Theorem dvreslem 25971

Description: Lemma for dvres 25973. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Commute the consequent and shorten proof. (Revised by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvres.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
dvres.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
dvres.y	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvreslem	⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
2		inss2 4189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
3	1, 2	sstri 3945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵
4		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}))
5	3, 4	sselid 3934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → 𝑧 ∈ 𝐵)
6	5	fvresd 6887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
7		dvres.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
8		dvres.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
9	8	cnfldtop 24843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐾 ∈ Top
10		dvres.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
11		cnex 11154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℂ ∈ V
12		ssexg 5279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
14		resttop 23220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
15	9, 13, 14	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
16	7, 15	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Top)
17		inss1 4188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
18		dvres.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
19	17, 18	sstrid 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑆)
20	8	cnfldtopon 24842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
21		resttopon 23221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
22	20, 10, 21	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
23	7, 22	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
24		toponuni 22974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝑇)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝑇)
26	19, 25	sseqtrd 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇)
27		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
28	27	ntrss2 23117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇) → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
29	16, 26, 28	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
30	29, 2	sstrdi 3948	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵)
31	30	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
32	31	fvresd 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
33	32	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
34	6, 33	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
35	34	oveq1d 7411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
36	35	mpteq2dva 5193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
37		dvres.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
38	37	reseq1i 5961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}))
39		ssdif 4097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
40		resmpt 6026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
41	17, 39, 40	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
42	38, 41	eqtri 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
43	36, 42	eqtr4di 2815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})))
44	43	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
45		dvres.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
46	45	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
47	18, 10	sstrd 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
48	47	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
49	29, 17	sstrdi 3948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐴)
50	49	sselda 3936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
51	46, 48, 50	dvlem 25958	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) ∈ ℂ)
52	51, 37	fmptd 7095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐺:(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
53	17, 39	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
54		difss 4089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴
55	54, 48	sstrid 3947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ)
56		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
57		difssd 4090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑇 ∖ 𝐴) ⊆ ∪ 𝑇)
58	26, 57	unssd 4144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴)) ⊆ ∪ 𝑇)
59		ssun1 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴)))
61	27	ntrss 23115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴)) ⊆ ∪ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))))
62	16, 58, 60, 61	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))))
63	62, 49	ssind 4192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴))
64	18, 25	sseqtrd 3972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇)
65	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
66		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐴) = (𝑇 ↾t 𝐴)
67	27, 66	restntr 23242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴))
68	16, 64, 65, 67	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴))
69	7	oveq1i 7406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐴) = ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐴)
70	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
71		restabs 23225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐴) = (𝐾 ↾t 𝐴))
72	70, 18, 13, 71	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐴) = (𝐾 ↾t 𝐴))
73	69, 72	eqtrid 2809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾t 𝐴) = (𝐾 ↾t 𝐴))
74	73	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝑇 ↾t 𝐴)) = (int‘(𝐾 ↾t 𝐴)))
75	74	fveq1d 6869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
76	68, 75	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
77	63, 76	sseqtrd 3972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
78	77	sselda 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
79		undif1 4430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥})
80	29	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
81	80	snssd 4745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → {𝑥} ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
82	81, 17	sstrdi 3948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
83		ssequn2 4141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) = 𝐴)
84	82, 83	sylib 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = 𝐴)
85	79, 84	eqtrid 2809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
86	85	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝐾 ↾t 𝐴))
87	86	fveq2d 6871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (int‘(𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))) = (int‘(𝐾 ↾t 𝐴)))
88		undif1 4430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ {𝑥})
89		ssequn2 4141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑥} ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
90	81, 89	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
91	88, 90	eqtrid 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
92	87, 91	fveq12d 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((int‘(𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))‘(((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
93	78, 92	eleqtrrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))‘(((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
94	52, 53, 55, 8, 56, 93	limcres 25948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥) = (𝐺 limℂ 𝑥))
95	44, 94	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (𝐺 limℂ 𝑥))
96	95	eleq2d 2848	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ↔ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)))
97	96	pm5.32da 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
98		dvres.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
99	98, 25	sseqtrd 3972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇)
100	27	ntrin 23121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇) → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
101	16, 64, 99, 100	syl3anc 1390	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
102	101	eleq2d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
103		elin 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
104	102, 103	bitrdi 289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
105	104	anbi1d 640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
106	97, 105	bitrd 281	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
107		an32 656	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
108	106, 107	bitrdi 289	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
109		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
110		fresin 6733	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
111	45, 110	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
112	7, 8, 109, 10, 111, 19	eldv 25960	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
113	7, 8, 37, 10, 45, 18	eldv 25960	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
114	113	anbi1cd 644	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
115	108, 112, 114	3bitr4d 313	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  {csn 4582  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   ↾ cres 5649  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071   − cmin 11414   / cdiv 11844   ↾_t crest 17449  TopOpenctopn 17450  ℂ_fldccnfld 21424  Topctop 22953  TopOnctopon 22970  intcnt 23077   lim_ℂ climc 25924   D cdv 25925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-fz 13513  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-rest 17451  df-topn 17452  df-topgen 17472  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-cnp 23288  df-xms 24380  df-ms 24381  df-limc 25928  df-dv 25929

This theorem is referenced by:  dvres  25973