MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvaddbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvaddbr 25386
Description: The sum rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvadd 25388. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvadd.x (𝜑𝑋𝑆)
dvadd.g (𝜑𝐺:𝑌⟶ℂ)
dvadd.y (𝜑𝑌𝑆)
dvaddbr.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvadd.k (𝜑𝐾𝑉)
dvadd.l (𝜑𝐿𝑉)
dvadd.bf (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvadd.bg (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
dvadd.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dvaddbr (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹f + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))

Proof of Theorem dvaddbr
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
3 dvadd.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)))
5 dvaddbr.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 dvadd.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
7 dvadd.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 25346 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
91, 8mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
109simpld 495 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋))
11 dvadd.bg . . . . . 6 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
12 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
13 dvadd.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑌⟶ℂ)
14 dvadd.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑆)
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 25346 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
1611, 15mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶)))
1716simpld 495 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌))
1810, 17elind 4191 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌)))
193cnfldtopon 24230 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
20 resttopon 22596 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
2119, 5, 20sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
22 topontop 22346 . . . . 5 ((𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
24 toponuni 22347 . . . . . 6 ((𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
2521, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (𝐽t 𝑆))
267, 25sseqtrd 4019 . . . 4 (𝜑𝑋 (𝐽t 𝑆))
2714, 25sseqtrd 4019 . . . 4 (𝜑𝑌 (𝐽t 𝑆))
28 eqid 2732 . . . . 5 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
2928ntrin 22496 . . . 4 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆) ∧ 𝑌 (𝐽t 𝑆)) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌)))
3023, 26, 27, 29syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌)))
3118, 30eleqtrrd 2836 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)))
32 inss1 4225 . . . . . . 7 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
33 ssdif 4136 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑋 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∖ {𝐶}))
3432, 33mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∖ {𝐶}))
3534sselda 3979 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}))
367, 5sstrd 3989 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
3728ntrss2 22492 . . . . . . . 8 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆)) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
3823, 26, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
3938, 10sseldd 3980 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
406, 36, 39dvlem 25344 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
4135, 40syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
42 inss2 4226 . . . . . . 7 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
43 ssdif 4136 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑌 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑌 ∖ {𝐶}))
4442, 43mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑌 ∖ {𝐶}))
4544sselda 3979 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}))
4614, 5sstrd 3989 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
4728ntrss2 22492 . . . . . . . 8 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑌 (𝐽t 𝑆)) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
4823, 27, 47syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
4948, 17sseldd 3980 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑌)
5013, 46, 49dvlem 25344 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
5145, 50syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
52 ssidd 4002 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
53 txtopon 23026 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
5419, 19, 53mp2an 690 . . . . 5 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
5554toponrestid 22354 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
569simprd 496 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
5740fmpttd 7100 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
5836ssdifssd 4139 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
59 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
6032, 7sstrid 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑆)
6160, 25sseqtrd 4019 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ (𝐽t 𝑆))
62 difssd 4129 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋) ⊆ (𝐽t 𝑆))
6361, 62unssd 4183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋)) ⊆ (𝐽t 𝑆))
64 ssun1 4169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋)))
6628ntrss 22490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋)) ⊆ (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))))
6723, 63, 65, 66syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))))
6867, 31sseldd 3980 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))))
6968, 39elind 4191 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
7032a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋)
71 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋) = ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋)
7228, 71restntr 22617 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋) → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
7323, 26, 70, 72syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
743cnfldtop 24231 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ Top
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ Top)
76 cnex 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ∈ V
77 ssexg 5317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
785, 76, 77sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ V)
79 restabs 22600 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋𝑆𝑆 ∈ V) → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋) = (𝐽t 𝑋))
8075, 7, 78, 79syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋) = (𝐽t 𝑋))
8180fveq2d 6883 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋)) = (int‘(𝐽t 𝑋)))
8281fveq1d 6881 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋𝑌)) = ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
8373, 82eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋) = ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
8469, 83eleqtrd 2835 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
85 undif1 4472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∪ {𝐶})
8639snssd 4806 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝑋)
87 ssequn2 4180 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐶} ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∪ {𝐶}) = 𝑋)
8886, 87sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 ∪ {𝐶}) = 𝑋)
8985, 88eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = 𝑋)
9089oveq2d 7410 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t 𝑋))
9190fveq2d 6883 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (int‘(𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽t 𝑋)))
92 undif1 4472 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ((𝑋𝑌) ∪ {𝐶})
9339, 49elind 4191 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋𝑌))
9493snssd 4806 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐶} ⊆ (𝑋𝑌))
95 ssequn2 4180 . . . . . . . . . . 11 ({𝐶} ⊆ (𝑋𝑌) ↔ ((𝑋𝑌) ∪ {𝐶}) = (𝑋𝑌))
9694, 95sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∪ {𝐶}) = (𝑋𝑌))
9792, 96eqtrid 2784 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑋𝑌))
9891, 97fveq12d 6886 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽t 𝑋))‘(𝑋𝑌)))
9984, 98eleqtrrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
10057, 34, 58, 3, 59, 99limcres 25334 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
10134resmptd 6031 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))))
102101oveq1d 7409 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
103100, 102eqtr3d 2774 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
10456, 103eleqtrd 2835 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
10516simprd 496 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
10650fmpttd 7100 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))):(𝑌 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
10746ssdifssd 4139 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
108 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
109 difssd 4129 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌) ⊆ (𝐽t 𝑆))
11061, 109unssd 4183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌)) ⊆ (𝐽t 𝑆))
111 ssun1 4169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌)))
11328ntrss 22490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌)) ⊆ (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ ((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))))
11423, 110, 112, 113syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))))
115114, 31sseldd 3980 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))))
116115, 49elind 4191 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
11742a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌)
118 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌) = ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌)
11928, 118restntr 22617 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑌 (𝐽t 𝑆) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌) → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
12023, 27, 117, 119syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋𝑌)) = (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
121 restabs 22600 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝑆𝑆 ∈ V) → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
12275, 14, 78, 121syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
123122fveq2d 6883 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌)) = (int‘(𝐽t 𝑌)))
124123fveq1d 6881 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘((𝐽t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋𝑌)) = ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
125120, 124eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((int‘(𝐽t 𝑆))‘((𝑋𝑌) ∪ ( (𝐽t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌) = ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
126116, 125eleqtrd 2835 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
127 undif1 4472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑌 ∪ {𝐶})
12849snssd 4806 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝑌)
129 ssequn2 4180 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐶} ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∪ {𝐶}) = 𝑌)
130128, 129sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝐶}) = 𝑌)
131127, 130eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = 𝑌)
132131oveq2d 7410 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽t 𝑌))
133132fveq2d 6883 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (int‘(𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽t 𝑌)))
134133, 97fveq12d 6886 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽t 𝑌))‘(𝑋𝑌)))
135126, 134eleqtrrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
136106, 44, 107, 3, 108, 135limcres 25334 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
13744resmptd 6031 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
138137oveq1d 7409 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) ↾ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
139136, 138eqtr3d 2774 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
140105, 139eleqtrd 2835 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
1413addcn 24312 . . . . 5 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1425, 6, 7dvcl 25347 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
1431, 142mpdan 685 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1445, 13, 14dvcl 25347 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
14511, 144mpdan 685 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
146143, 145opelxpd 5708 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
14754toponunii 22349 . . . . . 6 (ℂ × ℂ) = (𝐽 ×t 𝐽)
148147cncnpi 22713 . . . . 5 (( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
149141, 146, 148sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
15041, 51, 52, 52, 3, 55, 104, 140, 149limccnp2 25340 . . 3 (𝜑 → (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶))
151 eldifi 4123 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧 ∈ (𝑋𝑌))
152151adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑋𝑌))
1536ffnd 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
154153adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐹 Fn 𝑋)
15513ffnd 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 Fn 𝑌)
156155adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐺 Fn 𝑌)
157 ssexg 5317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
15836, 76, 157sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ V)
159158adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑋 ∈ V)
160 ssexg 5317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
16146, 76, 160sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ V)
162161adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑌 ∈ V)
163 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑌) = (𝑋𝑌)
164 eqidd 2733 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
165 eqidd 2733 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧𝑌) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
166154, 156, 159, 162, 163, 164, 165ofval 7665 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)))
167152, 166mpdan 685 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)))
168 eqidd 2733 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶𝑋) → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶))
169 eqidd 2733 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶𝑌) → (𝐺𝐶) = (𝐺𝐶))
170154, 156, 159, 162, 163, 168, 169ofval 7665 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶)))
17193, 170mpidan 687 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶)))
172167, 171oveq12d 7412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶))))
173 difss 4128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋𝑌)
174173, 32sstri 3988 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑋
175174sseli 3975 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧𝑋)
176 ffvelcdm 7069 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
1776, 175, 176syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
178173, 42sstri 3988 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌
179178sseli 3975 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧𝑌)
180 ffvelcdm 7069 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ 𝑧𝑌) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
18113, 179, 180syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
1826, 39ffvelcdmd 7073 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
183182adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
18413, 49ffvelcdmd 7073 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
185184adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
186177, 181, 183, 185addsub4d 11602 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) − ((𝐹𝐶) + (𝐺𝐶))) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
187172, 186eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))))
188187oveq1d 7409 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)))
189177, 183subcld 11555 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
190181, 185subcld 11555 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
191174, 36sstrid 3990 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
192191sselda 3979 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ ℂ)
19336, 39sseldd 3980 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
194193adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
195192, 194subcld 11555 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ∈ ℂ)
196 eldifsni 4787 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧𝐶)
197196adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧𝐶)
198192, 194, 197subne0d 11564 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧𝐶) ≠ 0)
199189, 190, 195, 198divdird 12012 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) + ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶))) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
200188, 199eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))))
201200mpteq2dva 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))))
202201oveq1d 7409 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐶)) / (𝑧𝐶)) + (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))) lim 𝐶))
203150, 202eleqtrrd 2836 . 2 (𝜑 → (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
204 eqid 2732 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶)))
205 addcl 11176 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
206205adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
207206, 6, 13, 158, 161, 163off 7672 . . 3 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺):(𝑋𝑌)⟶ℂ)
2082, 3, 204, 5, 207, 60eldv 25346 . 2 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D (𝐹f + 𝐺))(𝐾 + 𝐿) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽t 𝑆))‘(𝑋𝑌)) ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
20931, 203, 208mpbir2and 711 1 (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹f + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  Vcvv 3474  cdif 3942  cun 3943  cin 3944  wss 3945  {csn 4623  cop 4629   cuni 4902   class class class wbr 5142  cmpt 5225   × cxp 5668  cres 5672   Fn wfn 6528  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7394  f cof 7652  cc 11092   + caddc 11097  cmin 11428   / cdiv 11855  t crest 17350  TopOpenctopn 17351  fldccnfld 20880  Topctop 22326  TopOnctopon 22343  intcnt 22452   Cn ccn 22659   CnP ccnp 22660   ×t ctx 22995   lim climc 25310   D cdv 25311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172  ax-addf 11173
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8131  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-2o 8451  df-er 8688  df-map 8807  df-pm 8808  df-ixp 8877  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-fsupp 9347  df-fi 9390  df-sup 9421  df-inf 9422  df-oi 9489  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-q 12917  df-rp 12959  df-xneg 13076  df-xadd 13077  df-xmul 13078  df-icc 13315  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-seq 13951  df-exp 14012  df-hash 14275  df-cj 15030  df-re 15031  df-im 15032  df-sqrt 15166  df-abs 15167  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17352  df-topn 17353  df-0g 17371  df-gsum 17372  df-topgen 17373  df-pt 17374  df-prds 17377  df-xrs 17432  df-qtop 17437  df-imas 17438  df-xps 17440  df-mre 17514  df-mrc 17515  df-acs 17517  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-submnd 18650  df-mulg 18925  df-cntz 19149  df-cmn 19616  df-psmet 20872  df-xmet 20873  df-met 20874  df-bl 20875  df-mopn 20876  df-cnfld 20881  df-top 22327  df-topon 22344  df-topsp 22366  df-bases 22380  df-cld 22454  df-ntr 22455  df-cls 22456  df-cn 22662  df-cnp 22663  df-tx 22997  df-hmeo 23190  df-xms 23757  df-ms 23758  df-tms 23759  df-limc 25314  df-dv 25315
This theorem is referenced by:  dvadd  25388  dvaddf  25390
  Copyright terms: Public domain W3C validator