Theorem dvaddbr 25927

Description: The sum rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvadd 25929. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Remove unnecessary hypotheses. (Revised by GG, 10-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶ℂ)
dvadd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑆)
dvaddbr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvadd.bf	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvadd.bg	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
dvadd.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
dvaddbr	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))

Proof of Theorem dvaddbr

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadd.bf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆)
3		dvadd.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
5		dvaddbr.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		dvadd.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7		dvadd.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	eldv 25887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
9	1, 8	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
10	9	simpld 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋))
11		dvadd.bg	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
12		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
13		dvadd.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶ℂ)
14		dvadd.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑆)
15	2, 3, 12, 5, 13, 14	eldv 25887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
16	11, 15	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
17	16	simpld 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌))
18	10, 17	elind 4132	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌)))
19	3	cnfldtopon 24769	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
20		resttopon 23148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
21	19, 5, 20	sylancr 594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
22		topontop 22900	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top)
24		toponuni 22901	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
25	21, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
26	7, 25	sseqtrd 3953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
27	14, 25	sseqtrd 3953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
28		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)
29	28	ntrin 23048	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌)))
30	23, 26, 27, 29	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌)))
31	18, 30	eleqtrrd 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
32		inss1 4168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
33		ssdif 4077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∖ {𝐶}))
34	32, 33	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∖ {𝐶}))
35	34	sselda 3917	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}))
36	7, 5	sstrd 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
37	28	ntrss2 23044	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
38	23, 26, 37	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
39	38, 10	sseldd 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
40	6, 36, 39	dvlem 25885	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
41	35, 40	syldan 598	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
42		inss2 4169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
43		ssdif 4077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑌 ∖ {𝐶}))
44	42, 43	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑌 ∖ {𝐶}))
45	44	sselda 3917	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}))
46	14, 5	sstrd 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
47	28	ntrss2 23044	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
48	23, 27, 47	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
49	48, 17	sseldd 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑌)
50	13, 46, 49	dvlem 25885	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
51	45, 50	syldan 598	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
52		ssidd 3940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
53		txtopon 23578	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
54	19, 19, 53	mp2an 699	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
55	54	toponrestid 22908	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
56	9	simprd 497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
57	40	fmpttd 7060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
58	36	ssdifssd 4080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
59		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
60	32, 7	sstrid 3928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑆)
61	60, 25	sseqtrd 3953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
62		difssd 4070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
63	61, 62	unssd 4124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋)) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
64		ssun1 4110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋)))
66	28	ntrss 23042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋)) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))))
67	23, 63, 65, 66	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))))
68	67, 31	sseldd 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))))
69	68, 39	elind 4132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
70	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋)
71		eqid 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋) = ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋)
72	28, 71	restntr 23169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋) → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
73	23, 26, 70, 72	syl3anc 1380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
74	3	cnfldtop 24770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐽 ∈ Top
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
76		cnex 11114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ ∈ V
77		ssexg 5254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
78	5, 76, 77	sylancl 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
79		restabs 23152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋) = (𝐽 ↾t 𝑋))
80	75, 7, 78, 79	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋) = (𝐽 ↾t 𝑋))
81	80	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋)) = (int‘(𝐽 ↾t 𝑋)))
82	81	fveq1d 6833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
83	73, 82	eqtr3d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
84	69, 83	eleqtrd 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
85		undif1 4407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∪ {𝐶})
86	39	snssd 4721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝑋)
87		ssequn2 4121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝐶} ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∪ {𝐶}) = 𝑋)
88	86, 87	sylib 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∪ {𝐶}) = 𝑋)
89	85, 88	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = 𝑋)
90	89	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽 ↾t 𝑋))
91	90	fveq2d 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽 ↾t 𝑋)))
92		undif1 4407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ {𝐶})
93	39, 49	elind 4132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
94	93	snssd 4721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
95		ssequn2 4121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐶} ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∩ 𝑌))
96	94, 95	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∩ 𝑌))
97	92, 96	eqtrid 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∩ 𝑌))
98	91, 97	fveq12d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
99	84, 98	eleqtrrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
100	57, 34, 58, 3, 59, 99	limcres 25875	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
101	34	resmptd 5999	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))))
102	101	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
103	100, 102	eqtr3d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
104	56, 103	eleqtrd 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
105	16	simprd 497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
106	50	fmpttd 7060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))):(𝑌 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
107	46	ssdifssd 4080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
108		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
109		difssd 4070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
110	61, 109	unssd 4124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌)) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
111		ssun1 4110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌)))
113	28	ntrss 23042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌)) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))))
114	23, 110, 112, 113	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))))
115	114, 31	sseldd 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))))
116	115, 49	elind 4132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
117	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌)
118		eqid 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌) = ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌)
119	28, 118	restntr 23169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌) → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
120	23, 27, 117, 119	syl3anc 1380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
121		restabs 23152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌))
122	75, 14, 78, 121	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌))
123	122	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌)) = (int‘(𝐽 ↾t 𝑌)))
124	123	fveq1d 6833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
125	120, 124	eqtr3d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
126	116, 125	eleqtrd 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
127		undif1 4407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑌 ∪ {𝐶})
128	49	snssd 4721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝑌)
129		ssequn2 4121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝐶} ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∪ {𝐶}) = 𝑌)
130	128, 129	sylib 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝐶}) = 𝑌)
131	127, 130	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = 𝑌)
132	131	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽 ↾t 𝑌))
133	132	fveq2d 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽 ↾t 𝑌)))
134	133, 97	fveq12d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
135	126, 134	eleqtrrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
136	106, 44, 107, 3, 108, 135	limcres 25875	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
137	44	resmptd 5999	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))))
138	137	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
139	136, 138	eqtr3d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
140	105, 139	eleqtrd 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
141	3	addcn 24853	. . . . 5 ⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
142	5, 6, 7	dvcl 25888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
143	1, 142	mpdan 694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
144	5, 13, 14	dvcl 25888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
145	11, 144	mpdan 694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
146	143, 145	opelxpd 5660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
147	54	toponunii 22903	. . . . . 6 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
148	147	cncnpi 23265	. . . . 5 ⊢ (( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
149	141, 146, 148	sylancr 594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
150	41, 51, 52, 52, 3, 55, 104, 140, 149	limccnp2 25881	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))) limℂ 𝐶))
151		eldifi 4064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
152	151	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
153	6	ffnd 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
154	153	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐹 Fn 𝑋)
155	13	ffnd 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑌)
156	155	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐺 Fn 𝑌)
157		ssexg 5254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
158	36, 76, 157	sylancl 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
159	158	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑋 ∈ V)
160		ssexg 5254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
161	46, 76, 160	sylancl 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
162	161	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑌 ∈ V)
163		eqid 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝑋 ∩ 𝑌)
164		eqidd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
165		eqidd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
166	154, 156, 159, 162, 163, 164, 165	ofval 7635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)))
167	152, 166	mpdan 694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)))
168		eqidd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
169		eqidd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))
170	154, 156, 159, 162, 163, 168, 169	ofval 7635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) + (𝐺‘𝐶)))
171	93, 170	mpidan 696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) + (𝐺‘𝐶)))
172	167, 171	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) + (𝐺‘𝐶))))
173		difss 4069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)
174	173, 32	sstri 3926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑋
175	174	sseli 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧 ∈ 𝑋)
176		ffvelcdm 7026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
177	6, 175, 176	syl2an 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
178	173, 42	sstri 3926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌
179	178	sseli 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧 ∈ 𝑌)
180		ffvelcdm 7026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
181	13, 179, 180	syl2an 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
182	6, 39	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
183	182	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
184	13, 49	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
185	184	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
186	177, 181, 183, 185	addsub4d 11547	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) + (𝐺‘𝐶))) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) + ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
187	172, 186	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) + ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
188	187	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) + ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) / (𝑧 − 𝐶)))
189	177, 183	subcld 11500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
190	181, 185	subcld 11500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
191	174, 36	sstrid 3928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
192	191	sselda 3917	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ ℂ)
193	36, 39	sseldd 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
194	193	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
195	192, 194	subcld 11500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧 − 𝐶) ∈ ℂ)
196		eldifsni 4726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧 ≠ 𝐶)
197	196	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ≠ 𝐶)
198	192, 194, 197	subne0d 11509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧 − 𝐶) ≠ 0)
199	189, 190, 195, 198	divdird 11964	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) + ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))))
200	188, 199	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))))
201	200	mpteq2dva 5168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))))
202	201	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))) limℂ 𝐶))
203	150, 202	eleqtrrd 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
204		eqid 2741	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
205		addcl 11115	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
206	205	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
207	206, 6, 13, 158, 161, 163	off 7642	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶ℂ)
208	2, 3, 204, 5, 207, 60	eldv 25887	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))(𝐾 + 𝐿) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
209	31, 203, 208	mpbir2and 720	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  Vcvv 3433   ∖ cdif 3882   ∪ cun 3883   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  {csn 4558  ⟨cop 4564  ∪ cuni 4841   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156   × cxp 5619   ↾ cres 5623   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  ℂcc 11031   + caddc 11036   − cmin 11372   / cdiv 11802   ↾_t crest 17378  TopOpenctopn 17379  ℂ_fldccnfld 21351  Topctop 22880  TopOnctopon 22897  intcnt 23004   Cn ccn 23211   CnP ccnp 23212   ×_t ctx 23547   lim_ℂ climc 25851   D cdv 25852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-cnfld 21352  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22933  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-xms 24307  df-ms 24308  df-tms 24309  df-limc 25855  df-dv 25856

This theorem is referenced by:  dvadd  25929  dvaddf  25931