MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvres2lem 25945
Description: Lemma for dvres2 25947. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
dvres.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
dvres.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvres.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvres.a (𝜑𝐴𝑆)
dvres.b (𝜑𝐵𝑆)
dvres.y (𝜑𝑦 ∈ ℂ)
dvres2lem.d (𝜑𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
dvres2lem.x (𝜑𝑥𝐵)
Assertion
Ref Expression
dvres2lem (𝜑𝑥(𝐵 D (𝐹𝐵))𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvres2lem
StepHypRef Expression
1 dvres.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
2 dvres.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtop 24804 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ Top
4 dvres.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
5 cnex 11236 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
6 ssexg 5323 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ V)
8 resttop 23168 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
93, 7, 8sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
101, 9eqeltrid 2845 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ Top)
11 inss1 4237 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
12 dvres.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑆)
1311, 12sstrid 3995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
142cnfldtopon 24803 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
15 resttopon 23169 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
1614, 4, 15sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
171, 16eqeltrid 2845 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
18 toponuni 22920 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝑇)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = 𝑇)
2013, 19sseqtrd 4020 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑇)
21 difssd 4137 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝑇𝐵) ⊆ 𝑇)
2220, 21unssd 4192 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵)) ⊆ 𝑇)
23 inundif 4479 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
2412, 19sseqtrd 4020 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 𝑇)
25 ssdif 4144 . . . . . . . 8 (𝐴 𝑇 → (𝐴𝐵) ⊆ ( 𝑇𝐵))
26 unss2 4187 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ⊆ ( 𝑇𝐵) → ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵)))
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵)))
2823, 27eqsstrrid 4023 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵)))
29 eqid 2737 . . . . . . 7 𝑇 = 𝑇
3029ntrss 23063 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵)) ⊆ 𝑇𝐴 ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))) → ((int‘𝑇)‘𝐴) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))))
3110, 22, 28, 30syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘𝐴) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))))
32 dvres2lem.d . . . . . . 7 (𝜑𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
33 dvres.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
34 dvres.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
351, 2, 33, 4, 34, 12eldv 25933 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))))
3632, 35mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)))
3736simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴))
3831, 37sseldd 3984 . . . 4 (𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))))
39 dvres2lem.x . . . 4 (𝜑𝑥𝐵)
4038, 39elind 4200 . . 3 (𝜑𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))) ∩ 𝐵))
41 dvres.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑆)
4241, 19sseqtrd 4020 . . . . 5 (𝜑𝐵 𝑇)
43 inss2 4238 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
4443a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵)
45 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑇t 𝐵) = (𝑇t 𝐵)
4629, 45restntr 23190 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐵 𝑇 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵) → ((int‘(𝑇t 𝐵))‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))) ∩ 𝐵))
4710, 42, 44, 46syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝐵))‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))) ∩ 𝐵))
481oveq1i 7441 . . . . . . 7 (𝑇t 𝐵) = ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐵)
493a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ Top)
50 restabs 23173 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵𝑆𝑆 ∈ V) → ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐵) = (𝐾t 𝐵))
5149, 41, 7, 50syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐵) = (𝐾t 𝐵))
5248, 51eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇t 𝐵) = (𝐾t 𝐵))
5352fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (int‘(𝑇t 𝐵)) = (int‘(𝐾t 𝐵)))
5453fveq1d 6908 . . . 4 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝐵))‘(𝐴𝐵)) = ((int‘(𝐾t 𝐵))‘(𝐴𝐵)))
5547, 54eqtr3d 2779 . . 3 (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))) ∩ 𝐵) = ((int‘(𝐾t 𝐵))‘(𝐴𝐵)))
5640, 55eleqtrd 2843 . 2 (𝜑𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝐵))‘(𝐴𝐵)))
57 limcresi 25920 . . . 4 (𝐺 lim 𝑥) ⊆ ((𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) lim 𝑥)
5836simprd 495 . . . 4 (𝜑𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))
5957, 58sselid 3981 . . 3 (𝜑𝑦 ∈ ((𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
60 difss 4136 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴𝐵)
6160, 43sstri 3993 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵
6261sseli 3979 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) → 𝑧𝐵)
63 fvres 6925 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
6439fvresd 6926 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
6563, 64oveqan12rd 7451 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → (((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)))
6665oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
6762, 66sylan2 593 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
6867mpteq2dva 5242 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))))
6933reseq1i 5993 . . . . . 6 (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}))
70 ssdif 4144 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
71 resmpt 6055 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))))
7211, 70, 71mp2b 10 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
7369, 72eqtri 2765 . . . . 5 (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
7468, 73eqtr4di 2795 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})))
7574oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
7659, 75eleqtrrd 2844 . 2 (𝜑𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))
77 eqid 2737 . . 3 (𝐾t 𝐵) = (𝐾t 𝐵)
78 eqid 2737 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)))
7941, 4sstrd 3994 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
80 fresin 6777 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
8134, 80syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
8277, 2, 78, 79, 81, 44eldv 25933 . 2 (𝜑 → (𝑥(𝐵 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝐵))‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
8356, 76, 82mpbir2and 713 1 (𝜑𝑥(𝐵 D (𝐹𝐵))𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  {csn 4626   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cmin 11492   / cdiv 11920  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364  Topctop 22899  TopOnctopon 22916  intcnt 23025   lim climc 25897   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  dvres2  25947
  Copyright terms: Public domain W3C validator