Theorem dvreslem 26229

Description: Lemma for dvres 26231. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Commute the consequent and shorten proof. (Revised by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvres.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
dvres.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
dvres.y	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvreslem	⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝐾(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem dvreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
2		inss2 4183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
3	1, 2	sstri 3940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵
4		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}))
5	3, 4	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → 𝑧 ∈ 𝐵)
6	5	fvresd 6905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
7		dvres.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
8		dvres.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
9	8	cnfldtop 25102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐾 ∈ Top
10		dvres.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
11		cnex 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℂ ∈ V
12		ssexg 5281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
14		resttop 23478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
15	9, 13, 14	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
16	7, 15	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Top)
17		inss1 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
18		dvres.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
19	17, 18	sstrid 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑆)
20	8	cnfldtopon 25101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
21		resttopon 23479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
22	20, 10, 21	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
23	7, 22	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
24		toponuni 23232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝑇)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝑇)
26	19, 25	sseqtrd 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇)
27		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
28	27	ntrss2 23375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇) → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
29	16, 26, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
30	29, 2	sstrdi 3943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵)
31	30	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
32	31	fvresd 6905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
34	6, 33	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
35	34	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
36	35	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
37		dvres.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
38	37	reseq1i 5966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}))
39		ssdif 4091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
40		resmpt 6029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
41	17, 39, 40	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
42	38, 41	eqtri 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
43	36, 42	eqtr4di 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})))
44	43	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
45		dvres.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
46	45	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
47	18, 10	sstrd 3941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
49	29, 17	sstrdi 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐴)
50	49	sselda 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
51	46, 48, 50	dvlem 26216	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) ∈ ℂ)
52	51, 37	fmptd 7114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐺:(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
53	17, 39	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
54		difss 4083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴
55	54, 48	sstrid 3942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ)
56		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
57		difssd 4084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑇 ∖ 𝐴) ⊆ ∪ 𝑇)
58	26, 57	unssd 4138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴)) ⊆ ∪ 𝑇)
59		ssun1 4124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴)))
61	27	ntrss 23373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴)) ⊆ ∪ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))))
62	16, 58, 60, 61	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))))
63	62, 49	ssind 4186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴))
64	18, 25	sseqtrd 3967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇)
65	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
66		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐴) = (𝑇 ↾t 𝐴)
67	27, 66	restntr 23500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴))
68	16, 64, 65, 67	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴))
69	7	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐴) = ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐴)
70	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
71		restabs 23483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐴) = (𝐾 ↾t 𝐴))
72	70, 18, 13, 71	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐴) = (𝐾 ↾t 𝐴))
73	69, 72	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾t 𝐴) = (𝐾 ↾t 𝐴))
74	73	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝑇 ↾t 𝐴)) = (int‘(𝐾 ↾t 𝐴)))
75	74	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
76	68, 75	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
77	63, 76	sseqtrd 3967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
78	77	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
79		undif1 4430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥})
80	29	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
81	80	snssd 4747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → {𝑥} ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
82	81, 17	sstrdi 3943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
83		ssequn2 4135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) = 𝐴)
84	82, 83	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = 𝐴)
85	79, 84	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
86	85	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝐾 ↾t 𝐴))
87	86	fveq2d 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (int‘(𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))) = (int‘(𝐾 ↾t 𝐴)))
88		undif1 4430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ {𝑥})
89		ssequn2 4135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑥} ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
90	81, 89	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
91	88, 90	eqtrid 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
92	87, 91	fveq12d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((int‘(𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))‘(((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
93	78, 92	eleqtrrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))‘(((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
94	52, 53, 55, 8, 56, 93	limcres 26206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥) = (𝐺 limℂ 𝑥))
95	44, 94	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (𝐺 limℂ 𝑥))
96	95	eleq2d 2847	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ↔ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)))
97	96	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
98		dvres.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
99	98, 25	sseqtrd 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇)
100	27	ntrin 23379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇) → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
101	16, 64, 99, 100	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
102	101	eleq2d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
103		elin 3915	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
104	102, 103	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
105	104	anbi1d 643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
106	97, 105	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
107		an32 659	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
108	106, 107	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
109		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
110		fresin 6751	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
111	45, 110	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
112	7, 8, 109, 10, 111, 19	eldv 26218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
113	7, 8, 37, 10, 45, 18	eldv 26218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
114	113	anbi1cd 647	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
115	108, 112, 114	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198   − cmin 11541   / cdiv 11973   ↾_t crest 17591  TopOpenctopn 17592  ℂ_fldccnfld 21678  Topctop 23211  TopOnctopon 23228  intcnt 23335   lim_ℂ climc 26182   D cdv 26183

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-rest 17593  df-topn 17594  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-cnp 23546  df-xms 24639  df-ms 24640  df-limc 26186  df-dv 26187

This theorem is used by:  dvres  26231