MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvreslem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvreslem 25866
Description: Lemma for dvres 25868. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Commute the consequent and shorten proof. (Revised by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
dvres.t 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
dvres.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
dvres.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
dvres.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
dvres.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
dvres.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑆)
dvres.y (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
dvreslem (πœ‘ β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝐾(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem dvreslem
StepHypRef Expression
1 difss 4132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡)
2 inss2 4232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡
31, 2sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐡
4 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}))
53, 4sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
65fvresd 6922 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
7 dvres.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
8 dvres.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
98cnfldtop 24728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐾 ∈ Top
10 dvres.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
11 cnex 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„‚ ∈ V
12 ssexg 5327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑆 ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
14 resttop 23092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
159, 13, 14sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
167, 15eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Top)
17 inss1 4231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴
18 dvres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
1917, 18sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝑆)
208cnfldtopon 24727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
21 resttopon 23093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
2220, 10, 21sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
237, 22eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
24 toponuni 22844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇 ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝑇)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝑇)
2619, 25sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑇)
27 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
2827ntrss2 22989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑇) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡))
2916, 26, 28syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡))
3029, 2sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† 𝐡)
3130sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
3231fvresd 6922 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3332adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
346, 33oveq12d 7444 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
3534oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
3635mpteq2dva 5252 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
37 dvres.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
3837reseq1i 5985 . . . . . . . . . 10 (𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}))
39 ssdif 4140 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐴 βˆ– {π‘₯}))
40 resmpt 6046 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐴 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
4117, 39, 40mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
4238, 41eqtri 2756 . . . . . . . . 9 (𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
4336, 42eqtr4di 2786 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})))
4443oveq1d 7441 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = ((𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) limβ„‚ π‘₯))
45 dvres.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
4645adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
4718, 10sstrd 3992 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4847adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4929, 17sstrdi 3994 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† 𝐴)
5049sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5146, 48, 50dvlem 25853 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
5251, 37fmptd 7129 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ 𝐺:(𝐴 βˆ– {π‘₯})βŸΆβ„‚)
5317, 39mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐴 βˆ– {π‘₯}))
54 difss 4132 . . . . . . . . 9 (𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐴
5554, 48sstrid 3993 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† β„‚)
56 eqid 2728 . . . . . . . 8 (𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})) = (𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))
57 difssd 4133 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑇)
5826, 57unssd 4188 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴)) βŠ† βˆͺ 𝑇)
59 ssun1 4174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴)))
6127ntrss 22987 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴)) βŠ† βˆͺ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† ((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))))
6216, 58, 60, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† ((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))))
6362, 49ssind 4235 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))) ∩ 𝐴))
6418, 25sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇)
6517a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴)
66 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 β†Ύt 𝐴) = (𝑇 β†Ύt 𝐴)
6727, 66restntr 23114 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴) β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))) ∩ 𝐴))
6816, 64, 65, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))) ∩ 𝐴))
697oveq1i 7436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 β†Ύt 𝐴) = ((𝐾 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝐴)
709a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
71 restabs 23097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝐾 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝐴) = (𝐾 β†Ύt 𝐴))
7270, 18, 13, 71syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝐾 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝐴) = (𝐾 β†Ύt 𝐴))
7369, 72eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύt 𝐴) = (𝐾 β†Ύt 𝐴))
7473fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝑇 β†Ύt 𝐴)) = (intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴)))
7574fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
7668, 75eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))) ∩ 𝐴) = ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
7763, 76sseqtrd 4022 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
7877sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
79 undif1 4479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = (𝐴 βˆͺ {π‘₯})
8029sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
8180snssd 4817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ {π‘₯} βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡))
8281, 17sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ {π‘₯} βŠ† 𝐴)
83 ssequn2 4185 . . . . . . . . . . . . . 14 ({π‘₯} βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 βˆͺ {π‘₯}) = 𝐴)
8482, 83sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝐴 βˆͺ {π‘₯}) = 𝐴)
8579, 84eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = 𝐴)
8685oveq2d 7442 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})) = (𝐾 β†Ύt 𝐴))
8786fveq2d 6906 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (intβ€˜(𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))) = (intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴)))
88 undif1 4479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ {π‘₯})
89 ssequn2 4185 . . . . . . . . . . . 12 ({π‘₯} βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ {π‘₯}) = (𝐴 ∩ 𝐡))
9081, 89sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ {π‘₯}) = (𝐴 ∩ 𝐡))
9188, 90eqtrid 2780 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = (𝐴 ∩ 𝐡))
9287, 91fveq12d 6909 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})))β€˜(((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})) = ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
9378, 92eleqtrrd 2832 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})))β€˜(((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})))
9452, 53, 55, 8, 56, 93limcres 25843 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) limβ„‚ π‘₯) = (𝐺 limβ„‚ π‘₯))
9544, 94eqtrd 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = (𝐺 limβ„‚ π‘₯))
9695eleq2d 2815 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) ↔ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)))
9796pm5.32da 577 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯))))
98 dvres.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑆)
9998, 25sseqtrd 4022 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑇)
10027ntrin 22993 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇 ∧ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑇) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∩ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
10116, 64, 99, 100syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∩ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
102101eleq2d 2815 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ↔ π‘₯ ∈ (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∩ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))))
103 elin 3965 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∩ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
104102, 103bitrdi 286 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))))
105104anbi1d 629 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯))))
10697, 105bitrd 278 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯))))
107 an32 644 . . 3 (((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
108106, 107bitrdi 286 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))))
109 eqid 2728 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
110 fresin 6771 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
11145, 110syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
1127, 8, 109, 10, 111, 19eldv 25855 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
1137, 8, 37, 10, 45, 18eldv 25855 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯))))
114113anbi1cd 633 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦) ↔ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))))
115108, 112, 1143bitr4d 310 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4632  βˆͺ cuni 4912   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   β†Ύ cres 5684  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146   βˆ’ cmin 11484   / cdiv 11911   β†Ύt crest 17411  TopOpenctopn 17412  β„‚fldccnfld 21293  Topctop 22823  TopOnctopon 22840  intcnt 22949   limβ„‚ climc 25819   D cdv 25820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-fz 13527  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-struct 17125  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-rest 17413  df-topn 17414  df-topgen 17434  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-cnp 23160  df-xms 24254  df-ms 24255  df-limc 25823  df-dv 25824
This theorem is referenced by:  dvres  25868
  Copyright terms: Public domain W3C validator