MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvreslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvreslem 25071
Description: Lemma for dvres 25073. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Commute the consequent and shorten proof. (Revised by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
dvres.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
dvres.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvres.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvres.a (𝜑𝐴𝑆)
dvres.b (𝜑𝐵𝑆)
dvres.y (𝜑𝑦 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
dvreslem (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvreslem
StepHypRef Expression
1 difss 4071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴𝐵)
2 inss2 4169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
31, 2sstri 3935 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵
4 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}))
53, 4sselid 3924 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → 𝑧𝐵)
65fvresd 6791 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
7 dvres.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
8 dvres.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
98cnfldtop 23945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐾 ∈ Top
10 dvres.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
11 cnex 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ ∈ V
12 ssexg 5251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑆 ∈ V)
14 resttop 22309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
159, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
167, 15eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ∈ Top)
17 inss1 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
18 dvres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴𝑆)
1917, 18sstrid 3937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
208cnfldtopon 23944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
21 resttopon 22310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
2220, 10, 21sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
237, 22eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
24 toponuni 22061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝑇)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑆 = 𝑇)
2619, 25sseqtrd 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑇)
27 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = 𝑇
2827ntrss2 22206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ Top ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑇) → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴𝐵))
2916, 26, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴𝐵))
3029, 2sstrdi 3938 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵)
3130sselda 3926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝑥𝐵)
3231fvresd 6791 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
346, 33oveq12d 7289 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)))
3534oveq1d 7286 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
3635mpteq2dva 5179 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))))
37 dvres.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
3837reseq1i 5886 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}))
39 ssdif 4079 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
40 resmpt 5944 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))))
4117, 39, 40mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
4238, 41eqtri 2768 . . . . . . . . 9 (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
4336, 42eqtr4di 2798 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})))
4443oveq1d 7286 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
45 dvres.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
4645adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
4718, 10sstrd 3936 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
4847adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
4929, 17sstrdi 3938 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ 𝐴)
5049sselda 3926 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝑥𝐴)
5146, 48, 50dvlem 25058 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) ∈ ℂ)
5251, 37fmptd 6985 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝐺:(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
5317, 39mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
54 difss 4071 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴
5554, 48sstrid 3937 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ)
56 eqid 2740 . . . . . . . 8 (𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
57 difssd 4072 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ( 𝑇𝐴) ⊆ 𝑇)
5826, 57unssd 4125 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴)) ⊆ 𝑇)
59 ssun1 4111 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴)))
6127ntrss 22204 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴)) ⊆ 𝑇 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))) → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))))
6216, 58, 60, 61syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))))
6362, 49ssind 4172 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))) ∩ 𝐴))
6418, 25sseqtrd 3966 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 𝑇)
6517a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
66 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇t 𝐴) = (𝑇t 𝐴)
6727, 66restntr 22331 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 𝑇 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → ((int‘(𝑇t 𝐴))‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))) ∩ 𝐴))
6816, 64, 65, 67syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝐴))‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))) ∩ 𝐴))
697oveq1i 7281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇t 𝐴) = ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐴)
709a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ Top)
71 restabs 22314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴𝑆𝑆 ∈ V) → ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐴) = (𝐾t 𝐴))
7270, 18, 13, 71syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐴) = (𝐾t 𝐴))
7369, 72eqtrid 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇t 𝐴) = (𝐾t 𝐴))
7473fveq2d 6775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (int‘(𝑇t 𝐴)) = (int‘(𝐾t 𝐴)))
7574fveq1d 6773 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝐴))‘(𝐴𝐵)) = ((int‘(𝐾t 𝐴))‘(𝐴𝐵)))
7668, 75eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))) ∩ 𝐴) = ((int‘(𝐾t 𝐴))‘(𝐴𝐵)))
7763, 76sseqtrd 3966 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ ((int‘(𝐾t 𝐴))‘(𝐴𝐵)))
7877sselda 3926 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝐴))‘(𝐴𝐵)))
79 undif1 4415 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥})
8029sselda 3926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
8180snssd 4748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → {𝑥} ⊆ (𝐴𝐵))
8281, 17sstrdi 3938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
83 ssequn2 4122 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) = 𝐴)
8482, 83sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = 𝐴)
8579, 84eqtrid 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
8685oveq2d 7287 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝐾t 𝐴))
8786fveq2d 6775 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (int‘(𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))) = (int‘(𝐾t 𝐴)))
88 undif1 4415 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ((𝐴𝐵) ∪ {𝑥})
89 ssequn2 4122 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑥} ⊆ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ∪ {𝑥}) = (𝐴𝐵))
9081, 89sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝐴𝐵) ∪ {𝑥}) = (𝐴𝐵))
9188, 90eqtrid 2792 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐴𝐵))
9287, 91fveq12d 6778 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((int‘(𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))‘(((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((int‘(𝐾t 𝐴))‘(𝐴𝐵)))
9378, 92eleqtrrd 2844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))‘(((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
9452, 53, 55, 8, 56, 93limcres 25048 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) lim 𝑥) = (𝐺 lim 𝑥))
9544, 94eqtrd 2780 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = (𝐺 lim 𝑥))
9695eleq2d 2826 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) ↔ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)))
9796pm5.32da 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))))
98 dvres.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑆)
9998, 25sseqtrd 3966 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 𝑇)
10027ntrin 22210 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 𝑇𝐵 𝑇) → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
10116, 64, 99, 100syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
102101eleq2d 2826 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
103 elin 3908 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
104102, 103bitrdi 287 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
105104anbi1d 630 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))))
10697, 105bitrd 278 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))))
107 an32 643 . . 3 (((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
108106, 107bitrdi 287 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
109 eqid 2740 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)))
110 fresin 6641 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
11145, 110syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
1127, 8, 109, 10, 111, 19eldv 25060 . 2 (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
1137, 8, 37, 10, 45, 18eldv 25060 . . 3 (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))))
114113anbi1cd 634 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
115108, 112, 1143bitr4d 311 1 (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  Vcvv 3431  cdif 3889  cun 3890  cin 3891  wss 3892  {csn 4567   cuni 4845   class class class wbr 5079  cmpt 5162  cres 5592  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7271  cc 10870  cmin 11205   / cdiv 11632  t crest 17129  TopOpenctopn 17130  fldccnfld 20595  Topctop 22040  TopOnctopon 22057  intcnt 22166   lim climc 25024   D cdv 25025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-fz 13239  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-struct 16846  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-rest 17131  df-topn 17132  df-topgen 17152  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-cnp 22377  df-xms 23471  df-ms 23472  df-limc 25028  df-dv 25029
This theorem is referenced by:  dvres  25073
  Copyright terms: Public domain W3C validator