Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvaddbr Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvadd 24639. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
dvaddbr (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹f + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2 eqid 2758 . . . . . . 7 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
3 dvadd.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4 eqid 2758 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)))
5 dvaddbr.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 dvadd.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
7 dvadd.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 24597 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
91, 8mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
109simpld 498 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋))
11 dvadd.bg . . . . . 6 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
12 eqid 2758 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
13 dvadd.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑌⟶ℂ)
14 dvadd.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑆)
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 24597 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
1611, 15mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
1716simpld 498 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌))
1810, 17elind 4099 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌)))
193cnfldtopon 23484 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
20 resttopon 21861 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
2119, 5, 20sylancr 590 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
22 topontop 21613 . . . . 5 ((𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
24 toponuni 21614 . . . . . 6 ((𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
2521, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (𝐽t 𝑆))
267, 25sseqtrd 3932 . . . 4 (𝜑𝑋 (𝐽t 𝑆))
2714, 25sseqtrd 3932 . . . 4 (𝜑𝑌 (𝐽t 𝑆))
28 eqid 2758 . . . . 5 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
2928ntrin 21761 . . . 4 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆) ∧ 𝑌 (𝐽t 𝑆)) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌)))
3023, 26, 27, 29syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌)))
3118, 30eleqtrrd 2855 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)))
32 inss1 4133 . . . . . . 7 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
33 ssdif 4045 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑋 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∖ {𝐶}))
3432, 33mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∖ {𝐶}))
3534sselda 3892 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}))
367, 5sstrd 3902 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
3728ntrss2 21757 . . . . . . . 8 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆)) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
3823, 26, 37syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
3938, 10sseldd 3893 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
406, 36, 39dvlem 24595 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
4135, 40syldan 594 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
42 inss2 4134 . . . . . . 7 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
43 ssdif 4045 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑌 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑌 ∖ {𝐶}))
4442, 43mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑌 ∖ {𝐶}))
4544sselda 3892 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}))
4614, 5sstrd 3902 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
4728ntrss2 21757 . . . . . . . 8 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑌 (𝐽t 𝑆)) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
4823, 27, 47syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
4948, 17sseldd 3893 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑌)
5013, 46, 49dvlem 24595 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
5145, 50syldan 594 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
52 ssidd 3915 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
53 txtopon 22291 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
5419, 19, 53mp2an 691 . . . . 5 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
5554toponrestid 21621 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
569simprd 499 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
5740fmpttd 6870 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
5836ssdifssd 4048 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
59 eqid 2758 . . . . . . 7 (𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
6032, 7sstrid 3903 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑆)
6160, 25sseqtrd 3932 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ (𝐽t 𝑆))
62 difssd 4038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋) ⊆ (𝐽t 𝑆))
6361, 62unssd 4091 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋)) ⊆ (𝐽t 𝑆))
64 ssun1 4077 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋)))
6628ntrss 21755 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋)) ⊆ (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))))
6723, 63, 65, 66syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))))
6867, 31sseldd 3893 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))))
6968, 39elind 4099 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
7032a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋)
71 eqid 2758 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋) = ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋)
7228, 71restntr 21882 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋) → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
7323, 26, 70, 72syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
743cnfldtop 23485 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ Top
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ Top)
76 cnex 10656 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ∈ V
77 ssexg 5193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
785, 76, 77sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ V)
79 restabs 21865 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋𝑆𝑆 ∈ V) → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋) = (𝐽t 𝑋))
8075, 7, 78, 79syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋) = (𝐽t 𝑋))
8180fveq2d 6662 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋)) = (int‘(𝐽t 𝑋)))
8281fveq1d 6660 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋𝑌)) = ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
8373, 82eqtr3d 2795 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋) = ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
8469, 83eleqtrd 2854 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
85 undif1 4372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∪ {𝐶})
8639snssd 4699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝑋)
87 ssequn2 4088 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐶} ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∪ {𝐶}) = 𝑋)
8886, 87sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ∪ {𝐶}) = 𝑋)
8985, 88syl5eq 2805 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = 𝑋)
9089oveq2d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t 𝑋))
9190fveq2d 6662 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (int‘(𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽t 𝑋)))
92 undif1 4372 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ((𝑋𝑌) ∪ {𝐶})
9339, 49elind 4099 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋𝑌))
9493snssd 4699 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐶} ⊆ (𝑋𝑌))
95 ssequn2 4088 . . . . . . . . . . 11 ({𝐶} ⊆ (𝑋𝑌) ↔ ((𝑋𝑌) ∪ {𝐶}) = (𝑋𝑌))
9694, 95sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∪ {𝐶}) = (𝑋𝑌))
9792, 96syl5eq 2805 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑋𝑌))
9891, 97fveq12d 6665 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
9984, 98eleqtrrd 2855 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
10057, 34, 58, 3, 59, 99limcres 24585 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
10134resmptd 5880 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))))
102101oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
103100, 102eqtr3d 2795 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
10456, 103eleqtrd 2854 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
10516simprd 499 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
10650fmpttd 6870 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))):(𝑌 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
10746ssdifssd 4048 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
108 eqid 2758 . . . . . . 7 (𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
109 difssd 4038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌) ⊆ (𝐽t 𝑆))
11061, 109unssd 4091 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌)) ⊆ (𝐽t 𝑆))
111 ssun1 4077 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌)))
11328ntrss 21755 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌)) ⊆ (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))))
11423, 110, 112, 113syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))))
115114, 31sseldd 3893 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))))
116115, 49elind 4099 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
11742a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌)
118 eqid 2758 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌) = ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌)
11928, 118restntr 21882 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑌 (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌) → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
12023, 27, 117, 119syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
121 restabs 21865 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑆𝑆 ∈ V) → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
12275, 14, 78, 121syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
123122fveq2d 6662 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌)) = (int‘(𝐽t 𝑌)))
124123fveq1d 6660 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋𝑌)) = ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
125120, 124eqtr3d 2795 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌) = ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
126116, 125eleqtrd 2854 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
127 undif1 4372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑌 ∪ {𝐶})
12849snssd 4699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝑌)
129 ssequn2 4088 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐶} ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∪ {𝐶}) = 𝑌)
130128, 129sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝐶}) = 𝑌)
131127, 130syl5eq 2805 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = 𝑌)
132131oveq2d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t 𝑌))
133132fveq2d 6662 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (int‘(𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽t 𝑌)))
134133, 97fveq12d 6665 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
135126, 134eleqtrrd 2855 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
136106, 44, 107, 3, 108, 135limcres 24585 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
13744resmptd 5880 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
138137oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
139136, 138eqtr3d 2795 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
140105, 139eleqtrd 2854 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
1413addcn 23566 . . . . 5 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1425, 6, 7dvcl 24598 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
1431, 142mpdan 686 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1445, 13, 14dvcl 24598 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
14511, 144mpdan 686 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
146143, 145opelxpd 5562 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
14754toponunii 21616 . . . . . 6 (ℂ × ℂ) = (𝐽 ×t 𝐽)
148147cncnpi 21978 . . . . 5 (( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
149141, 146, 148sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
15041, 51, 52, 52, 3, 55, 104, 140, 149limccnp2 24591 . . 3 (𝜑 → (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶))
151 eldifi 4032 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧 ∈ (𝑋𝑌))
152151adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑋𝑌))
1536ffnd 6499 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
154153adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐹 Fn 𝑋)
15513ffnd 6499 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 Fn 𝑌)
156155adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐺 Fn 𝑌)
157 ssexg 5193 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
15836, 76, 157sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ V)
159158adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑋 ∈ V)
160 ssexg 5193 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
16146, 76, 160sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ V)
162161adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑌 ∈ V)
163 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑌) = (𝑋𝑌)
164 eqidd 2759 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
165 eqidd 2759 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧𝑌) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
166154, 156, 159, 162, 163, 164, 165ofval 7415 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)))
167152, 166mpdan 686 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)))
168 eqidd 2759 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶𝑋) → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶))
169 eqidd 2759 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶𝑌) → (𝐺𝐶) = (𝐺𝐶))
170154, 156, 159, 162, 163, 168, 169ofval 7415 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶)))
17193, 170mpidan 688 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶)))
172167, 171oveq12d 7168 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶))))
173 difss 4037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋𝑌)
174173, 32sstri 3901 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑋
175174sseli 3888 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧𝑋)
176 ffvelrn 6840 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
1776, 175, 176syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
178173, 42sstri 3901 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌
179178sseli 3888 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧𝑌)
180 ffvelrn 6840 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ 𝑧𝑌) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
18113, 179, 180syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
1826, 39ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
183182adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
18413, 49ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
185184adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
186177, 181, 183, 185addsub4d 11082 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶))) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
187172, 186eqtrd 2793 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
188187oveq1d 7165 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
189177, 183subcld 11035 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
190181, 185subcld 11035 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
191174, 36sstrid 3903 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
192191sselda 3892 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ ℂ)
19336, 39sseldd 3893 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
194193adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
195192, 194subcld 11035 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
196 eldifsni 4680 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧𝐶)
197196adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧𝐶)
198192, 194, 197subne0d 11044 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ≠ 0)
199189, 190, 195, 198divdird 11492 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
200188, 199eqtrd 2793 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
201200mpteq2dva 5127 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))))
202201oveq1d 7165 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶))
203150, 202eleqtrrd 2855 . 2 (𝜑 → (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
204 eqid 2758 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
205 addcl 10657 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
206205adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
207206, 6, 13, 158, 161, 163off 7422 . . 3 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺):(𝑋𝑌)⟶ℂ)
2082, 3, 204, 5, 207, 60eldv 24597 . 2 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D (𝐹f + 𝐺))(𝐾 + 𝐿) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
20931, 203, 208mpbir2and 712 1 (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹f + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  Vcvv 3409   ∖ cdif 3855   ∪ cun 3856   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858  {csn 4522  ⟨cop 4528  ∪ cuni 4798   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112   × cxp 5522   ↾ cres 5526   Fn wfn 6330  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∘f cof 7403  ℂcc 10573   + caddc 10578   − cmin 10908   / cdiv 11335   ↾t crest 16752  TopOpenctopn 16753  ℂfldccnfld 20166  Topctop 21593  TopOnctopon 21610  intcnt 21717   Cn ccn 21924   CnP ccnp 21925   ×t ctx 22260   limℂ climc 24561   D cdv 24562 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-pt 16776  df-prds 16779  df-xrs 16833  df-qtop 16838  df-imas 16839  df-xps 16841  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-mulg 18292  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cld 21719  df-ntr 21720  df-cls 21721  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-tx 22262  df-hmeo 22455  df-xms 23022  df-ms 23023  df-tms 23024  df-limc 24565  df-dv 24566 This theorem is referenced by:  dvadd  24639  dvaddf  24641
 Copyright terms: Public domain W3C validator