Theorem limcicciooub 45745

Description: The limit of a function at the upper bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcicciooub.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
limcicciooub.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
limcicciooub.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
limcicciooub.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcicciooub	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcicciooub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcicciooub.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2		ioossicc 13333	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		limcicciooub.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		limcicciooub.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	iccssred 13334	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7		ax-resscn 11063	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstrdi 3942	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
9		eqid 2731	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10		eqid 2731	. 2 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))
11		retop 24676	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
13	4	rexrd 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
14		iocssre 13327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
15	13, 5, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
16		difssd 4084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ)
17	15, 16	unssd 4139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ℝ)
18		uniretop 24677	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
19	17, 18	sseqtrdi 3970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)))
20		elioore 13275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
22		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞))
23	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24		pnfxr 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
25		elioo2 13286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
26	23, 24, 25	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
27	22, 26	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
28	27	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
29		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵)
30	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
31		elioc2 13309	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
32	23, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
33	21, 28, 29, 32	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
34	33	orcd 873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
35	20	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
36		3mix3 1333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑥 ≤ 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))
37		3ianor 1106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))
38	36, 37	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑥 ≤ 𝐵 → ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
40	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
41	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
42		elicc2 13311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
43	40, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
44	39, 43	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45	35, 44	eldifd 3908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
46	45	olcd 874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
47	34, 46	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
48		elun 4100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
49	47, 48	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
50	49	ralrimiva 3124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
51		dfss3 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
52	50, 51	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
53		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ (topGen‘ran (,))
54	53	ntrss 22970	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
55	12, 19, 52, 54	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
56	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
57		limcicciooub.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
58	5	ltpnfd 13020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < +∞)
59	13, 56, 5, 57, 58	eliood 45608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞))
60		iooretop 24680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
61		isopn3i 22997	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) = (𝐴(,)+∞))
62	12, 60, 61	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) = (𝐴(,)+∞))
63	59, 62	eleqtrrd 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)))
64	55, 63	sseldd 3930	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
65	5	rexrd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
66	4, 5, 57	ltled 11261	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
67		ubicc2 13365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
68	13, 65, 66, 67	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
69	64, 68	elind 4147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
70		iocssicc 13337	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
71	70	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
72		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
73	18, 72	restntr 23097	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
74	12, 6, 71, 73	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
75	69, 74	eleqtrrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
76		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
77	9, 76	rerest 24719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
78	6, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
79	78	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
80	79	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))))
81	80	fveq1d 6824	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
82	75, 81	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
83	68	snssd 4758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
84		ssequn2 4136	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
85	83, 84	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
86	85	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))
87	86	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))
88	87	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))))
89		ioounsn 13377	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
90	13, 65, 57, 89	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
91	90	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
92	88, 91	fveq12d 6829	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
93	82, 92	eleqtrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
94	1, 3, 8, 9, 10, 93	limcres 25814	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  {csn 4573  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089  ran crn 5615   ↾ cres 5616  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  +∞cpnf 11143  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147  (,)cioo 13245  (,]cioc 13246  [,]cicc 13248   ↾_t crest 17324  TopOpenctopn 17325  topGenctg 17341  ℂ_fldccnfld 21291  Topctop 22808  intcnt 22932   lim_ℂ climc 25790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-icc 13252  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-rest 17326  df-topn 17327  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-cnp 23143  df-xms 24235  df-ms 24236  df-limc 25794

This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  46001  fourierdlem82  46296  fourierdlem93  46307  fourierdlem111  46325