Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcicciooub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcicciooub 41779
Description: The limit of a function at the upper bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcicciooub.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
limcicciooub.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
limcicciooub.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
limcicciooub.4 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
limcicciooub (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))

Proof of Theorem limcicciooub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcicciooub.4 . 2 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2 ioossicc 12815 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4 limcicciooub.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 limcicciooub.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 41641 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7 ax-resscn 10586 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
86, 7syl6ss 3982 . 2 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
9 eqid 2825 . 2 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10 eqid 2825 . 2 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))
11 retop 23285 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
134rexrd 10683 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
14 iocssre 12809 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
1513, 5, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
16 difssd 4112 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ)
1715, 16unssd 4165 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ℝ)
18 uniretop 23286 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
1917, 18syl6sseq 4020 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ (topGen‘ran (,)))
20 elioore 12761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
2120ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
22 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞))
2313ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24 pnfxr 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
25 elioo2 12772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 < +∞)))
2623, 24, 25sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 < +∞)))
2722, 26mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 < +∞))
2827simp2d 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
29 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
305ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
31 elioc2 12792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
3223, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
3321, 28, 29, 32mpbir3and 1336 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
3433orcd 871 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
3520ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
36 3mix3 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
37 3ianor 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
3836, 37sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝐵 → ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
3938adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
404ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
415ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
42 elicc2 12794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4340, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4439, 43mtbird 326 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4535, 44eldifd 3950 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
4645olcd 872 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
4734, 46pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
48 elun 4128 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
4947, 48sylibr 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5049ralrimiva 3186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
51 dfss3 3959 . . . . . . . . 9 ((𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5250, 51sylibr 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
53 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
5453ntrss 21579 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
5512, 19, 52, 54syl3anc 1365 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
5624a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
57 limcicciooub.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 𝐵)
585ltpnfd 12509 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 < +∞)
5913, 56, 5, 57, 58eliood 41634 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞))
60 iooretop 23289 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
61 isopn3i 21606 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) = (𝐴(,)+∞))
6212, 60, 61sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) = (𝐴(,)+∞))
6359, 62eleqtrrd 2920 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)))
6455, 63sseldd 3971 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
655rexrd 10683 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
664, 5, 57ltled 10780 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
67 ubicc2 12846 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6813, 65, 66, 67syl3anc 1365 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6964, 68elind 4174 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
70 iocssicc 12818 . . . . . . 7 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
7170a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
72 eqid 2825 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
7318, 72restntr 21706 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
7412, 6, 71, 73syl3anc 1365 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
7569, 74eleqtrrd 2920 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
76 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
779, 76rerest 23327 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
786, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7978eqcomd 2831 . . . . . 6 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
8079fveq2d 6670 . . . . 5 (𝜑 → (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))))
8180fveq1d 6668 . . . 4 (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
8275, 81eleqtrd 2919 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
8368snssd 4740 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
84 ssequn2 4162 . . . . . . . 8 ({𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
8583, 84sylib 219 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
8685eqcomd 2831 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))
8786oveq2d 7167 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))
8887fveq2d 6670 . . . 4 (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))))
89 ioounsn 12856 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
9013, 65, 57, 89syl3anc 1365 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
9190eqcomd 2831 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
9288, 91fveq12d 6673 . . 3 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
9382, 92eleqtrd 2919 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
941, 3, 8, 9, 10, 93limcres 24399 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3o 1080  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  cdif 3936  cun 3937  cin 3938  wss 3939  {csn 4563   cuni 4836   class class class wbr 5062  ran crn 5554  cres 5555  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  +∞cpnf 10664  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  (,)cioo 12731  (,]cioc 12732  [,]cicc 12734  t crest 16686  TopOpenctopn 16687  topGenctg 16703  fldccnfld 20461  Topctop 21417  intcnt 21541   lim climc 24375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ioc 12736  df-icc 12738  df-fz 12886  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-cnp 21752  df-xms 22845  df-ms 22846  df-limc 24379
This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  42037  fourierdlem82  42335  fourierdlem93  42346  fourierdlem111  42364
  Copyright terms: Public domain W3C validator