MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvreslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvreslem 23963
Description: Lemma for dvres 23965. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Commute the consequent and shorten proof. (Revised by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
dvres.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
dvres.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvres.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvres.a (𝜑𝐴𝑆)
dvres.b (𝜑𝐵𝑆)
dvres.y (𝜑𝑦 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
dvreslem (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvreslem
StepHypRef Expression
1 difss 3898 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴𝐵)
2 inss2 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
31, 2sstri 3769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵
4 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}))
53, 4sseldi 3758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → 𝑧𝐵)
65fvresd 6394 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
7 dvres.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
8 dvres.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
98cnfldtop 22865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐾 ∈ Top
10 dvres.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
11 cnex 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ ∈ V
12 ssexg 4964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑆 ∈ V)
14 resttop 21243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
159, 13, 14sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
167, 15syl5eqel 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ∈ Top)
17 inss1 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
18 dvres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴𝑆)
1917, 18syl5ss 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
208cnfldtopon 22864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
21 resttopon 21244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
2220, 10, 21sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
237, 22syl5eqel 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
24 toponuni 20997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝑇)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑆 = 𝑇)
2619, 25sseqtrd 3800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑇)
27 eqid 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = 𝑇
2827ntrss2 21140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ Top ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑇) → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴𝐵))
2916, 26, 28syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴𝐵))
3029, 2syl6ss 3772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵)
3130sselda 3760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝑥𝐵)
3231fvresd 6394 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
346, 33oveq12d 6859 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)))
3534oveq1d 6856 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
3635mpteq2dva 4902 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))))
37 dvres.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
3837reseq1i 5560 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}))
39 ssdif 3906 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
40 resmpt 5625 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))))
4117, 39, 40mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
4238, 41eqtri 2786 . . . . . . . . 9 (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
4336, 42syl6eqr 2816 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})))
4443oveq1d 6856 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
45 dvres.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
4645adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
4718, 10sstrd 3770 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
4847adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
4929, 17syl6ss 3772 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ 𝐴)
5049sselda 3760 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝑥𝐴)
5146, 48, 50dvlem 23950 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) ∈ ℂ)
5251, 37fmptd 6573 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝐺:(𝐴 ∖ {𝑥})⟶ℂ)
5317, 39mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
54 difss 3898 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐴
5554, 48syl5ss 3771 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ)
56 eqid 2764 . . . . . . . 8 (𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
57 difssd 3899 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ( 𝑇𝐴) ⊆ 𝑇)
5826, 57unssd 3950 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴)) ⊆ 𝑇)
59 ssun1 3937 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴)))
6127ntrss 21138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴)) ⊆ 𝑇 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))) → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))))
6216, 58, 60, 61syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))))
6362, 49ssind 3995 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))) ∩ 𝐴))
6418, 25sseqtrd 3800 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 𝑇)
6517a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
66 eqid 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇t 𝐴) = (𝑇t 𝐴)
6727, 66restntr 21265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 𝑇 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → ((int‘(𝑇t 𝐴))‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))) ∩ 𝐴))
6816, 64, 65, 67syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝐴))‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))) ∩ 𝐴))
697oveq1i 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇t 𝐴) = ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐴)
709a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ Top)
71 restabs 21248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴𝑆𝑆 ∈ V) → ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐴) = (𝐾t 𝐴))
7270, 18, 13, 71syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐴) = (𝐾t 𝐴))
7369, 72syl5eq 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇t 𝐴) = (𝐾t 𝐴))
7473fveq2d 6378 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (int‘(𝑇t 𝐴)) = (int‘(𝐾t 𝐴)))
7574fveq1d 6376 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝐴))‘(𝐴𝐵)) = ((int‘(𝐾t 𝐴))‘(𝐴𝐵)))
7668, 75eqtr3d 2800 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐴))) ∩ 𝐴) = ((int‘(𝐾t 𝐴))‘(𝐴𝐵)))
7763, 76sseqtrd 3800 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ⊆ ((int‘(𝐾t 𝐴))‘(𝐴𝐵)))
7877sselda 3760 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝐴))‘(𝐴𝐵)))
79 undif1 4202 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥})
8029sselda 3760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
8180snssd 4493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → {𝑥} ⊆ (𝐴𝐵))
8281, 17syl6ss 3772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
83 ssequn2 3947 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) = 𝐴)
8482, 83sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = 𝐴)
8579, 84syl5eq 2810 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
8685oveq2d 6857 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝐾t 𝐴))
8786fveq2d 6378 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (int‘(𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))) = (int‘(𝐾t 𝐴)))
88 undif1 4202 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ((𝐴𝐵) ∪ {𝑥})
89 ssequn2 3947 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑥} ⊆ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ∪ {𝑥}) = (𝐴𝐵))
9081, 89sylib 209 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝐴𝐵) ∪ {𝑥}) = (𝐴𝐵))
9188, 90syl5eq 2810 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐴𝐵))
9287, 91fveq12d 6381 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((int‘(𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))‘(((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((int‘(𝐾t 𝐴))‘(𝐴𝐵)))
9378, 92eleqtrrd 2846 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))‘(((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
9452, 53, 55, 8, 56, 93limcres 23940 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) lim 𝑥) = (𝐺 lim 𝑥))
9544, 94eqtrd 2798 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = (𝐺 lim 𝑥))
9695eleq2d 2829 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) ↔ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)))
9796pm5.32da 574 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))))
98 dvres.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑆)
9998, 25sseqtrd 3800 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 𝑇)
10027ntrin 21144 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 𝑇𝐵 𝑇) → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
10116, 64, 99, 100syl3anc 1490 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
102101eleq2d 2829 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
103 elin 3957 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘𝐴) ∩ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
104102, 103syl6bb 278 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
105104anbi1d 623 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))))
10697, 105bitrd 270 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))))
107 an32 636 . . 3 (((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
108106, 107syl6bb 278 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
109 eqid 2764 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)))
110 fresin 6254 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
11145, 110syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
1127, 8, 109, 10, 111, 19eldv 23952 . 2 (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
1137, 8, 37, 10, 45, 18eldv 23952 . . 3 (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))))
114113anbi1cd 627 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
115108, 112, 1143bitr4d 302 1 (𝜑 → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3349  cdif 3728  cun 3729  cin 3730  wss 3731  {csn 4333   cuni 4593   class class class wbr 4808  cmpt 4887  cres 5278  wf 6063  cfv 6067  (class class class)co 6841  cc 10186  cmin 10519   / cdiv 10937  t crest 16348  TopOpenctopn 16349  fldccnfld 20018  Topctop 20976  TopOnctopon 20993  intcnt 21100   lim climc 23916   D cdv 23917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fi 8523  df-sup 8554  df-inf 8555  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-q 11989  df-rp 12028  df-xneg 12145  df-xadd 12146  df-xmul 12147  df-fz 12533  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-rest 16350  df-topn 16351  df-topgen 16371  df-psmet 20010  df-xmet 20011  df-met 20012  df-bl 20013  df-mopn 20014  df-cnfld 20019  df-top 20977  df-topon 20994  df-topsp 21016  df-bases 21029  df-cld 21102  df-ntr 21103  df-cls 21104  df-cnp 21311  df-xms 22403  df-ms 22404  df-limc 23920  df-dv 23921
This theorem is referenced by:  dvres  23965
  Copyright terms: Public domain W3C validator