628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
254	35, 253	mpdan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
255		eqidd 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
256		eqidd 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))
257	241, 243, 246, 249, 250, 255, 256	ofval 7628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)))
258	117, 257	mpidan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶)))
259	254, 258	oveq12d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) · (𝐺‘𝐶))))
260	234, 239, 259	3eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) = (((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝐶)))
261	260	oveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶))) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
262	222, 59, 229, 54	div23d 11955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)))
263	226, 221, 229, 54	div23d 11955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)))
264	262, 263	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) / (𝑧 − 𝐶)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) · (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶))))
265	230, 261, 264	3eqtr3d 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶))))
266	265	mpteq2dva 5188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)))))
267	266	oveq1d 7368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐺‘𝑧)) + ((((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) · (𝐹‘𝐶)))) limℂ 𝐶))
268	219, 267	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
269		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
270		mulcl 11112	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
271	270	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
272	271, 6, 13, 245, 248, 250	off 7635	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶ℂ)
273	2, 3, 269, 5, 272, 84	eldv 25815	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ ((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f · 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
274	31, 268, 273	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘f · 𝐺))((𝐾 · (𝐺‘𝐶)) + (𝐿 · (𝐹‘𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4579  ⟨cop 4585  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  dom cdm 5623   ↾ cres 5625  Rel wrel 5628   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615  ℂcc 11026   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11365   / cdiv 11795   ↾_t crest 17342  TopOpenctopn 17343  ℂ_fldccnfld 21279  Topctop 22796  TopOnctopon 22813  intcnt 22920   Cn ccn 23127   CnP ccnp 23128   ×_t ctx 23463  –cn→ccncf 24785   lim_ℂ climc 25779   D cdv 25780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-limc 25783  df-dv 25784

This theorem is referenced by: (None)