MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvreslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvreslem 25793
Description: Lemma for dvres 25795. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Commute the consequent and shorten proof. (Revised by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
dvres.t 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
dvres.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
dvres.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
dvres.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
dvres.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
dvres.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑆)
dvres.y (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
dvreslem (πœ‘ β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem dvreslem
StepHypRef Expression
1 difss 4126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡)
2 inss2 4224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡
31, 2sstri 3986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐡
4 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}))
53, 4sselid 3975 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
65fvresd 6905 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
7 dvres.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
8 dvres.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
98cnfldtop 24655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐾 ∈ Top
10 dvres.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
11 cnex 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„‚ ∈ V
12 ssexg 5316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑆 ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
14 resttop 23019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
159, 13, 14sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
167, 15eqeltrid 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Top)
17 inss1 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴
18 dvres.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
1917, 18sstrid 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝑆)
208cnfldtopon 24654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
21 resttopon 23020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
2220, 10, 21sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
237, 22eqeltrid 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
24 toponuni 22771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇 ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝑇)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝑇)
2619, 25sseqtrd 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑇)
27 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
2827ntrss2 22916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑇) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡))
2916, 26, 28syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡))
3029, 2sstrdi 3989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† 𝐡)
3130sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
3231fvresd 6905 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
346, 33oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
3534oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
3635mpteq2dva 5241 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
37 dvres.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
3837reseq1i 5971 . . . . . . . . . 10 (𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}))
39 ssdif 4134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐴 βˆ– {π‘₯}))
40 resmpt 6031 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐴 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
4117, 39, 40mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
4238, 41eqtri 2754 . . . . . . . . 9 (𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
4336, 42eqtr4di 2784 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})))
4443oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = ((𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) limβ„‚ π‘₯))
45 dvres.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
4645adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
4718, 10sstrd 3987 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4847adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4929, 17sstrdi 3989 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† 𝐴)
5049sselda 3977 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5146, 48, 50dvlem 25780 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
5251, 37fmptd 7109 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ 𝐺:(𝐴 βˆ– {π‘₯})βŸΆβ„‚)
5317, 39mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐴 βˆ– {π‘₯}))
54 difss 4126 . . . . . . . . 9 (𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐴
5554, 48sstrid 3988 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† β„‚)
56 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})) = (𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))
57 difssd 4127 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑇)
5826, 57unssd 4181 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴)) βŠ† βˆͺ 𝑇)
59 ssun1 4167 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴)))
6127ntrss 22914 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴)) βŠ† βˆͺ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† ((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))))
6216, 58, 60, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† ((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))))
6362, 49ssind 4227 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))) ∩ 𝐴))
6418, 25sseqtrd 4017 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇)
6517a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴)
66 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 β†Ύt 𝐴) = (𝑇 β†Ύt 𝐴)
6727, 66restntr 23041 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴) β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))) ∩ 𝐴))
6816, 64, 65, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))) ∩ 𝐴))
697oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 β†Ύt 𝐴) = ((𝐾 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝐴)
709a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
71 restabs 23024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝐾 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝐴) = (𝐾 β†Ύt 𝐴))
7270, 18, 13, 71syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝐾 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝐴) = (𝐾 β†Ύt 𝐴))
7369, 72eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύt 𝐴) = (𝐾 β†Ύt 𝐴))
7473fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝑇 β†Ύt 𝐴)) = (intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴)))
7574fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
7668, 75eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐴))) ∩ 𝐴) = ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
7763, 76sseqtrd 4017 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) βŠ† ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
7877sselda 3977 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
79 undif1 4470 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = (𝐴 βˆͺ {π‘₯})
8029sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ 𝐡))
8180snssd 4807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ {π‘₯} βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡))
8281, 17sstrdi 3989 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ {π‘₯} βŠ† 𝐴)
83 ssequn2 4178 . . . . . . . . . . . . . 14 ({π‘₯} βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 βˆͺ {π‘₯}) = 𝐴)
8482, 83sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝐴 βˆͺ {π‘₯}) = 𝐴)
8579, 84eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = 𝐴)
8685oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})) = (𝐾 β†Ύt 𝐴))
8786fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (intβ€˜(𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))) = (intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴)))
88 undif1 4470 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ {π‘₯})
89 ssequn2 4178 . . . . . . . . . . . 12 ({π‘₯} βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡) ↔ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ {π‘₯}) = (𝐴 ∩ 𝐡))
9081, 89sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ {π‘₯}) = (𝐴 ∩ 𝐡))
9188, 90eqtrid 2778 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = (𝐴 ∩ 𝐡))
9287, 91fveq12d 6892 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})))β€˜(((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})) = ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐴))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
9378, 92eleqtrrd 2830 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})))β€˜(((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯})))
9452, 53, 55, 8, 56, 93limcres 25770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) limβ„‚ π‘₯) = (𝐺 limβ„‚ π‘₯))
9544, 94eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = (𝐺 limβ„‚ π‘₯))
9695eleq2d 2813 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡))) β†’ (𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) ↔ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)))
9796pm5.32da 578 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯))))
98 dvres.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑆)
9998, 25sseqtrd 4017 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑇)
10027ntrin 22920 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇 ∧ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑇) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∩ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
10116, 64, 99, 100syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∩ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
102101eleq2d 2813 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ↔ π‘₯ ∈ (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∩ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))))
103 elin 3959 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∩ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
104102, 103bitrdi 287 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))))
105104anbi1d 629 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯))))
10697, 105bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯))))
107 an32 643 . . 3 (((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅)))
108106, 107bitrdi 287 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))))
109 eqid 2726 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
110 fresin 6754 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
11145, 110syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
1127, 8, 109, 10, 111, 19eldv 25782 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
1137, 8, 37, 10, 45, 18eldv 25782 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯))))
114113anbi1cd 633 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦) ↔ ((π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅))))
115108, 112, 1143bitr4d 311 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯(𝑆 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΅) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875   β†Ύt crest 17375  TopOpenctopn 17376  β„‚fldccnfld 21240  Topctop 22750  TopOnctopon 22767  intcnt 22876   limβ„‚ climc 25746   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-cnp 23087  df-xms 24181  df-ms 24182  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  dvres  25795
  Copyright terms: Public domain W3C validator