Theorem limcicciooub 46211

Description: The limit of a function at the upper bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcicciooub.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
limcicciooub.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
limcicciooub.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
limcicciooub.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcicciooub	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcicciooub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcicciooub.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2		ioossicc 13437	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		limcicciooub.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		limcicciooub.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	iccssred 13438	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7		ax-resscn 11130	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstrdi 3948	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
9		eqid 2762	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10		eqid 2762	. 2 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))
11		retop 24821	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
13	4	rexrd 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
14		iocssre 13431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
15	13, 5, 14	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
16		difssd 4090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ)
17	15, 16	unssd 4144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ℝ)
18		uniretop 24822	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
19	17, 18	sseqtrdi 3976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)))
20		elioore 13379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
22		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞))
23	13	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24		pnfxr 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
25		elioo2 13390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
26	23, 24, 25	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
27	22, 26	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
28	27	simp2d 1156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
29		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵)
30	5	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
31		elioc2 13413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
32	23, 30, 31	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
33	21, 28, 29, 32	mpbir3and 1356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
34	33	orcd 884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
35	20	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
36		3mix3 1346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑥 ≤ 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))
37		3ianor 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))
38	36, 37	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑥 ≤ 𝐵 → ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
39	38	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
40	4	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
41	5	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
42		elicc2 13415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
43	40, 41, 42	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
44	39, 43	mtbird 327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45	35, 44	eldifd 3915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
46	45	olcd 885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
47	34, 46	pm2.61dan 822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
48		elun 4106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
49	47, 48	sylibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
50	49	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
51		dfss3 3925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
52	50, 51	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
53		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ (topGen‘ran (,))
54	53	ntrss 23115	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
55	12, 19, 52, 54	syl3anc 1390	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
56	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
57		limcicciooub.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
58	5	ltpnfd 13123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < +∞)
59	13, 56, 5, 57, 58	eliood 46074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞))
60		iooretop 24825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
61		isopn3i 23142	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) = (𝐴(,)+∞))
62	12, 60, 61	sylancl 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) = (𝐴(,)+∞))
63	59, 62	eleqtrrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)))
64	55, 63	sseldd 3937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
65	5	rexrd 11232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
66	4, 5, 57	ltled 11331	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
67		ubicc2 13469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
68	13, 65, 66, 67	syl3anc 1390	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
69	64, 68	elind 4152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
70		iocssicc 13441	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
71	70	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
72		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
73	18, 72	restntr 23242	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
74	12, 6, 71, 73	syl3anc 1390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
75	69, 74	eleqtrrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
76		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
77	9, 76	rerest 24864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
78	6, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
79	78	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
80	79	fveq2d 6871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))))
81	80	fveq1d 6869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
82	75, 81	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
83	68	snssd 4745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
84		ssequn2 4141	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
85	83, 84	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
86	85	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))
87	86	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))
88	87	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))))
89		ioounsn 13481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
90	13, 65, 57, 89	syl3anc 1390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
91	90	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
92	88, 91	fveq12d 6874	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
93	82, 92	eleqtrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
94	1, 3, 8, 9, 10, 93	limcres 25948	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∨ w3o 1097   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  {csn 4582  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100  ran crn 5648   ↾ cres 5649  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  +∞cpnf 11213  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217  (,)cioo 13349  (,]cioc 13350  [,]cicc 13352   ↾_t crest 17449  TopOpenctopn 17450  topGenctg 17466  ℂ_fldccnfld 21424  Topctop 22953  intcnt 23077   lim_ℂ climc 25924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-icc 13356  df-fz 13513  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-rest 17451  df-topn 17452  df-topgen 17472  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-cnp 23288  df-xms 24380  df-ms 24381  df-limc 25928

This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  46467  fourierdlem82  46762  fourierdlem93  46773  fourierdlem111  46791