Theorem dvres2lem 25811

Description: Lemma for dvres2 25813. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvres.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
dvres.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
dvres.y	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℂ)
dvres2lem.d	⊢ (𝜑 → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
dvres2lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dvres2lem	⊢ (𝜑 → 𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvres2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvres.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
2		dvres.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtop 24671	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ Top
4		dvres.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		cnex 11149	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
6		ssexg 5278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
8		resttop 23047	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
9	3, 7, 8	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
10	1, 9	eqeltrid 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Top)
11		inss1 4200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
12		dvres.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
13	11, 12	sstrid 3958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑆)
14	2	cnfldtopon 24670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
15		resttopon 23048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16	14, 4, 15	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
17	1, 16	eqeltrid 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
18		toponuni 22801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝑇)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝑇)
20	13, 19	sseqtrd 3983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇)
21		difssd 4100	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑇 ∖ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇)
22	20, 21	unssd 4155	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)) ⊆ ∪ 𝑇)
23		inundif 4442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
24	12, 19	sseqtrd 3983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇)
25		ssdif 4107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑇 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))
26		unss2 4150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)))
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)))
28	23, 27	eqsstrrid 3986	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)))
29		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
30	29	ntrss 22942	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)) ⊆ ∪ 𝑇 ∧ 𝐴 ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) → ((int‘𝑇)‘𝐴) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))))
31	10, 22, 28, 30	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘𝐴) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))))
32		dvres2lem.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
33		dvres.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
34		dvres.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
35	1, 2, 33, 4, 34, 12	eldv 25799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
36	32, 35	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)))
37	36	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴))
38	31, 37	sseldd 3947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))))
39		dvres2lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)
40	38, 39	elind 4163	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵))
41		dvres.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
42	41, 19	sseqtrd 3983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇)
43		inss2 4201	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
45		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐵) = (𝑇 ↾t 𝐵)
46	29, 45	restntr 23069	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵))
47	10, 42, 44, 46	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵))
48	1	oveq1i 7397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐵) = ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐵)
49	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
50		restabs 23052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵))
51	49, 41, 7, 50	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵))
52	48, 51	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵))
53	52	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝑇 ↾t 𝐵)) = (int‘(𝐾 ↾t 𝐵)))
54	53	fveq1d 6860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
55	47, 54	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
56	40, 55	eleqtrd 2830	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
57		limcresi 25786	. . . 4 ⊢ (𝐺 limℂ 𝑥) ⊆ ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥)
58	36	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))
59	57, 58	sselid 3944	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
60		difss 4099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
61	60, 43	sstri 3956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵
62	61	sseli 3942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) → 𝑧 ∈ 𝐵)
63		fvres 6877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
64	39	fvresd 6878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
65	63, 64	oveqan12rd 7407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
66	65	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
67	62, 66	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
68	67	mpteq2dva 5200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
69	33	reseq1i 5946	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}))
70		ssdif 4107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
71		resmpt 6008	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
72	11, 70, 71	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
73	69, 72	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
74	68, 73	eqtr4di 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})))
75	74	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
76	59, 75	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
77		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵)
78		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
79	41, 4	sstrd 3957	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
80		fresin 6729	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
81	34, 80	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
82	77, 2, 78, 79, 81, 44	eldv 25799	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
83	56, 76, 82	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  {csn 4589  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   ↾ cres 5640  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   − cmin 11405   / cdiv 11835   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  ℂ_fldccnfld 21264  Topctop 22780  TopOnctopon 22797  intcnt 22904   lim_ℂ climc 25763   D cdv 25764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-cnp 23115  df-xms 24208  df-ms 24209  df-limc 25767  df-dv 25768

This theorem is referenced by:  dvres2  25813