MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvres2lem 24191
Description: Lemma for dvres2 24193. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
dvres.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
dvres.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvres.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvres.a (𝜑𝐴𝑆)
dvres.b (𝜑𝐵𝑆)
dvres.y (𝜑𝑦 ∈ ℂ)
dvres2lem.d (𝜑𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
dvres2lem.x (𝜑𝑥𝐵)
Assertion
Ref Expression
dvres2lem (𝜑𝑥(𝐵 D (𝐹𝐵))𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑧,𝐾   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvres2lem
StepHypRef Expression
1 dvres.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
2 dvres.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtop 23075 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ Top
4 dvres.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
5 cnex 10464 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
6 ssexg 5118 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ V)
8 resttop 21452 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
93, 7, 8sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
101, 9syl5eqel 2887 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ Top)
11 inss1 4125 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
12 dvres.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑆)
1311, 12syl5ss 3900 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
142cnfldtopon 23074 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
15 resttopon 21453 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
1614, 4, 15sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
171, 16syl5eqel 2887 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
18 toponuni 21206 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝑇)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = 𝑇)
2013, 19sseqtrd 3928 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑇)
21 difssd 4030 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝑇𝐵) ⊆ 𝑇)
2220, 21unssd 4083 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵)) ⊆ 𝑇)
23 inundif 4341 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
2412, 19sseqtrd 3928 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 𝑇)
25 ssdif 4037 . . . . . . . 8 (𝐴 𝑇 → (𝐴𝐵) ⊆ ( 𝑇𝐵))
26 unss2 4078 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ⊆ ( 𝑇𝐵) → ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵)))
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵)))
2823, 27syl5eqssr 3937 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵)))
29 eqid 2795 . . . . . . 7 𝑇 = 𝑇
3029ntrss 21347 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵)) ⊆ 𝑇𝐴 ⊆ ((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))) → ((int‘𝑇)‘𝐴) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))))
3110, 22, 28, 30syl3anc 1364 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘𝐴) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))))
32 dvres2lem.d . . . . . . 7 (𝜑𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
33 dvres.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
34 dvres.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
351, 2, 33, 4, 34, 12eldv 24179 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))))
3632, 35mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥)))
3736simpld 495 . . . . 5 (𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴))
3831, 37sseldd 3890 . . . 4 (𝜑𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))))
39 dvres2lem.x . . . 4 (𝜑𝑥𝐵)
4038, 39elind 4092 . . 3 (𝜑𝑥 ∈ (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))) ∩ 𝐵))
41 dvres.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑆)
4241, 19sseqtrd 3928 . . . . 5 (𝜑𝐵 𝑇)
43 inss2 4126 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
4443a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵)
45 eqid 2795 . . . . . 6 (𝑇t 𝐵) = (𝑇t 𝐵)
4629, 45restntr 21474 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐵 𝑇 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵) → ((int‘(𝑇t 𝐵))‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))) ∩ 𝐵))
4710, 42, 44, 46syl3anc 1364 . . . 4 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝐵))‘(𝐴𝐵)) = (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))) ∩ 𝐵))
481oveq1i 7026 . . . . . . 7 (𝑇t 𝐵) = ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐵)
493a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ Top)
50 restabs 21457 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵𝑆𝑆 ∈ V) → ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐵) = (𝐾t 𝐵))
5149, 41, 7, 50syl3anc 1364 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾t 𝑆) ↾t 𝐵) = (𝐾t 𝐵))
5248, 51syl5eq 2843 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇t 𝐵) = (𝐾t 𝐵))
5352fveq2d 6542 . . . . 5 (𝜑 → (int‘(𝑇t 𝐵)) = (int‘(𝐾t 𝐵)))
5453fveq1d 6540 . . . 4 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝐵))‘(𝐴𝐵)) = ((int‘(𝐾t 𝐵))‘(𝐴𝐵)))
5547, 54eqtr3d 2833 . . 3 (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐴𝐵) ∪ ( 𝑇𝐵))) ∩ 𝐵) = ((int‘(𝐾t 𝐵))‘(𝐴𝐵)))
5640, 55eleqtrd 2885 . 2 (𝜑𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝐵))‘(𝐴𝐵)))
57 limcresi 24166 . . . 4 (𝐺 lim 𝑥) ⊆ ((𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) lim 𝑥)
5836simprd 496 . . . 4 (𝜑𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝑥))
5957, 58sseldi 3887 . . 3 (𝜑𝑦 ∈ ((𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
60 difss 4029 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴𝐵)
6160, 43sstri 3898 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵
6261sseli 3885 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) → 𝑧𝐵)
63 fvres 6557 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
6439fvresd 6558 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
6563, 64oveqan12rd 7036 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → (((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)))
6665oveq1d 7031 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
6762, 66sylan2 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) → ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
6867mpteq2dva 5055 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))))
6933reseq1i 5730 . . . . . 6 (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}))
70 ssdif 4037 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}))
71 resmpt 5786 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))))
7211, 70, 71mp2b 10 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
7369, 72eqtri 2819 . . . . 5 (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
7468, 73syl6eqr 2849 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})))
7574oveq1d 7031 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = ((𝐺 ↾ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
7659, 75eleqtrrd 2886 . 2 (𝜑𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))
77 eqid 2795 . . 3 (𝐾t 𝐵) = (𝐾t 𝐵)
78 eqid 2795 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥)))
7941, 4sstrd 3899 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
80 fresin 6415 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
8134, 80syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
8277, 2, 78, 79, 81, 44eldv 24179 . 2 (𝜑 → (𝑥(𝐵 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(𝐾t 𝐵))‘(𝐴𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴𝐵) ∖ {𝑥}) ↦ ((((𝐹𝐵)‘𝑧) − ((𝐹𝐵)‘𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
8356, 76, 82mpbir2and 709 1 (𝜑𝑥(𝐵 D (𝐹𝐵))𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  Vcvv 3437  cdif 3856  cun 3857  cin 3858  wss 3859  {csn 4472   cuni 4745   class class class wbr 4962  cmpt 5041  cres 5445  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  cmin 10717   / cdiv 11145  t crest 16523  TopOpenctopn 16524  fldccnfld 20227  Topctop 21185  TopOnctopon 21202  intcnt 21309   lim climc 24143   D cdv 24144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-rest 16525  df-topn 16526  df-topgen 16546  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-cnp 21520  df-xms 22613  df-ms 22614  df-limc 24147  df-dv 24148
This theorem is referenced by:  dvres2  24193
  Copyright terms: Public domain W3C validator