Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcicciooub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcicciooub 43868
Description: The limit of a function at the upper bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcicciooub.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
limcicciooub.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
limcicciooub.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
limcicciooub.4 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
limcicciooub (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))

Proof of Theorem limcicciooub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcicciooub.4 . 2 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2 ioossicc 13350 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4 limcicciooub.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 limcicciooub.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 13351 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7 ax-resscn 11108 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
86, 7sstrdi 3956 . 2 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
9 eqid 2736 . 2 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10 eqid 2736 . 2 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))
11 retop 24125 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
134rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
14 iocssre 13344 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
1513, 5, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
16 difssd 4092 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ)
1715, 16unssd 4146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ℝ)
18 uniretop 24126 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
1917, 18sseqtrdi 3994 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ (topGen‘ran (,)))
20 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
2120ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
22 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞))
2313ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24 pnfxr 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
25 elioo2 13305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 < +∞)))
2623, 24, 25sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 < +∞)))
2722, 26mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 < +∞))
2827simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
29 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
305ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
31 elioc2 13327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
3223, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
3321, 28, 29, 32mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
3433orcd 871 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
3520ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
36 3mix3 1332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
37 3ianor 1107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
3836, 37sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝐵 → ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
3938adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
404ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
415ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
42 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4340, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4439, 43mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4535, 44eldifd 3921 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
4645olcd 872 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
4734, 46pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
48 elun 4108 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
4947, 48sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5049ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
51 dfss3 3932 . . . . . . . . 9 ((𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5250, 51sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
53 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
5453ntrss 22406 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
5512, 19, 52, 54syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
5624a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
57 limcicciooub.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 𝐵)
585ltpnfd 13042 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 < +∞)
5913, 56, 5, 57, 58eliood 43726 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞))
60 iooretop 24129 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
61 isopn3i 22433 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) = (𝐴(,)+∞))
6212, 60, 61sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) = (𝐴(,)+∞))
6359, 62eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)))
6455, 63sseldd 3945 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
655rexrd 11205 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
664, 5, 57ltled 11303 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
67 ubicc2 13382 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6813, 65, 66, 67syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6964, 68elind 4154 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
70 iocssicc 13354 . . . . . . 7 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
7170a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
72 eqid 2736 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
7318, 72restntr 22533 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
7412, 6, 71, 73syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
7569, 74eleqtrrd 2841 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
76 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
779, 76rerest 24167 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
786, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7978eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
8079fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))))
8180fveq1d 6844 . . . 4 (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
8275, 81eleqtrd 2840 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
8368snssd 4769 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
84 ssequn2 4143 . . . . . . . 8 ({𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
8583, 84sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
8685eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))
8786oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))
8887fveq2d 6846 . . . 4 (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))))
89 ioounsn 13394 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
9013, 65, 57, 89syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
9190eqcomd 2742 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
9288, 91fveq12d 6849 . . 3 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
9382, 92eleqtrd 2840 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
941, 3, 8, 9, 10, 93limcres 25250 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  {csn 4586   cuni 4865   class class class wbr 5105  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  (,)cioo 13264  (,]cioc 13265  [,]cicc 13267  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  Topctop 22242  intcnt 22368   lim climc 25226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-icc 13271  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-cnp 22579  df-xms 23673  df-ms 23674  df-limc 25230
This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  44124  fourierdlem82  44419  fourierdlem93  44430  fourierdlem111  44448
  Copyright terms: Public domain W3C validator