MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvreslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvreslem 25944
Description: Lemma for dvres 25946. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Commute the consequent and shorten proof. (Revised by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
dvres.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
dvres.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvres.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvres.a (𝜑𝐴𝑆)
dvres.b (𝜑𝐵𝑆)
dvres.y (𝜑𝑦 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
dvreslem (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvreslem
StepHypRef Expression
1 difss 4136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴𝐵)
2 inss2 4238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
31, 2sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵
4 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}))
53, 4sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → 𝑧𝐵)
65fvresd 6926 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
7 dvres.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
8 dvres.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
98cnfldtop 24804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐾 ∈ Top
10 dvres.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
11 cnex 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ ∈ V
12 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑆 ∈ V)
14 resttop 23168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
159, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
167, 15eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ∈ Top)
17 inss1 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
18 dvres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴𝑆)
1917, 18sstrid 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
208cnfldtopon 24803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
21 resttopon 23169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
2220, 10, 21sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
237, 22eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
24 toponuni 22920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝑇)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑆 = 𝑇)
2619, 25sseqtrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑇)
27 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = 𝑇
2827ntrss2 23065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ Top ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑇) → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴𝐵))
2916, 26, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴𝐵))
3029, 2sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵)
3130sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝑥𝐵)
3231fvresd 6926 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
346, 33oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)))
3534oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
3635mpteq2dva 5242 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))))
37 dvres.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
3837reseq1i 5993 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}))
39 ssdif 4144 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
40 resmpt 6055 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))))
4117, 39, 40mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
4238, 41eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
4336, 42eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})))
4443oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
45 dvres.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
4645adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
4718, 10sstrd 3994 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
4847adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
4929, 17sstrdi 3996 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ 𝐴)
5049sselda 3983 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝑥𝐴)
5146, 48, 50dvlem 25931 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) ∈ ℂ)
5251, 37fmptd 7134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝐺:(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
5317, 39mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
54 difss 4136 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴
5554, 48sstrid 3995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ)
56 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
57 difssd 4137 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ( 𝑇𝐴) ⊆ 𝑇)
5826, 57unssd 4192 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴)) ⊆ 𝑇)
59 ssun1 4178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴)))
6127ntrss 23063 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴)) ⊆ 𝑇 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))) → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))))
6216, 58, 60, 61syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))))
6362, 49ssind 4241 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))) ∩ 𝐴))
6418, 25sseqtrd 4020 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 𝑇)
6517a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
66 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇t 𝐴) = (𝑇t 𝐴)
6727, 66restntr 23190 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 𝑇 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → ((int‘(𝑇t 𝐴))‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))) ∩ 𝐴))
6816, 64, 65, 67syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝐴))‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))) ∩ 𝐴))
697oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇t 𝐴) = ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐴)
709a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ Top)
71 restabs 23173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴𝑆𝑆 ∈ V) → ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐴) = (𝐾t 𝐴))
7270, 18, 13, 71syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐴) = (𝐾t 𝐴))
7369, 72eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇t 𝐴) = (𝐾t 𝐴))
7473fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (int‘(𝑇t 𝐴)) = (int‘(𝐾t 𝐴)))
7574fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝐴))‘(𝐴𝐵)) = ((int‘(𝐾t 𝐴))‘(𝐴𝐵)))
7668, 75eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))) ∩ 𝐴) = ((int‘(𝐾t 𝐴))‘(𝐴𝐵)))
7763, 76sseqtrd 4020 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ ((int‘(𝐾t 𝐴))‘(𝐴𝐵)))
7877sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝐴))‘(𝐴𝐵)))
79 undif1 4476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥})
8029sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
8180snssd 4809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → {𝑥} ⊆ (𝐴𝐵))
8281, 17sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
83 ssequn2 4189 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) = 𝐴)
8482, 83sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = 𝐴)
8579, 84eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
8685oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝐾t 𝐴))
8786fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (int‘(𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))) = (int‘(𝐾t 𝐴)))
88 undif1 4476 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ((𝐴𝐵) ∪ {𝑥})
89 ssequn2 4189 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑥} ⊆ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ∪ {𝑥}) = (𝐴𝐵))
9081, 89sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝐴𝐵) ∪ {𝑥}) = (𝐴𝐵))
9188, 90eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐴𝐵))
9287, 91fveq12d 6913 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((int‘(𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))‘(((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((int‘(𝐾t 𝐴))‘(𝐴𝐵)))
9378, 92eleqtrrd 2844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))‘(((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
9452, 53, 55, 8, 56, 93limcres 25921 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) lim 𝑥) = (𝐺 lim 𝑥))
9544, 94eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = (𝐺 lim 𝑥))
9695eleq2d 2827 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) ↔ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)))
9796pm5.32da 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))))
98 dvres.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑆)
9998, 25sseqtrd 4020 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 𝑇)
10027ntrin 23069 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 𝑇𝐵 𝑇) → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
10116, 64, 99, 100syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
102101eleq2d 2827 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
103 elin 3967 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
104102, 103bitrdi 287 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
105104anbi1d 631 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))))
10697, 105bitrd 279 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))))
107 an32 646 . . 3 (((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
108106, 107bitrdi 287 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
109 eqid 2737 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)))
110 fresin 6777 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
11145, 110syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
1127, 8, 109, 10, 111, 19eldv 25933 . 2 (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
1137, 8, 37, 10, 45, 18eldv 25933 . . 3 (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))))
114113anbi1cd 635 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
115108, 112, 1143bitr4d 311 1 (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  {csn 4626   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cmin 11492   / cdiv 11920  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364  Topctop 22899  TopOnctopon 22916  intcnt 23025   lim climc 25897   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  dvres  25946
  Copyright terms: Public domain W3C validator