Theorem limciccioolb 46775

Description: The limit of a function at the lower bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limciccioolb.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
limciccioolb.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
limciccioolb.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
limciccioolb.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limciccioolb	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴) = (𝐹 limℂ 𝐴))

Proof of Theorem limciccioolb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limciccioolb.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2		ioossicc 13577	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		limciccioolb.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		limciccioolb.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	iccssred 13578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7		ax-resscn 11270	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstrdi 3925	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
9		eqid 2763	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10		eqid 2763	. 2 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))
11		retop 25095	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
13	5	rexrd 11372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
14		icossre 13572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
15	4, 13, 14	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
16		difssd 4076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ)
17	15, 16	unssd 4193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ℝ)
18		uniretop 25096	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
19	17, 18	sseqtrdi 3953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)))
20		elioore 13519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
22		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑥)
23		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵))
24		mnfxr 11379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
26	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27		elioo2 13530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
28	25, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
29	23, 28	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
30	29	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝐵)
32	4	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
34		elico2 13554	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
35	32, 33, 34	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
36	21, 22, 31, 35	mpbir3and 1361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
37	36	orcd 887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
38	20	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
39		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)
40	39	intnanrd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → ¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
41	4	rexrd 11372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
43	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44	38	rexrd 11372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45		elicc4 13557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
47	40, 46	mtbird 328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
48	38, 47	eldifd 4053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
49	48	olcd 888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
50	37, 49	pm2.61dan 825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
51		elun 4155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
52	50, 51	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
53	52	ralrimiva 3158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
54		dfss3 3902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
55	53, 54	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
56		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ (topGen‘ran (,))
57	56	ntrss 23388	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
58	12, 19, 55, 57	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
59	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
60	4	mnfltd 13266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)
61		limciccioolb.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
62	59, 13, 4, 60, 61	eliood 46652	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (-∞(,)𝐵))
63		iooretop 25099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
65		isopn3i 23415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)𝐵))
66	12, 64, 65	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)𝐵))
67	62, 66	eleqtrrd 2867	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)))
68	58, 67	sseldd 3914	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
69	4	leidd 11895	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
70	4, 5, 61	ltled 11471	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
71	4, 5, 4, 69, 70	eliccd 46658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
72	68, 71	elind 4100	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
73		icossicc 13580	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
74	73	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
75		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
76	18, 75	restntr 23515	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
77	12, 6, 74, 76	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
78	72, 77	eleqtrrd 2867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
79		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
80	9, 79	rerest 25138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
81	6, 80	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
82	81	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
83	82	fveq2d 6900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))))
84	83	fveq1d 6898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
85	78, 84	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
86	71	snssd 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
87		ssequn2 4190	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴} ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐵))
88	86, 87	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐵))
89	88	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))
90	89	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))
91	90	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))))
92		uncom 4160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵))
93		snunioo 13622	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
94	41, 13, 61, 93	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
95	92, 94	eqtr2id 2811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
96	91, 95	fveq12d 6903	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
97	85, 96	eleqtrd 2866	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
98	1, 3, 8, 9, 10, 97	limcres 26221	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴) = (𝐹 limℂ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  {csn 4588  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5106  ran crn 5656   ↾ cres 5657  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  ℝcr 11212  -∞cmnf 11354  ℝ^*cxr 11355   < clt 11356   ≤ cle 11357  (,)cioo 13489  [,)cico 13491  [,]cicc 13492   ↾_t crest 17606  TopOpenctopn 17607  topGenctg 17623  ℂ_fldccnfld 21693  Topctop 23226  intcnt 23350   lim_ℂ climc 26197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fi 9416  df-sup 9447  df-inf 9448  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-ioo 13493  df-ico 13495  df-icc 13496  df-fz 13653  df-seq 14158  df-exp 14218  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-struct 17340  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-rest 17608  df-topn 17609  df-topgen 17629  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-cnfld 21694  df-top 23227  df-topon 23244  df-topsp 23266  df-bases 23279  df-cld 23352  df-ntr 23353  df-cls 23354  df-cnp 23561  df-xms 24654  df-ms 24655  df-limc 26201

This theorem is used by:  cncfiooicclem1  47045  fourierdlem82  47340  fourierdlem93  47351  fourierdlem111  47369