Theorem limciccioolb 45617

Description: The limit of a function at the lower bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limciccioolb.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
limciccioolb.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
limciccioolb.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
limciccioolb.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limciccioolb	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴) = (𝐹 limℂ 𝐴))

Proof of Theorem limciccioolb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limciccioolb.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2		ioossicc 13455	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		limciccioolb.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		limciccioolb.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	iccssred 13456	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7		ax-resscn 11191	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstrdi 3976	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
9		eqid 2736	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10		eqid 2736	. 2 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))
11		retop 24705	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
13	5	rexrd 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
14		icossre 13450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
15	4, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
16		difssd 4117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ)
17	15, 16	unssd 4172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ℝ)
18		uniretop 24706	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
19	17, 18	sseqtrdi 4004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)))
20		elioore 13397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑥)
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵))
24		mnfxr 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
26	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27		elioo2 13408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
28	25, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
29	23, 28	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
30	29	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝐵)
32	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
34		elico2 13432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
35	32, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
36	21, 22, 31, 35	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
37	36	orcd 873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
38	20	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
39		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)
40	39	intnanrd 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → ¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
41	4	rexrd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
42	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
43	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44	38	rexrd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45		elicc4 13435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
47	40, 46	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
48	38, 47	eldifd 3942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
49	48	olcd 874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
50	37, 49	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
51		elun 4133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
52	50, 51	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
53	52	ralrimiva 3133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
54		dfss3 3952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
55	53, 54	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
56		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ (topGen‘ran (,))
57	56	ntrss 22998	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
58	12, 19, 55, 57	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
59	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
60	4	mnfltd 13145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)
61		limciccioolb.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
62	59, 13, 4, 60, 61	eliood 45494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (-∞(,)𝐵))
63		iooretop 24709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
65		isopn3i 23025	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)𝐵))
66	12, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)𝐵))
67	62, 66	eleqtrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)))
68	58, 67	sseldd 3964	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
69	4	leidd 11808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
70	4, 5, 61	ltled 11388	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
71	4, 5, 4, 69, 70	eliccd 45500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
72	68, 71	elind 4180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
73		icossicc 13458	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
74	73	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
75		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
76	18, 75	restntr 23125	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
77	12, 6, 74, 76	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
78	72, 77	eleqtrrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
79		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
80	9, 79	rerest 24748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
81	6, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
82	81	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
83	82	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))))
84	83	fveq1d 6883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
85	78, 84	eleqtrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
86	71	snssd 4790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
87		ssequn2 4169	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴} ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐵))
88	86, 87	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐵))
89	88	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))
90	89	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))
91	90	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))))
92		uncom 4138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵))
93		snunioo 13500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
94	41, 13, 61, 93	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
95	92, 94	eqtr2id 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
96	91, 95	fveq12d 6888	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
97	85, 96	eleqtrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
98	1, 3, 8, 9, 10, 97	limcres 25844	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴) = (𝐹 limℂ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   ∖ cdif 3928   ∪ cun 3929   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  {csn 4606  ∪ cuni 4888   class class class wbr 5124  ran crn 5660   ↾ cres 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  -∞cmnf 11272  ℝ^*cxr 11273   < clt 11274   ≤ cle 11275  (,)cioo 13367  [,)cico 13369  [,]cicc 13370   ↾_t crest 17439  TopOpenctopn 17440  topGenctg 17456  ℂ_fldccnfld 21320  Topctop 22836  intcnt 22960   lim_ℂ climc 25820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-struct 17171  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-rest 17441  df-topn 17442  df-topgen 17462  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-cnp 23171  df-xms 24264  df-ms 24265  df-limc 25824

This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  45889  fourierdlem82  46184  fourierdlem93  46195  fourierdlem111  46213