Theorem dvreslem 25860

Description: Lemma for dvres 25862. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Commute the consequent and shorten proof. (Revised by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvres.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
dvres.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
dvres.y	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
dvreslem	⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
2		inss2 4213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
3	1, 2	sstri 3968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵
4		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}))
5	3, 4	sselid 3956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → 𝑧 ∈ 𝐵)
6	5	fvresd 6895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
7		dvres.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
8		dvres.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
9	8	cnfldtop 24720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐾 ∈ Top
10		dvres.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
11		cnex 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℂ ∈ V
12		ssexg 5293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
13	10, 11, 12	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
14		resttop 23096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
15	9, 13, 14	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
16	7, 15	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Top)
17		inss1 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
18		dvres.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
19	17, 18	sstrid 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑆)
20	8	cnfldtopon 24719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
21		resttopon 23097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
22	20, 10, 21	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
23	7, 22	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
24		toponuni 22850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝑇)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝑇)
26	19, 25	sseqtrd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇)
27		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
28	27	ntrss2 22993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇) → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
29	16, 26, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
30	29, 2	sstrdi 3971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐵)
31	30	sselda 3958	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
32	31	fvresd 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
34	6, 33	oveq12d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
35	34	oveq1d 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
36	35	mpteq2dva 5214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
37		dvres.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
38	37	reseq1i 5962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}))
39		ssdif 4119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
40		resmpt 6024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
41	17, 39, 40	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
42	38, 41	eqtri 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
43	36, 42	eqtr4di 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})))
44	43	oveq1d 7418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
45		dvres.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
47	18, 10	sstrd 3969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
49	29, 17	sstrdi 3971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ 𝐴)
50	49	sselda 3958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
51	46, 48, 50	dvlem 25847	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) ∈ ℂ)
52	51, 37	fmptd 7103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐺:(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
53	17, 39	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
54		difss 4111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴
55	54, 48	sstrid 3970	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ)
56		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
57		difssd 4112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑇 ∖ 𝐴) ⊆ ∪ 𝑇)
58	26, 57	unssd 4167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴)) ⊆ ∪ 𝑇)
59		ssun1 4153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴)))
61	27	ntrss 22991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴)) ⊆ ∪ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))))
62	16, 58, 60, 61	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))))
63	62, 49	ssind 4216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴))
64	18, 25	sseqtrd 3995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇)
65	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
66		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐴) = (𝑇 ↾t 𝐴)
67	27, 66	restntr 23118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴))
68	16, 64, 65, 67	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴))
69	7	oveq1i 7413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐴) = ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐴)
70	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
71		restabs 23101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐴) = (𝐾 ↾t 𝐴))
72	70, 18, 13, 71	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐴) = (𝐾 ↾t 𝐴))
73	69, 72	eqtrid 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾t 𝐴) = (𝐾 ↾t 𝐴))
74	73	fveq2d 6879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝑇 ↾t 𝐴)) = (int‘(𝐾 ↾t 𝐴)))
75	74	fveq1d 6877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
76	68, 75	eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐴))) ∩ 𝐴) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
77	63, 76	sseqtrd 3995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ⊆ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
78	77	sselda 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
79		undif1 4451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥})
80	29	sselda 3958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
81	80	snssd 4785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → {𝑥} ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵))
82	81, 17	sstrdi 3971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
83		ssequn2 4164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) = 𝐴)
84	82, 83	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = 𝐴)
85	79, 84	eqtrid 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
86	85	oveq2d 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝐾 ↾t 𝐴))
87	86	fveq2d 6879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (int‘(𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))) = (int‘(𝐾 ↾t 𝐴)))
88		undif1 4451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ {𝑥})
89		ssequn2 4164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑥} ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
90	81, 89	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
91	88, 90	eqtrid 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∩ 𝐵))
92	87, 91	fveq12d 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((int‘(𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))‘(((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐴))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
93	78, 92	eleqtrrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))‘(((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
94	52, 53, 55, 8, 56, 93	limcres 25837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥) = (𝐺 limℂ 𝑥))
95	44, 94	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (𝐺 limℂ 𝑥))
96	95	eleq2d 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ↔ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)))
97	96	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
98		dvres.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
99	98, 25	sseqtrd 3995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇)
100	27	ntrin 22997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇 ∧ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇) → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
101	16, 64, 99, 100	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
102	101	eleq2d 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
103		elin 3942	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
104	102, 103	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
105	104	anbi1d 631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
106	97, 105	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
107		an32 646	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
108	106, 107	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
109		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
110		fresin 6746	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
111	45, 110	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
112	7, 8, 109, 10, 111, 19	eldv 25849	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
113	7, 8, 37, 10, 45, 18	eldv 25849	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
114	113	anbi1cd 635	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
115	108, 112, 114	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923   ∪ cun 3924   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  {csn 4601  ∪ cuni 4883   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201   ↾ cres 5656  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125   − cmin 11464   / cdiv 11892   ↾_t crest 17432  TopOpenctopn 17433  ℂ_fldccnfld 21313  Topctop 22829  TopOnctopon 22846  intcnt 22953   lim_ℂ climc 25813   D cdv 25814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-fz 13523  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-struct 17164  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-rest 17434  df-topn 17435  df-topgen 17455  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cld 22955  df-ntr 22956  df-cls 22957  df-cnp 23164  df-xms 24257  df-ms 24258  df-limc 25817  df-dv 25818

This theorem is referenced by:  dvres  25862