Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcicciooub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcicciooub 43885
Description: The limit of a function at the upper bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcicciooub.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
limcicciooub.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
limcicciooub.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
limcicciooub.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
limcicciooub (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) = (𝐹 limβ„‚ 𝐡))

Proof of Theorem limcicciooub
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcicciooub.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2 ioossicc 13351 . . 3 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
4 limcicciooub.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 limcicciooub.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 13352 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
7 ax-resscn 11109 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
86, 7sstrdi 3957 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
9 eqid 2737 . 2 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
10 eqid 2737 . 2 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡}))
11 retop 24128 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top)
134rexrd 11206 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
14 iocssre 13345 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴(,]𝐡) βŠ† ℝ)
1513, 5, 14syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐡) βŠ† ℝ)
16 difssd 4093 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ)
1715, 16unssd 4147 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ℝ)
18 uniretop 24129 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
1917, 18sseqtrdi 3995 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)))
20 elioore 13295 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
22 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞))
2313ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
24 pnfxr 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
25 elioo2 13306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)))
2623, 24, 25sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)))
2722, 26mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))
2827simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 < π‘₯)
29 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
305ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
31 elioc2 13328 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
3223, 30, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
3321, 28, 29, 32mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡))
3433orcd 872 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
3520ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
36 3mix3 1333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡 β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ ℝ ∨ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯ ∨ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡))
37 3ianor 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) ↔ (Β¬ π‘₯ ∈ ℝ ∨ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯ ∨ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡))
3836, 37sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡 β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
3938adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
404ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
415ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
42 elicc2 13330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
4340, 41, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
4439, 43mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
4535, 44eldifd 3922 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))
4645olcd 873 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
4734, 46pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
48 elun 4109 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
4947, 48sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
5049ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)π‘₯ ∈ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
51 dfss3 3933 . . . . . . . . 9 ((𝐴(,)+∞) βŠ† ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)π‘₯ ∈ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
5250, 51sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)+∞) βŠ† ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
53 eqid 2737 . . . . . . . . 9 βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
5453ntrss 22409 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ (𝐴(,)+∞) βŠ† ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)+∞)) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))))
5512, 19, 52, 54syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)+∞)) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))))
5624a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
57 limcicciooub.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
585ltpnfd 13043 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 < +∞)
5913, 56, 5, 57, 58eliood 43743 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴(,)+∞))
60 iooretop 24132 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
61 isopn3i 22436 . . . . . . . . 9 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)+∞)) = (𝐴(,)+∞))
6212, 60, 61sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)+∞)) = (𝐴(,)+∞))
6359, 62eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)+∞)))
6455, 63sseldd 3946 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))))
655rexrd 11206 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
664, 5, 57ltled 11304 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
67 ubicc2 13383 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
6813, 65, 66, 67syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
6964, 68elind 4155 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
70 iocssicc 13355 . . . . . . 7 (𝐴(,]𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
7170a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
72 eqid 2737 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
7318, 72restntr 22536 . . . . . 6 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ ∧ (𝐴(,]𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)) = (((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
7412, 6, 71, 73syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)) = (((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
7569, 74eleqtrrd 2841 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)))
76 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
779, 76rerest 24170 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
786, 77syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
7978eqcomd 2743 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
8079fveq2d 6847 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
8180fveq1d 6845 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)))
8275, 81eleqtrd 2840 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)))
8368snssd 4770 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝐡} βŠ† (𝐴[,]𝐡))
84 ssequn2 4144 . . . . . . . 8 ({𝐡} βŠ† (𝐴[,]𝐡) ↔ ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴[,]𝐡))
8583, 84sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴[,]𝐡))
8685eqcomd 2743 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) = ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡}))
8786oveq2d 7374 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡})))
8887fveq2d 6847 . . . 4 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡}))))
89 ioounsn 13395 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴(,]𝐡))
9013, 65, 57, 89syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴(,]𝐡))
9190eqcomd 2743 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐡) = ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}))
9288, 91fveq12d 6850 . . 3 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡})))
9382, 92eleqtrd 2840 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡})))
941, 3, 8, 9, 10, 93limcres 25253 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) = (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  β„cr 11051  +∞cpnf 11187  β„*cxr 11189   < clt 11190   ≀ cle 11191  (,)cioo 13265  (,]cioc 13266  [,]cicc 13268   β†Ύt crest 17303  TopOpenctopn 17304  topGenctg 17320  β„‚fldccnfld 20799  Topctop 22245  intcnt 22371   limβ„‚ climc 25229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-icc 13272  df-fz 13426  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-rest 17305  df-topn 17306  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-cnfld 20800  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-cld 22373  df-ntr 22374  df-cls 22375  df-cnp 22582  df-xms 23676  df-ms 23677  df-limc 25233
This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  44141  fourierdlem82  44436  fourierdlem93  44447  fourierdlem111  44465
  Copyright terms: Public domain W3C validator