Theorem dvres2lem 25877

Description: Lemma for dvres2 25879. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvres.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
dvres.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
dvres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvres.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
dvres.y	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ℂ)
dvres2lem.d	⊢ (𝜑 → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
dvres2lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dvres2lem	⊢ (𝜑 → 𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvres2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvres.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
2		dvres.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtop 24748	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ Top
4		dvres.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		cnex 11119	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
6		ssexg 5264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
7	4, 5, 6	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
8		resttop 23125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
9	3, 7, 8	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
10	1, 9	eqeltrid 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Top)
11		inss1 4177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
12		dvres.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
13	11, 12	sstrid 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑆)
14	2	cnfldtopon 24747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
15		resttopon 23126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16	14, 4, 15	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
17	1, 16	eqeltrid 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
18		toponuni 22879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝑇)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ∪ 𝑇)
20	13, 19	sseqtrd 3958	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇)
21		difssd 4077	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑇 ∖ 𝐵) ⊆ ∪ 𝑇)
22	20, 21	unssd 4132	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)) ⊆ ∪ 𝑇)
23		inundif 4419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
24	12, 19	sseqtrd 3958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇)
25		ssdif 4084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑇 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))
26		unss2 4127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)))
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)))
28	23, 27	eqsstrrid 3961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)))
29		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
30	29	ntrss 23020	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵)) ⊆ ∪ 𝑇 ∧ 𝐴 ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) → ((int‘𝑇)‘𝐴) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))))
31	10, 22, 28, 30	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝑇)‘𝐴) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))))
32		dvres2lem.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
33		dvres.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
34		dvres.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
35	1, 2, 33, 4, 34, 12	eldv 25865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))))
36	32, 35	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥)))
37	36	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴))
38	31, 37	sseldd 3922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))))
39		dvres2lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)
40	38, 39	elind 4140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵))
41		dvres.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑆)
42	41, 19	sseqtrd 3958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇)
43		inss2 4178	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
45		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐵) = (𝑇 ↾t 𝐵)
46	29, 45	restntr 23147	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑇 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵))
47	10, 42, 44, 46	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵))
48	1	oveq1i 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ↾t 𝐵) = ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐵)
49	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
50		restabs 23130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵))
51	49, 41, 7, 50	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t 𝑆) ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵))
52	48, 51	eqtrid 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵))
53	52	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘(𝑇 ↾t 𝐵)) = (int‘(𝐾 ↾t 𝐵)))
54	53	fveq1d 6842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘(𝑇 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
55	47, 54	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (∪ 𝑇 ∖ 𝐵))) ∩ 𝐵) = ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
56	40, 55	eleqtrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)))
57		limcresi 25852	. . . 4 ⊢ (𝐺 limℂ 𝑥) ⊆ ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥)
58	36	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝐺 limℂ 𝑥))
59	57, 58	sselid 3919	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
60		difss 4076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)
61	60, 43	sstri 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵
62	61	sseli 3917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) → 𝑧 ∈ 𝐵)
63		fvres 6859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
64	39	fvresd 6860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
65	63, 64	oveqan12rd 7387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
66	65	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
67	62, 66	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) → ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
68	67	mpteq2dva 5178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
69	33	reseq1i 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}))
70		ssdif 4084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
71		resmpt 6002	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
72	11, 70, 71	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
73	69, 72	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
74	68, 73	eqtr4di 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})))
75	74	oveq1d 7382	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥})) limℂ 𝑥))
76	59, 75	eleqtrrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
77		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t 𝐵)
78		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
79	41, 4	sstrd 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
80		fresin 6709	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
81	34, 80	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):(𝐴 ∩ 𝐵)⟶ℂ)
82	77, 2, 78, 79, 81, 44	eldv 25865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝐵))‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑧) − ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
83	56, 76, 82	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ∪ cuni 4850   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   ↾ cres 5633  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   − cmin 11377   / cdiv 11807   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  ℂ_fldccnfld 21352  Topctop 22858  TopOnctopon 22875  intcnt 22982   lim_ℂ climc 25829   D cdv 25830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-cnp 23193  df-xms 24285  df-ms 24286  df-limc 25833  df-dv 25834

This theorem is referenced by:  dvres2  25879