Theorem dvaddbr 25974

Description: The sum rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvadd 25977. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Remove unnecessary hypotheses. (Revised by GG, 10-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶ℂ)
dvadd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑆)
dvaddbr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvadd.bf	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
dvadd.bg	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
dvadd.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
dvaddbr	⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))

Proof of Theorem dvaddbr

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvadd.bf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾)
2		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑆) = (𝐽 ↾t 𝑆)
3		dvadd.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
5		dvaddbr.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		dvadd.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7		dvadd.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	eldv 25933	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
9	1, 8	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
10	9	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋))
11		dvadd.bg	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿)
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
13		dvadd.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶ℂ)
14		dvadd.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑆)
15	2, 3, 12, 5, 13, 14	eldv 25933	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿 ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
16	11, 15	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌) ∧ 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶)))
17	16	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌))
18	10, 17	elind 4200	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌)))
19	3	cnfldtopon 24803	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
20		resttopon 23169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
21	19, 5, 20	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
22		topontop 22919	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top)
24		toponuni 22920	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
25	21, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
26	7, 25	sseqtrd 4020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
27	14, 25	sseqtrd 4020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
28		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) = ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)
29	28	ntrin 23069	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∧ 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌)))
30	23, 26, 27, 29	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ∩ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌)))
31	18, 30	eleqtrrd 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
32		inss1 4237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
33		ssdif 4144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∖ {𝐶}))
34	32, 33	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∖ {𝐶}))
35	34	sselda 3983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}))
36	7, 5	sstrd 3994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
37	28	ntrss2 23065	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
38	23, 26, 37	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑋) ⊆ 𝑋)
39	38, 10	sseldd 3984	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
40	6, 36, 39	dvlem 25931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
41	35, 40	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
42		inss2 4238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
43		ssdif 4144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑌 ∖ {𝐶}))
44	42, 43	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑌 ∖ {𝐶}))
45	44	sselda 3983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}))
46	14, 5	sstrd 3994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
47	28	ntrss2 23065	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆)) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
48	23, 27, 47	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘𝑌) ⊆ 𝑌)
49	48, 17	sseldd 3984	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑌)
50	13, 46, 49	dvlem 25931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶})) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
51	45, 50	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) ∈ ℂ)
52		ssidd 4007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
53		txtopon 23599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
54	19, 19, 53	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
55	54	toponrestid 22927	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) ↾t (ℂ × ℂ))
56	9	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
57	40	fmpttd 7135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
58	36	ssdifssd 4147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
59		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
60	32, 7	sstrid 3995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑆)
61	60, 25	sseqtrd 4020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
62		difssd 4137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
63	61, 62	unssd 4192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋)) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
64		ssun1 4178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋)))
66	28	ntrss 23063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋)) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))))
67	23, 63, 65, 66	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))))
68	67, 31	sseldd 3984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))))
69	68, 39	elind 4200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
70	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋)
71		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋) = ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋)
72	28, 71	restntr 23190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋) → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
73	23, 26, 70, 72	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋))
74	3	cnfldtop 24804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐽 ∈ Top
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
76		cnex 11236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ ∈ V
77		ssexg 5323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
78	5, 76, 77	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
79		restabs 23173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋) = (𝐽 ↾t 𝑋))
80	75, 7, 78, 79	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋) = (𝐽 ↾t 𝑋))
81	80	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋)) = (int‘(𝐽 ↾t 𝑋)))
82	81	fveq1d 6908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
83	73, 82	eqtr3d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑋))) ∩ 𝑋) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
84	69, 83	eleqtrd 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
85		undif1 4476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∪ {𝐶})
86	39	snssd 4809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝑋)
87		ssequn2 4189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝐶} ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∪ {𝐶}) = 𝑋)
88	86, 87	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∪ {𝐶}) = 𝑋)
89	85, 88	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = 𝑋)
90	89	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽 ↾t 𝑋))
91	90	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽 ↾t 𝑋)))
92		undif1 4476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ {𝐶})
93	39, 49	elind 4200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
94	93	snssd 4809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
95		ssequn2 4189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐶} ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∩ 𝑌))
96	94, 95	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∩ 𝑌))
97	92, 96	eqtrid 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑋 ∩ 𝑌))
98	91, 97	fveq12d 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑋))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
99	84, 98	eleqtrrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t ((𝑋 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
100	57, 34, 58, 3, 59, 99	limcres 25921	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
101	34	resmptd 6058	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))))
102	101	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
103	100, 102	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
104	56, 103	eleqtrd 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
105	16	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
106	50	fmpttd 7135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))):(𝑌 ∖ {𝐶})⟶ℂ)
107	46	ssdifssd 4147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
108		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
109		difssd 4137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
110	61, 109	unssd 4192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌)) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆))
111		ssun1 4178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌)))
113	28	ntrss 23063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌)) ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))) → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))))
114	23, 110, 112, 113	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))))
115	114, 31	sseldd 3984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))))
116	115, 49	elind 4200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
117	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌)
118		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌) = ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌)
119	28, 118	restntr 23190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌) → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
120	23, 27, 117, 119	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
121		restabs 23173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌))
122	75, 14, 78, 121	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌) = (𝐽 ↾t 𝑌))
123	122	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌)) = (int‘(𝐽 ↾t 𝑌)))
124	123	fveq1d 6908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘((𝐽 ↾t 𝑆) ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
125	120, 124	eqtr3d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘((𝑋 ∩ 𝑌) ∪ (∪ (𝐽 ↾t 𝑆) ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
126	116, 125	eleqtrd 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
127		undif1 4476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = (𝑌 ∪ {𝐶})
128	49	snssd 4809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝑌)
129		ssequn2 4189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝐶} ⊆ 𝑌 ↔ (𝑌 ∪ {𝐶}) = 𝑌)
130	128, 129	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝐶}) = 𝑌)
131	127, 130	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = 𝑌)
132	131	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = (𝐽 ↾t 𝑌))
133	132	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))) = (int‘(𝐽 ↾t 𝑌)))
134	133, 97	fveq12d 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})) = ((int‘(𝐽 ↾t 𝑌))‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
135	126, 134	eleqtrrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t ((𝑌 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))‘(((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})))
136	106, 44, 107, 3, 108, 135	limcres 25921	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
137	44	resmptd 6058	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))))
138	137	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) ↾ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
139	136, 138	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
140	105, 139	eleqtrd 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
141	3	addcn 24887	. . . . 5 ⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
142	5, 6, 7	dvcl 25934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐹)𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
143	1, 142	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
144	5, 13, 14	dvcl 25934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶(𝑆 D 𝐺)𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
145	11, 144	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
146	143, 145	opelxpd 5724	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
147	54	toponunii 22922	. . . . . 6 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
148	147	cncnpi 23286	. . . . 5 ⊢ (( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
149	141, 146, 148	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ (((𝐽 ×t 𝐽) CnP 𝐽)‘⟨𝐾, 𝐿⟩))
150	41, 51, 52, 52, 3, 55, 104, 140, 149	limccnp2 25927	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))) limℂ 𝐶))
151		eldifi 4131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
152	151	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
153	6	ffnd 6737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
154	153	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐹 Fn 𝑋)
155	13	ffnd 6737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑌)
156	155	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐺 Fn 𝑌)
157		ssexg 5323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
158	36, 76, 157	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
159	158	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑋 ∈ V)
160		ssexg 5323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
161	46, 76, 160	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
162	161	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑌 ∈ V)
163		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝑋 ∩ 𝑌)
164		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
165		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
166	154, 156, 159, 162, 163, 164, 165	ofval 7708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)))
167	152, 166	mpdan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)))
168		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))
169		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶 ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))
170	154, 156, 159, 162, 163, 168, 169	ofval 7708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) ∧ 𝐶 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) + (𝐺‘𝐶)))
171	93, 170	mpidan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) + (𝐺‘𝐶)))
172	167, 171	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) + (𝐺‘𝐶))))
173		difss 4136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)
174	173, 32	sstri 3993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑋
175	174	sseli 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧 ∈ 𝑋)
176		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
177	6, 175, 176	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
178	173, 42	sstri 3993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑌
179	178	sseli 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧 ∈ 𝑌)
180		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:𝑌⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
181	13, 179, 180	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
182	6, 39	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
183	182	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
184	13, 49	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
185	184	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
186	177, 181, 183, 185	addsub4d 11667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹‘𝑧) + (𝐺‘𝑧)) − ((𝐹‘𝐶) + (𝐺‘𝐶))) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) + ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
187	172, 186	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) + ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
188	187	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) + ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) / (𝑧 − 𝐶)))
189	177, 183	subcld 11620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
190	181, 185	subcld 11620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) ∈ ℂ)
191	174, 36	sstrid 3995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
192	191	sselda 3983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ∈ ℂ)
193	36, 39	sseldd 3984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
194	193	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
195	192, 194	subcld 11620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧 − 𝐶) ∈ ℂ)
196		eldifsni 4790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) → 𝑧 ≠ 𝐶)
197	196	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → 𝑧 ≠ 𝐶)
198	192, 194, 197	subne0d 11629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → (𝑧 − 𝐶) ≠ 0)
199	189, 190, 195, 198	divdird 12081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) + ((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))))
200	188, 199	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶})) → ((((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))))
201	200	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))))
202	201	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶) = ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)) + (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))) limℂ 𝐶))
203	150, 202	eleqtrrd 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))
204		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
205		addcl 11237	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
206	205	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
207	206, 6, 13, 158, 161, 163	off 7715	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶ℂ)
208	2, 3, 204, 5, 207, 60	eldv 25933	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))(𝐾 + 𝐿) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘(𝐽 ↾t 𝑆))‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ (𝐾 + 𝐿) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ∖ {𝐶}) ↦ ((((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑧) − ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶))) limℂ 𝐶))))
209	31, 203, 208	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶(𝑆 D (𝐹 ∘f + 𝐺))(𝐾 + 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ⟨cop 4632  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683   ↾ cres 5687   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  ℂcc 11153   + caddc 11158   − cmin 11492   / cdiv 11920   ↾_t crest 17465  TopOpenctopn 17466  ℂ_fldccnfld 21364  Topctop 22899  TopOnctopon 22916  intcnt 23025   Cn ccn 23232   CnP ccnp 23233   ×_t ctx 23568   lim_ℂ climc 25897   D cdv 25898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-limc 25901  df-dv 25902

This theorem is referenced by:  dvadd  25977  dvaddf  25979