Theorem dvreslem 26137

Description: Lemma for dvres 26139. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Commute the consequent and shorten proof. (Revised by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvres.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
dvres.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
dvres.y	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvreslem	⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝐾(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem dvreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
2		inss2 4183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
3	1, 2	sstri 3940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵
4		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}))
5	3, 4	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → 𝑧 ∈ 𝐵)
6	5	fvresd 6899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
7		dvres.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
8		dvres.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
9	8	cnfldtop 25010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐾 ∈ Top
10		dvres.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
11		cnex 11206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℂ ∈ V
12		ssexg 5284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
14		resttop 23386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
15	9, 13, 14	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
16	7, 15	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Top)
17		inss1 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
18		dvres.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
19	17, 18	sstrid 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑆)
20	8	cnfldtopon 25009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
21		resttopon 23387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
22	20, 10, 21	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
23	7, 22	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
24		toponuni 23140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝑇)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝑇)
26	19, 25	sseqtrd 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇)
27		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
28	27	ntrss2 23283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇) → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
29	16, 26, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
30	29, 2	sstrdi 3943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵)
31	30	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
32	31	fvresd 6899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
34	6, 33	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
35	34	oveq1d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
36	35	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
37		dvres.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
38	37	reseq1i 5968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}))
39		ssdif 4091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
40		resmpt 6033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
41	17, 39, 40	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
42	38, 41	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
43	36, 42	eqtr4di 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})))
44	43	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
45		dvres.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
46	45	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
47	18, 10	sstrd 3941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
49	29, 17	sstrdi 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐴)
50	49	sselda 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
51	46, 48, 50	dvlem 26124	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) ∈ ℂ)
52	51, 37	fmptd 7108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐺:(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
53	17, 39	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
54		difss 4083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴
55	54, 48	sstrid 3942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ)
56		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
57		difssd 4084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑇 ∖ 𝐴) ⊆ ∪ 𝑇)
58	26, 57	unssd 4138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴)) ⊆ ∪ 𝑇)
59		ssun1 4124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴)))
61	27	ntrss 23281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴)) ⊆ ∪ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))))
62	16, 58, 60, 61	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))))
63	62, 49	ssind 4186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴))
64	18, 25	sseqtrd 3967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇)
65	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
66		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐴) = (𝑇 ↾t 𝐴)
67	27, 66	restntr 23408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴))
68	16, 64, 65, 67	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴))
69	7	oveq1i 7424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐴) = ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐴)
70	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
71		restabs 23391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐴) = (𝐾 ↾t 𝐴))
72	70, 18, 13, 71	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐴) = (𝐾 ↾t 𝐴))
73	69, 72	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾t 𝐴) = (𝐾 ↾t 𝐴))
74	73	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝑇 ↾t 𝐴)) = (int‘(𝐾 ↾t 𝐴)))
75	74	fveq1d 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
76	68, 75	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
77	63, 76	sseqtrd 3967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
78	77	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
79		undif1 4430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥})
80	29	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
81	80	snssd 4747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → {𝑥} ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
82	81, 17	sstrdi 3943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
83		ssequn2 4135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) = 𝐴)
84	82, 83	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = 𝐴)
85	79, 84	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
86	85	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝐾 ↾t 𝐴))
87	86	fveq2d 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (int‘(𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))) = (int‘(𝐾 ↾t 𝐴)))
88		undif1 4430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ {𝑥})
89		ssequn2 4135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑥} ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
90	81, 89	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
91	88, 90	eqtrid 2807	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
92	87, 91	fveq12d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((int‘(𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))‘(((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
93	78, 92	eleqtrrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))‘(((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
94	52, 53, 55, 8, 56, 93	limcres 26114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥) = (𝐺 limℂ 𝑥))
95	44, 94	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (𝐺 limℂ 𝑥))
96	95	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ↔ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)))
97	96	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
98		dvres.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
99	98, 25	sseqtrd 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇)
100	27	ntrin 23287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇) → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
101	16, 64, 99, 100	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
102	101	eleq2d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
103		elin 3915	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
104	102, 103	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
105	104	anbi1d 643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
106	97, 105	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
107		an32 659	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
108	106, 107	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
109		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
110		fresin 6745	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
111	45, 110	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
112	7, 8, 109, 10, 111, 19	eldv 26126	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
113	7, 8, 37, 10, 45, 18	eldv 26126	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
114	113	anbi1cd 647	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
115	108, 112, 114	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5657  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123   − cmin 11466   / cdiv 11896   ↾_t crest 17506  TopOpenctopn 17507  ℂ_fldccnfld 21586  Topctop 23119  TopOnctopon 23136  intcnt 23243   lim_ℂ climc 26090   D cdv 26091

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-fz 13563  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-struct 17240  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-rest 17508  df-topn 17509  df-topgen 17529  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-cnp 23454  df-xms 24547  df-ms 24548  df-limc 26094  df-dv 26095

This theorem is used by:  dvres  26139