Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcicciooub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcicciooub 45084
Description: The limit of a function at the upper bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcicciooub.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
limcicciooub.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
limcicciooub.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
limcicciooub.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
limcicciooub (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) = (𝐹 limβ„‚ 𝐡))

Proof of Theorem limcicciooub
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcicciooub.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2 ioossicc 13437 . . 3 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
4 limcicciooub.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 limcicciooub.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 13438 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
7 ax-resscn 11190 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
86, 7sstrdi 3986 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
9 eqid 2725 . 2 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
10 eqid 2725 . 2 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡}))
11 retop 24691 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top)
134rexrd 11289 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
14 iocssre 13431 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴(,]𝐡) βŠ† ℝ)
1513, 5, 14syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐡) βŠ† ℝ)
16 difssd 4126 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ)
1715, 16unssd 4181 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ℝ)
18 uniretop 24692 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
1917, 18sseqtrdi 4024 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)))
20 elioore 13381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2120ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
22 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞))
2313ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
24 pnfxr 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
25 elioo2 13392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)))
2623, 24, 25sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞)))
2722, 26mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < +∞))
2827simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 < π‘₯)
29 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
305ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
31 elioc2 13414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
3223, 30, 31syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
3321, 28, 29, 32mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡))
3433orcd 871 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
3520ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
36 3mix3 1329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡 β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ ℝ ∨ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯ ∨ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡))
37 3ianor 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡) ↔ (Β¬ π‘₯ ∈ ℝ ∨ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯ ∨ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡))
3836, 37sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡 β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
3938adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
404ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
415ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
42 elicc2 13416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
4340, 41, 42syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
4439, 43mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
4535, 44eldifd 3952 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))
4645olcd 872 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ Β¬ π‘₯ ≀ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
4734, 46pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
48 elun 4142 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,]𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
4947, 48sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
5049ralrimiva 3136 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)π‘₯ ∈ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
51 dfss3 3962 . . . . . . . . 9 ((𝐴(,)+∞) βŠ† ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)+∞)π‘₯ ∈ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
5250, 51sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)+∞) βŠ† ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
53 eqid 2725 . . . . . . . . 9 βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
5453ntrss 22972 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ (𝐴(,)+∞) βŠ† ((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)+∞)) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))))
5512, 19, 52, 54syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)+∞)) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))))
5624a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
57 limcicciooub.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
585ltpnfd 13128 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 < +∞)
5913, 56, 5, 57, 58eliood 44942 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴(,)+∞))
60 iooretop 24695 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
61 isopn3i 22999 . . . . . . . . 9 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)+∞)) = (𝐴(,)+∞))
6212, 60, 61sylancl 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)+∞)) = (𝐴(,)+∞))
6359, 62eleqtrrd 2828 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)+∞)))
6455, 63sseldd 3974 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))))
655rexrd 11289 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
664, 5, 57ltled 11387 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
67 ubicc2 13469 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
6813, 65, 66, 67syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
6964, 68elind 4189 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
70 iocssicc 13441 . . . . . . 7 (𝐴(,]𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
7170a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
72 eqid 2725 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
7318, 72restntr 23099 . . . . . 6 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ ∧ (𝐴(,]𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)) = (((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
7412, 6, 71, 73syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)) = (((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴(,]𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
7569, 74eleqtrrd 2828 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)))
76 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
779, 76rerest 24733 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
786, 77syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
7978eqcomd 2731 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
8079fveq2d 6894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
8180fveq1d 6892 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)))
8275, 81eleqtrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)))
8368snssd 4809 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝐡} βŠ† (𝐴[,]𝐡))
84 ssequn2 4178 . . . . . . . 8 ({𝐡} βŠ† (𝐴[,]𝐡) ↔ ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴[,]𝐡))
8583, 84sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴[,]𝐡))
8685eqcomd 2731 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) = ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡}))
8786oveq2d 7429 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡})))
8887fveq2d 6894 . . . 4 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡}))))
89 ioounsn 13481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴(,]𝐡))
9013, 65, 57, 89syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴(,]𝐡))
9190eqcomd 2731 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐡) = ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡}))
9288, 91fveq12d 6897 . . 3 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴(,]𝐡)) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡})))
9382, 92eleqtrd 2827 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐡})))β€˜((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐡})))
941, 3, 8, 9, 10, 93limcres 25828 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐡) = (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βˆ– cdif 3938   βˆͺ cun 3939   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  {csn 4625  βˆͺ cuni 4904   class class class wbr 5144  ran crn 5674   β†Ύ cres 5675  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„‚cc 11131  β„cr 11132  +∞cpnf 11270  β„*cxr 11272   < clt 11273   ≀ cle 11274  (,)cioo 13351  (,]cioc 13352  [,]cicc 13354   β†Ύt crest 17396  TopOpenctopn 17397  topGenctg 17413  β„‚fldccnfld 21278  Topctop 22808  intcnt 22934   limβ„‚ climc 25804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-icc 13358  df-fz 13512  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-struct 17110  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-rest 17398  df-topn 17399  df-topgen 17419  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-cnp 23145  df-xms 24239  df-ms 24240  df-limc 25808
This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  45340  fourierdlem82  45635  fourierdlem93  45646  fourierdlem111  45664
  Copyright terms: Public domain W3C validator