MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvaddbr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvaddbr 25789
Description: The sum rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvadd 25792. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Remove unnecessary hypotheses. (Revised by GG, 10-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvadd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvadd.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
dvadd.y (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑆)
dvaddbr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
dvadd.bf (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvadd.bg (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿)
dvadd.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
dvaddbr (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))
Proof of Theorem dvaddbr
Dummy variables 𝑦 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝐽 β†Ύt 𝑆) = (𝐽 β†Ύt 𝑆)
3 dvadd.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
5 dvaddbr.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6 dvadd.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
7 dvadd.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 25748 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
91, 8mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
109simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹))
11 dvadd.bg . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿)
12 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
13 dvadd.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚)
14 dvadd.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑆)
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 25748 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
1611, 15mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢)))
1716simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ))
1810, 17elind 4194 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∩ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ)))
193cnfldtopon 24620 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
20 resttopon 22986 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
2119, 5, 20sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
22 topontop 22736 . . . . 5 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
2321, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
24 toponuni 22737 . . . . . 6 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
2521, 24syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
267, 25sseqtrd 4022 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
2714, 25sseqtrd 4022 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
28 eqid 2731 . . . . 5 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆)
2928ntrin 22886 . . . 4 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ π‘Œ βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆)) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∩ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ)))
3023, 26, 27, 29syl3anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) ∩ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ)))
3118, 30eleqtrrd 2835 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
32 inss1 4228 . . . . . . 7 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋
33 ssdif 4139 . . . . . . 7 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋 β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (𝑋 βˆ– {𝐢}))
3432, 33mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (𝑋 βˆ– {𝐢}))
3534sselda 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}))
367, 5sstrd 3992 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
3728ntrss2 22882 . . . . . . . 8 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆)) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) βŠ† 𝑋)
3823, 26, 37syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘‹) βŠ† 𝑋)
3938, 10sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
406, 36, 39dvlem 25746 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
4135, 40syldan 590 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
42 inss2 4229 . . . . . . 7 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ
43 ssdif 4139 . . . . . . 7 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (π‘Œ βˆ– {𝐢}))
4442, 43mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (π‘Œ βˆ– {𝐢}))
4544sselda 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}))
4614, 5sstrd 3992 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
4728ntrss2 22882 . . . . . . . 8 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆)) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ) βŠ† π‘Œ)
4823, 27, 47syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜π‘Œ) βŠ† π‘Œ)
4948, 17sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘Œ)
5013, 46, 49dvlem 25746 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
5145, 50syldan 590 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
52 ssidd 4005 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
53 txtopon 23416 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚)))
5419, 19, 53mp2an 689 . . . . 5 (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚))
5554toponrestid 22744 . . . 4 (𝐽 Γ—t 𝐽) = ((𝐽 Γ—t 𝐽) β†Ύt (β„‚ Γ— β„‚))
569simprd 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
5740fmpttd 7116 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))):(𝑋 βˆ– {𝐢})βŸΆβ„‚)
5836ssdifssd 4142 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ– {𝐢}) βŠ† β„‚)
59 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}))
6032, 7sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑆)
6160, 25sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
62 difssd 4132 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
6361, 62unssd 4186 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋)) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
64 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋)))
6628ntrss 22880 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋)) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))))
6723, 63, 65, 66syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))))
6867, 31sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))))
6968, 39elind 4194 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) ∩ 𝑋))
7032a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋)
71 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋) = ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋)
7228, 71restntr 23007 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) ∩ 𝑋))
7323, 26, 70, 72syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) ∩ 𝑋))
743cnfldtop 24621 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ Top
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
76 cnex 11197 . . . . . . . . . . . . . 14 β„‚ ∈ V
77 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑆 ∈ V)
785, 76, 77sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
79 restabs 22990 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋) = (𝐽 β†Ύt 𝑋))
8075, 7, 78, 79syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋) = (𝐽 β†Ύt 𝑋))
8180fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋)) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋)))
8281fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
8373, 82eqtr3d 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– 𝑋))) ∩ 𝑋) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
8469, 83eleqtrd 2834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
85 undif1 4475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = (𝑋 βˆͺ {𝐢})
8639snssd 4812 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ {𝐢} βŠ† 𝑋)
87 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐢} βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 βˆͺ {𝐢}) = 𝑋)
8886, 87sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆͺ {𝐢}) = 𝑋)
8985, 88eqtrid 2783 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = 𝑋)
9089oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt 𝑋))
9190fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}))) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋)))
92 undif1 4475 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ {𝐢})
9339, 49elind 4194 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
9493snssd 4812 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {𝐢} βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ))
95 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . 11 ({𝐢} βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ {𝐢}) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
9694, 95sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ {𝐢}) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
9792, 96eqtrid 2783 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
9891, 97fveq12d 6898 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑋))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
9984, 98eleqtrrd 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((𝑋 βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))
10057, 34, 58, 3, 59, 99limcres 25736 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
10134resmptd 6040 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
102101oveq1d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
103100, 102eqtr3d 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
10456, 103eleqtrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
10516simprd 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
10650fmpttd 7116 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))):(π‘Œ βˆ– {𝐢})βŸΆβ„‚)
10746ssdifssd 4142 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) βŠ† β„‚)
108 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}))
109 difssd 4132 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
11061, 109unssd 4186 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ)) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆))
111 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ)))
11328ntrss 22880 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ)) βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))))
11423, 110, 112, 113syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))))
115114, 31sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))))
116115, 49elind 4194 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
11742a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ)
118 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ) = ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ)
11928, 118restntr 23007 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
12023, 27, 117, 119syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
121 restabs 22990 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
12275, 14, 78, 121syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
123122fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ)) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
124123fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((𝐽 β†Ύt 𝑆) β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
125120, 124eqtr3d 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆͺ (βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝑆) βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
126116, 125eleqtrd 2834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
127 undif1 4475 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = (π‘Œ βˆͺ {𝐢})
12849snssd 4812 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ {𝐢} βŠ† π‘Œ)
129 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐢} βŠ† π‘Œ ↔ (π‘Œ βˆͺ {𝐢}) = π‘Œ)
130128, 129sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝐢}) = π‘Œ)
131127, 130eqtrid 2783 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}) = π‘Œ)
132131oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
133132fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢}))) = (intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
134133, 97fveq12d 6898 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})) = ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
135126, 134eleqtrrd 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt ((π‘Œ βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))β€˜(((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βˆͺ {𝐢})))
136106, 44, 107, 3, 108, 135limcres 25736 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
13744resmptd 6040 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
138137oveq1d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) β†Ύ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
139136, 138eqtr3d 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (π‘Œ βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
140105, 139eleqtrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
1413addcn 24702 . . . . 5 + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
1425, 6, 7dvcl 25749 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢(𝑆 D 𝐹)𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
1431, 142mpdan 684 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
1445, 13, 14dvcl 25749 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢(𝑆 D 𝐺)𝐿) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
14511, 144mpdan 684 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
146143, 145opelxpd 5715 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
14754toponunii 22739 . . . . . 6 (β„‚ Γ— β„‚) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
148147cncnpi 23103 . . . . 5 (( + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ + ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, 𝐿⟩))
149141, 146, 148sylancr 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ + ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨πΎ, 𝐿⟩))
15041, 51, 52, 52, 3, 55, 104, 140, 149limccnp2 25742 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
151 eldifi 4126 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
152151adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
1536ffnd 6718 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
154153adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
15513ffnd 6718 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn π‘Œ)
156155adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐺 Fn π‘Œ)
157 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑋 ∈ V)
15836, 76, 157sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
159158adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑋 ∈ V)
160 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ π‘Œ ∈ V)
16146, 76, 160sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
162161adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ π‘Œ ∈ V)
163 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∩ π‘Œ) = (𝑋 ∩ π‘Œ)
164 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
165 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
166154, 156, 159, 162, 163, 164, 165ofval 7685 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
167152, 166mpdan 684 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)))
168 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜πΆ) = (πΉβ€˜πΆ))
169 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝐢 ∈ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜πΆ) = (πΊβ€˜πΆ))
170154, 156, 159, 162, 163, 168, 169ofval 7685 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) ∧ 𝐢 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜πΆ) + (πΊβ€˜πΆ)))
17193, 170mpidan 686 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜πΆ) + (πΊβ€˜πΆ)))
172167, 171oveq12d 7430 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜πΆ)) = (((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) + (πΊβ€˜πΆ))))
173 difss 4131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ)
174173, 32sstri 3991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† 𝑋
175174sseli 3978 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
176 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
1776, 175, 176syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
178173, 42sstri 3991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† π‘Œ
179178sseli 3978 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
180 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:π‘ŒβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
18113, 179, 180syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
1826, 39ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
183182adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
18413, 49ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
185184adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
186177, 181, 183, 185addsub4d 11625 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) + (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜πΆ) + (πΊβ€˜πΆ))) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) + ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
187172, 186eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜πΆ)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) + ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
188187oveq1d 7427 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) + ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
189177, 183subcld 11578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
190181, 185subcld 11578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ β„‚)
191174, 36sstrid 3993 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) βŠ† β„‚)
192191sselda 3982 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
19336, 39sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
194193adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
195192, 194subcld 11578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
196 eldifsni 4793 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑧 β‰  𝐢)
197196adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ 𝑧 β‰  𝐢)
198192, 194, 197subne0d 11587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐢) β‰  0)
199189, 190, 195, 198divdird 12035 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) + ((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
200188, 199eqtrd 2771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢})) β†’ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) = ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))))
201200mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))))
202201oveq1d 7427 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) + (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))) limβ„‚ 𝐢))
203150, 202eleqtrrd 2835 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))
204 eqid 2731 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
205 addcl 11198 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
206205adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
207206, 6, 13, 158, 161, 163off 7692 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):(𝑋 ∩ π‘Œ)βŸΆβ„‚)
2082, 3, 204, 5, 207, 60eldv 25748 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢(𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))(𝐾 + 𝐿) ↔ (𝐢 ∈ ((intβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝑆))β€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) βˆ– {𝐢}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢))) limβ„‚ 𝐢))))
20931, 203, 208mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∘f cof 7672  β„‚cc 11114   + caddc 11119   βˆ’ cmin 11451   / cdiv 11878   β†Ύt crest 17373  TopOpenctopn 17374  β„‚fldccnfld 21234  Topctop 22716  TopOnctopon 22733  intcnt 22842   Cn ccn 23049   CnP ccnp 23050   Γ—t ctx 23385   limβ„‚ climc 25712   D cdv 25713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-limc 25716  df-dv 25717
This theorem is referenced by:  dvadd  25792  dvaddf  25794
  Copyright terms: Public domain W3C validator