Theorem limciccioolb 46357

Description: The limit of a function at the lower bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limciccioolb.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
limciccioolb.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
limciccioolb.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
limciccioolb.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limciccioolb	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴) = (𝐹 limℂ 𝐴))

Proof of Theorem limciccioolb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limciccioolb.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2		ioossicc 13455	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		limciccioolb.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		limciccioolb.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	iccssred 13456	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7		ax-resscn 11152	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstrdi 3949	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
9		eqid 2763	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10		eqid 2763	. 2 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))
11		retop 24918	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
13	5	rexrd 11254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
14		icossre 13450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
15	4, 13, 14	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
16		difssd 4091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ)
17	15, 16	unssd 4145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ℝ)
18		uniretop 24919	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
19	17, 18	sseqtrdi 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)))
20		elioore 13397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
22		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑥)
23		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵))
24		mnfxr 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
26	13	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27		elioo2 13408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
28	25, 26, 27	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
29	23, 28	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
30	29	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
31	30	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝐵)
32	4	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	13	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
34		elico2 13432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
35	32, 33, 34	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
36	21, 22, 31, 35	mpbir3and 1361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
37	36	orcd 886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
38	20	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
39		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)
40	39	intnanrd 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → ¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
41	4	rexrd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
42	41	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
43	13	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44	38	rexrd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45		elicc4 13435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
47	40, 46	mtbird 328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
48	38, 47	eldifd 3916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
49	48	olcd 887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
50	37, 49	pm2.61dan 824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
51		elun 4107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
52	50, 51	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
53	52	ralrimiva 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
54		dfss3 3926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
55	53, 54	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
56		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ (topGen‘ran (,))
57	56	ntrss 23212	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
58	12, 19, 55, 57	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
59	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
60	4	mnfltd 13144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)
61		limciccioolb.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
62	59, 13, 4, 60, 61	eliood 46234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (-∞(,)𝐵))
63		iooretop 24922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
65		isopn3i 23239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)𝐵))
66	12, 64, 65	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)𝐵))
67	62, 66	eleqtrrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)))
68	58, 67	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
69	4	leidd 11775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
70	4, 5, 61	ltled 11353	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
71	4, 5, 4, 69, 70	eliccd 46240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
72	68, 71	elind 4153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
73		icossicc 13458	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
74	73	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
75		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
76	18, 75	restntr 23339	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
77	12, 6, 74, 76	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
78	72, 77	eleqtrrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
79		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
80	9, 79	rerest 24961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
81	6, 80	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
82	81	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
83	82	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))))
84	83	fveq1d 6883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
85	78, 84	eleqtrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
86	71	snssd 4752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
87		ssequn2 4142	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴} ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐵))
88	86, 87	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐵))
89	88	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))
90	89	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))
91	90	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))))
92		uncom 4112	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵))
93		snunioo 13500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
94	41, 13, 61, 93	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
95	92, 94	eqtr2id 2811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
96	91, 95	fveq12d 6888	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
97	85, 96	eleqtrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
98	1, 3, 8, 9, 10, 97	limcres 26045	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴) = (𝐹 limℂ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5109  ran crn 5662   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  -∞cmnf 11236  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239  (,)cioo 13367  [,)cico 13369  [,]cicc 13370   ↾_t crest 17468  TopOpenctopn 17469  topGenctg 17485  ℂ_fldccnfld 21522  Topctop 23050  intcnt 23174   lim_ℂ climc 26021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-rest 17470  df-topn 17471  df-topgen 17491  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-cnp 23385  df-xms 24477  df-ms 24478  df-limc 26025

This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  46627  fourierdlem82  46922  fourierdlem93  46933  fourierdlem111  46951