MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvreslem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvreslem 25418
Description: Lemma for dvres 25420. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Commute the consequent and shorten proof. (Revised by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
dvres.t 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
dvres.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
dvres.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
dvres.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
dvres.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
dvres.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑆)
dvres.y (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
dvreslem (πœ‘ β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝐾(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem dvreslem
StepHypRef Expression
1 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡)
2 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡
31, 2sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐡
4 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}))
53, 4sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
65fvresd 6909 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
7 dvres.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
8 dvres.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
98cnfldtop 24292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐾 ∈ Top
10 dvres.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
11 cnex 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„‚ ∈ V
12 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑆 ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
14 resttop 22656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
159, 13, 14sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
167, 15eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Top)
17 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴
18 dvres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
1917, 18sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝑆)
208cnfldtopon 24291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
21 resttopon 22657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
2220, 10, 21sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
237, 22eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
24 toponuni 22408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇 ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝑇)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝑇)
2619, 25sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑇)
27 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
2827ntrss2 22553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑇) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡))
2916, 26, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡))
3029, 2sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† 𝐡)
3130sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
3231fvresd 6909 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3332adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
346, 33oveq12d 7424 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
3534oveq1d 7421 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
3635mpteq2dva 5248 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
37 dvres.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
3837reseq1i 5976 . . . . . . . . . 10 (𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}))
39 ssdif 4139 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐴 βˆ– {π‘₯}))
40 resmpt 6036 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐴 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
4117, 39, 40mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
4238, 41eqtri 2761 . . . . . . . . 9 (𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
4336, 42eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})))
4443oveq1d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = ((𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) limβ„‚ π‘₯))
45 dvres.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
4645adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
4718, 10sstrd 3992 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4847adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4929, 17sstrdi 3994 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† 𝐴)
5049sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5146, 48, 50dvlem 25405 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
5251, 37fmptd 7111 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ 𝐺:(𝐴 βˆ– {π‘₯})βŸΆβ„‚)
5317, 39mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐴 βˆ– {π‘₯}))
54 difss 4131 . . . . . . . . 9 (𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐴
5554, 48sstrid 3993 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† β„‚)
56 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})) = (𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))
57 difssd 4132 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑇)
5826, 57unssd 4186 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴)) βŠ† βˆͺ 𝑇)
59 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴)))
6127ntrss 22551 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴)) βŠ† βˆͺ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† ((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))))
6216, 58, 60, 61syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† ((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))))
6362, 49ssind 4232 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))) ∩ 𝐴))
6418, 25sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇)
6517a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴)
66 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 β†Ύt 𝐴) = (𝑇 β†Ύt 𝐴)
6727, 66restntr 22678 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴) β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))) ∩ 𝐴))
6816, 64, 65, 67syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))) ∩ 𝐴))
697oveq1i 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 β†Ύt 𝐴) = ((𝐾 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝐴)
709a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
71 restabs 22661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝐾 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝐴) = (𝐾 β†Ύt 𝐴))
7270, 18, 13, 71syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝐾 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝐴) = (𝐾 β†Ύt 𝐴))
7369, 72eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύt 𝐴) = (𝐾 β†Ύt 𝐴))
7473fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝑇 β†Ύt 𝐴)) = (intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴)))
7574fveq1d 6891 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
7668, 75eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))) ∩ 𝐴) = ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
7763, 76sseqtrd 4022 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
7877sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
79 undif1 4475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = (𝐴 βˆͺ {π‘₯})
8029sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
8180snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ {π‘₯} βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡))
8281, 17sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ {π‘₯} βŠ† 𝐴)
83 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . . . 14 ({π‘₯} βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 βˆͺ {π‘₯}) = 𝐴)
8482, 83sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝐴 βˆͺ {π‘₯}) = 𝐴)
8579, 84eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = 𝐴)
8685oveq2d 7422 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})) = (𝐾 β†Ύt 𝐴))
8786fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (intβ€˜(𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))) = (intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴)))
88 undif1 4475 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ {π‘₯})
89 ssequn2 4183 . . . . . . . . . . . 12 ({π‘₯} βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ {π‘₯}) = (𝐴 ∩ 𝐡))
9081, 89sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ {π‘₯}) = (𝐴 ∩ 𝐡))
9188, 90eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = (𝐴 ∩ 𝐡))
9287, 91fveq12d 6896 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})))β€˜(((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})) = ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
9378, 92eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})))β€˜(((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})))
9452, 53, 55, 8, 56, 93limcres 25395 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) limβ„‚ π‘₯) = (𝐺 limβ„‚ π‘₯))
9544, 94eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = (𝐺 limβ„‚ π‘₯))
9695eleq2d 2820 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) ↔ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)))
9796pm5.32da 580 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯))))
98 dvres.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑆)
9998, 25sseqtrd 4022 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑇)
10027ntrin 22557 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇 ∧ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑇) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∩ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
10116, 64, 99, 100syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∩ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
102101eleq2d 2820 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ↔ π‘₯ ∈ (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∩ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))))
103 elin 3964 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∩ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
104102, 103bitrdi 287 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))))
105104anbi1d 631 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯))))
10697, 105bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯))))
107 an32 645 . . 3 (((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
108106, 107bitrdi 287 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))))
109 eqid 2733 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
110 fresin 6758 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
11145, 110syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
1127, 8, 109, 10, 111, 19eldv 25407 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
1137, 8, 37, 10, 45, 18eldv 25407 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯))))
114113anbi1cd 635 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦) ↔ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))))
115108, 112, 1143bitr4d 311 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105   βˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868   β†Ύt crest 17363  TopOpenctopn 17364  β„‚fldccnfld 20937  Topctop 22387  TopOnctopon 22404  intcnt 22513   limβ„‚ climc 25371   D cdv 25372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-rest 17365  df-topn 17366  df-topgen 17386  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-cnp 22724  df-xms 23818  df-ms 23819  df-limc 25375  df-dv 25376
This theorem is referenced by:  dvres  25420
  Copyright terms: Public domain W3C validator