Theorem dvres2lem 25965

Description: Lemma for dvres2 25967. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvres.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
dvres.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
dvres.y	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℂ)
dvres2lem.d	⊢ (𝜑 → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
dvres2lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dvres2lem	⊢ (𝜑 → 𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvres2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvres.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
2		dvres.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtop 24825	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ Top
4		dvres.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		cnex 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
6		ssexg 5341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
7	4, 5, 6	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
8		resttop 23189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
9	3, 7, 8	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
10	1, 9	eqeltrid 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Top)
11		inss1 4258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
12		dvres.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
13	11, 12	sstrid 4020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑆)
14	2	cnfldtopon 24824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
15		resttopon 23190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16	14, 4, 15	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
17	1, 16	eqeltrid 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
18		toponuni 22941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝑇)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝑇)
20	13, 19	sseqtrd 4049	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇)
21		difssd 4160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑇 ∖ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇)
22	20, 21	unssd 4215	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)) ⊆ ∪ 𝑇)
23		inundif 4502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
24	12, 19	sseqtrd 4049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇)
25		ssdif 4167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑇 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))
26		unss2 4210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)))
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)))
28	23, 27	eqsstrrid 4058	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)))
29		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
30	29	ntrss 23084	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)) ⊆ ∪ 𝑇 ∧ 𝐴 ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) → ((int‘𝑇)‘𝐴) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))))
31	10, 22, 28, 30	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘𝐴) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))))
32		dvres2lem.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
33		dvres.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
34		dvres.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
35	1, 2, 33, 4, 34, 12	eldv 25953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
36	32, 35	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)))
37	36	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴))
38	31, 37	sseldd 4009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))))
39		dvres2lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)
40	38, 39	elind 4223	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵))
41		dvres.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
42	41, 19	sseqtrd 4049	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇)
43		inss2 4259	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
45		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐵) = (𝑇 ↾t 𝐵)
46	29, 45	restntr 23211	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵))
47	10, 42, 44, 46	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵))
48	1	oveq1i 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐵) = ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐵)
49	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
50		restabs 23194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵))
51	49, 41, 7, 50	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵))
52	48, 51	eqtrid 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵))
53	52	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝑇 ↾t 𝐵)) = (int‘(𝐾 ↾t 𝐵)))
54	53	fveq1d 6922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
55	47, 54	eqtr3d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
56	40, 55	eleqtrd 2846	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
57		limcresi 25940	. . . 4 ⊢ (𝐺 limℂ 𝑥) ⊆ ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥)
58	36	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))
59	57, 58	sselid 4006	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
60		difss 4159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
61	60, 43	sstri 4018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵
62	61	sseli 4004	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) → 𝑧 ∈ 𝐵)
63		fvres 6939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
64	39	fvresd 6940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
65	63, 64	oveqan12rd 7468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
66	65	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
67	62, 66	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
68	67	mpteq2dva 5266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
69	33	reseq1i 6005	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}))
70		ssdif 4167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
71		resmpt 6066	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
72	11, 70, 71	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
73	69, 72	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
74	68, 73	eqtr4di 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})))
75	74	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
76	59, 75	eleqtrrd 2847	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
77		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵)
78		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
79	41, 4	sstrd 4019	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
80		fresin 6790	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
81	34, 80	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
82	77, 2, 78, 79, 81, 44	eldv 25953	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
83	56, 76, 82	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   − cmin 11520   / cdiv 11947   ↾_t crest 17480  TopOpenctopn 17481  ℂ_fldccnfld 21387  Topctop 22920  TopOnctopon 22937  intcnt 23046   lim_ℂ climc 25917   D cdv 25918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-cnp 23257  df-xms 24351  df-ms 24352  df-limc 25921  df-dv 25922

This theorem is referenced by:  dvres2  25967