Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcicciooub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcicciooub 45652
Description: The limit of a function at the upper bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcicciooub.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
limcicciooub.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
limcicciooub.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
limcicciooub.4 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
limcicciooub (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))

Proof of Theorem limcicciooub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcicciooub.4 . 2 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2 ioossicc 13473 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4 limcicciooub.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 limcicciooub.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 13474 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7 ax-resscn 11212 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
86, 7sstrdi 3996 . 2 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
9 eqid 2737 . 2 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10 eqid 2737 . 2 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))
11 retop 24782 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
134rexrd 11311 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
14 iocssre 13467 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
1513, 5, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
16 difssd 4137 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ)
1715, 16unssd 4192 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ℝ)
18 uniretop 24783 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
1917, 18sseqtrdi 4024 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ (topGen‘ran (,)))
20 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
2120ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
22 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞))
2313ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
25 elioo2 13428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 < +∞)))
2623, 24, 25sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 < +∞)))
2722, 26mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 < +∞))
2827simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
305ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
31 elioc2 13450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
3223, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
3321, 28, 29, 32mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
3433orcd 874 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
3520ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
36 3mix3 1333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
37 3ianor 1107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥𝐵))
3836, 37sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝐵 → ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
404ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
415ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
42 elicc2 13452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4340, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4439, 43mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4535, 44eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
4645olcd 875 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
4734, 46pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
48 elun 4153 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
4947, 48sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5049ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
51 dfss3 3972 . . . . . . . . 9 ((𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5250, 51sylibr 234 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
53 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
5453ntrss 23063 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
5512, 19, 52, 54syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
5624a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
57 limcicciooub.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 𝐵)
585ltpnfd 13163 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 < +∞)
5913, 56, 5, 57, 58eliood 45511 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞))
60 iooretop 24786 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
61 isopn3i 23090 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) = (𝐴(,)+∞))
6212, 60, 61sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) = (𝐴(,)+∞))
6359, 62eleqtrrd 2844 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)))
6455, 63sseldd 3984 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
655rexrd 11311 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
664, 5, 57ltled 11409 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
67 ubicc2 13505 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6813, 65, 66, 67syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6964, 68elind 4200 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
70 iocssicc 13477 . . . . . . 7 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
7170a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
72 eqid 2737 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
7318, 72restntr 23190 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
7412, 6, 71, 73syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
7569, 74eleqtrrd 2844 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
76 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
779, 76rerest 24825 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
786, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
7978eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
8079fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))))
8180fveq1d 6908 . . . 4 (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
8275, 81eleqtrd 2843 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
8368snssd 4809 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
84 ssequn2 4189 . . . . . . . 8 ({𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
8583, 84sylib 218 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
8685eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))
8786oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))
8887fveq2d 6910 . . . 4 (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))))
89 ioounsn 13517 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
9013, 65, 57, 89syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
9190eqcomd 2743 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
9288, 91fveq12d 6913 . . 3 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
9382, 92eleqtrd 2843 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
941, 3, 8, 9, 10, 93limcres 25921 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  {csn 4626   cuni 4907   class class class wbr 5143  ran crn 5686  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  [,]cicc 13390  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364  Topctop 22899  intcnt 23025   lim climc 25897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901
This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  45908  fourierdlem82  46203  fourierdlem93  46214  fourierdlem111  46232
  Copyright terms: Public domain W3C validator