MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres2lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvres2lem 25434
Description: Lemma for dvres2 25436. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
dvres.t 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
dvres.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
dvres.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
dvres.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
dvres.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
dvres.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑆)
dvres.y (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
dvres2lem.d (πœ‘ β†’ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)
dvres2lem.x (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
dvres2lem (πœ‘ β†’ π‘₯(𝐡 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝐾(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem dvres2lem
StepHypRef Expression
1 dvres.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
2 dvres.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
32cnfldtop 24307 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ Top
4 dvres.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
5 cnex 11193 . . . . . . . . 9 β„‚ ∈ V
6 ssexg 5323 . . . . . . . . 9 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ 𝑆 ∈ V)
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
8 resttop 22671 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
93, 7, 8sylancr 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
101, 9eqeltrid 2837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Top)
11 inss1 4228 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴
12 dvres.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
1311, 12sstrid 3993 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝑆)
142cnfldtopon 24306 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
15 resttopon 22672 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
1614, 4, 15sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
171, 16eqeltrid 2837 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
18 toponuni 22423 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝑇)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝑇)
2013, 19sseqtrd 4022 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑇)
21 difssd 4132 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐡) βŠ† βˆͺ 𝑇)
2220, 21unssd 4186 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐡)) βŠ† βˆͺ 𝑇)
23 inundif 4478 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) = 𝐴
2412, 19sseqtrd 4022 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇)
25 ssdif 4139 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇 β†’ (𝐴 βˆ– 𝐡) βŠ† (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐡))
26 unss2 4181 . . . . . . . 8 ((𝐴 βˆ– 𝐡) βŠ† (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐡) β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) βŠ† ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐡)))
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (𝐴 βˆ– 𝐡)) βŠ† ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐡)))
2823, 27eqsstrrid 4031 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐡)))
29 eqid 2732 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
3029ntrss 22566 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐡)) βŠ† βˆͺ 𝑇 ∧ 𝐴 βŠ† ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐡))) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) βŠ† ((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐡))))
3110, 22, 28, 30syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) βŠ† ((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐡))))
32 dvres2lem.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)
33 dvres.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
34 dvres.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
351, 2, 33, 4, 34, 12eldv 25422 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯))))
3632, 35mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯)))
3736simpld 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄))
3831, 37sseldd 3983 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐡))))
39 dvres2lem.x . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
4038, 39elind 4194 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐡))) ∩ 𝐡))
41 dvres.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑆)
4241, 19sseqtrd 4022 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑇)
43 inss2 4229 . . . . . 6 (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡
4443a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡)
45 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑇 β†Ύt 𝐡) = (𝑇 β†Ύt 𝐡)
4629, 45restntr 22693 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐡) β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt 𝐡))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐡))) ∩ 𝐡))
4710, 42, 44, 46syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt 𝐡))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐡))) ∩ 𝐡))
481oveq1i 7421 . . . . . . 7 (𝑇 β†Ύt 𝐡) = ((𝐾 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝐡)
493a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
50 restabs 22676 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝐾 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝐡) = (𝐾 β†Ύt 𝐡))
5149, 41, 7, 50syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐾 β†Ύt 𝑆) β†Ύt 𝐡) = (𝐾 β†Ύt 𝐡))
5248, 51eqtrid 2784 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύt 𝐡) = (𝐾 β†Ύt 𝐡))
5352fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝑇 β†Ύt 𝐡)) = (intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐡)))
5453fveq1d 6893 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt 𝐡))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) = ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
5547, 54eqtr3d 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐴 ∩ 𝐡) βˆͺ (βˆͺ 𝑇 βˆ– 𝐡))) ∩ 𝐡) = ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
5640, 55eleqtrd 2835 . 2 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)))
57 limcresi 25409 . . . 4 (𝐺 limβ„‚ π‘₯) βŠ† ((𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) limβ„‚ π‘₯)
5836simprd 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ (𝐺 limβ„‚ π‘₯))
5957, 58sselid 3980 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ ((𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) limβ„‚ π‘₯))
60 difss 4131 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐴 ∩ 𝐡)
6160, 43sstri 3991 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐡
6261sseli 3978 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
63 fvres 6910 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
6439fvresd 6911 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
6563, 64oveqan12rd 7431 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
6665oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
6762, 66sylan2 593 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) β†’ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
6867mpteq2dva 5248 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
6933reseq1i 5977 . . . . . 6 (𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}))
70 ssdif 4139 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ 𝐡) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐴 βˆ– {π‘₯}))
71 resmpt 6037 . . . . . . 7 (((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐴 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
7211, 70, 71mp2b 10 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
7369, 72eqtri 2760 . . . . 5 (𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
7468, 73eqtr4di 2790 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})))
7574oveq1d 7426 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = ((𝐺 β†Ύ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯})) limβ„‚ π‘₯))
7659, 75eleqtrrd 2836 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
77 eqid 2732 . . 3 (𝐾 β†Ύt 𝐡) = (𝐾 β†Ύt 𝐡)
78 eqid 2732 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
7941, 4sstrd 3992 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
80 fresin 6760 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
8134, 80syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):(𝐴 ∩ 𝐡)βŸΆβ„‚)
8277, 2, 78, 79, 81, 44eldv 25422 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯(𝐡 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜(𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜(𝐴 ∩ 𝐡)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐡) βˆ– {π‘₯}) ↦ ((((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
8356, 76, 82mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ π‘₯(𝐡 D (𝐹 β†Ύ 𝐡))𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369  β„‚fldccnfld 20950  Topctop 22402  TopOnctopon 22419  intcnt 22528   limβ„‚ climc 25386   D cdv 25387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-fz 13487  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-rest 17370  df-topn 17371  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-cnp 22739  df-xms 23833  df-ms 23834  df-limc 25390  df-dv 25391
This theorem is referenced by:  dvres2  25436
  Copyright terms: Public domain W3C validator