Theorem dvres2lem 25759

Description: Lemma for dvres2 25761. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvres.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
dvres.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
dvres.y	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℂ)
dvres2lem.d	⊢ (𝜑 → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
dvres2lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dvres2lem	⊢ (𝜑 → 𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvres2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvres.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
2		dvres.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtop 24620	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ Top
4		dvres.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		cnex 11197	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
6		ssexg 5323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
7	4, 5, 6	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
8		resttop 22984	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
9	3, 7, 8	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
10	1, 9	eqeltrid 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Top)
11		inss1 4228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
12		dvres.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
13	11, 12	sstrid 3993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑆)
14	2	cnfldtopon 24619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
15		resttopon 22985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16	14, 4, 15	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
17	1, 16	eqeltrid 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
18		toponuni 22736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝑇)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝑇)
20	13, 19	sseqtrd 4022	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇)
21		difssd 4132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑇 ∖ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇)
22	20, 21	unssd 4186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)) ⊆ ∪ 𝑇)
23		inundif 4478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
24	12, 19	sseqtrd 4022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇)
25		ssdif 4139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑇 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))
26		unss2 4181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)))
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)))
28	23, 27	eqsstrrid 4031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)))
29		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
30	29	ntrss 22879	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)) ⊆ ∪ 𝑇 ∧ 𝐴 ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) → ((int‘𝑇)‘𝐴) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))))
31	10, 22, 28, 30	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘𝐴) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))))
32		dvres2lem.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
33		dvres.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
34		dvres.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
35	1, 2, 33, 4, 34, 12	eldv 25747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
36	32, 35	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)))
37	36	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴))
38	31, 37	sseldd 3983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))))
39		dvres2lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)
40	38, 39	elind 4194	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵))
41		dvres.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
42	41, 19	sseqtrd 4022	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇)
43		inss2 4229	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
45		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐵) = (𝑇 ↾t 𝐵)
46	29, 45	restntr 23006	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵))
47	10, 42, 44, 46	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵))
48	1	oveq1i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐵) = ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐵)
49	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
50		restabs 22989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵))
51	49, 41, 7, 50	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵))
52	48, 51	eqtrid 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵))
53	52	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝑇 ↾t 𝐵)) = (int‘(𝐾 ↾t 𝐵)))
54	53	fveq1d 6893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
55	47, 54	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
56	40, 55	eleqtrd 2834	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
57		limcresi 25734	. . . 4 ⊢ (𝐺 limℂ 𝑥) ⊆ ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥)
58	36	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))
59	57, 58	sselid 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
60		difss 4131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
61	60, 43	sstri 3991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵
62	61	sseli 3978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) → 𝑧 ∈ 𝐵)
63		fvres 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
64	39	fvresd 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
65	63, 64	oveqan12rd 7432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
66	65	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
67	62, 66	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
68	67	mpteq2dva 5248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
69	33	reseq1i 5977	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}))
70		ssdif 4139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
71		resmpt 6037	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
72	11, 70, 71	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
73	69, 72	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
74	68, 73	eqtr4di 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})))
75	74	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
76	59, 75	eleqtrrd 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
77		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵)
78		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
79	41, 4	sstrd 3992	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
80		fresin 6760	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
81	34, 80	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
82	77, 2, 78, 79, 81, 44	eldv 25747	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
83	56, 76, 82	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → 𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114   − cmin 11451   / cdiv 11878   ↾_t crest 17373  TopOpenctopn 17374  ℂ_fldccnfld 21233  Topctop 22715  TopOnctopon 22732  intcnt 22841   lim_ℂ climc 25711   D cdv 25712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-cld 22843  df-ntr 22844  df-cls 22845  df-cnp 23052  df-xms 24146  df-ms 24147  df-limc 25715  df-dv 25716

This theorem is referenced by:  dvres2  25761