Theorem limcicciooub 45558

Description: The limit of a function at the upper bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcicciooub.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
limcicciooub.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
limcicciooub.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
limcicciooub.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcicciooub	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcicciooub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcicciooub.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2		ioossicc 13493	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		limcicciooub.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		limcicciooub.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	iccssred 13494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7		ax-resscn 11241	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstrdi 4021	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
9		eqid 2740	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10		eqid 2740	. 2 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))
11		retop 24803	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
13	4	rexrd 11340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
14		iocssre 13487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
15	13, 5, 14	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
16		difssd 4160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ)
17	15, 16	unssd 4215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ℝ)
18		uniretop 24804	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
19	17, 18	sseqtrdi 4059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)))
20		elioore 13437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
22		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞))
23	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24		pnfxr 11344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
25		elioo2 13448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
26	23, 24, 25	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
27	22, 26	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
28	27	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
29		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝐵)
30	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
31		elioc2 13470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
32	23, 30, 31	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
33	21, 28, 29, 32	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
34	33	orcd 872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
35	20	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
36		3mix3 1332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑥 ≤ 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))
37		3ianor 1107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ ∨ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵))
38	36, 37	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑥 ≤ 𝐵 → ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → ¬ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
40	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
41	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
42		elicc2 13472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
43	40, 41, 42	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
44	39, 43	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45	35, 44	eldifd 3987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
46	45	olcd 873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
47	34, 46	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
48		elun 4176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
49	47, 48	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
50	49	ralrimiva 3152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
51		dfss3 3997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)𝑥 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
52	50, 51	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
53		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ (topGen‘ran (,))
54	53	ntrss 23084	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴(,)+∞) ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
55	12, 19, 52, 54	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
56	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
57		limcicciooub.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
58	5	ltpnfd 13184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < +∞)
59	13, 56, 5, 57, 58	eliood 45416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞))
60		iooretop 24807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
61		isopn3i 23111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) = (𝐴(,)+∞))
62	12, 60, 61	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)) = (𝐴(,)+∞))
63	59, 62	eleqtrrd 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)+∞)))
64	55, 63	sseldd 4009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
65	5	rexrd 11340	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
66	4, 5, 57	ltled 11438	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
67		ubicc2 13525	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
68	13, 65, 66, 67	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
69	64, 68	elind 4223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
70		iocssicc 13497	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
71	70	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
72		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
73	18, 72	restntr 23211	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
74	12, 6, 71, 73	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
75	69, 74	eleqtrrd 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
76		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
77	9, 76	rerest 24845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
78	6, 77	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
79	78	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
80	79	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))))
81	80	fveq1d 6922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
82	75, 81	eleqtrd 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
83	68	snssd 4834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
84		ssequn2 4212	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
85	83, 84	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
86	85	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))
87	86	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))
88	87	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵}))))
89		ioounsn 13537	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
90	13, 65, 57, 89	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
91	90	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
92	88, 91	fveq12d 6927	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
93	82, 92	eleqtrd 2846	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
94	1, 3, 8, 9, 10, 93	limcres 25941	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166  ran crn 5701   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  (,)cioo 13407  (,]cioc 13408  [,]cicc 13410   ↾_t crest 17480  TopOpenctopn 17481  topGenctg 17497  ℂ_fldccnfld 21387  Topctop 22920  intcnt 23046   lim_ℂ climc 25917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-icc 13414  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-cnp 23257  df-xms 24351  df-ms 24352  df-limc 25921

This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  45814  fourierdlem82  46109  fourierdlem93  46120  fourierdlem111  46138