Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limciccioolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limciccioolb 43869
Description: The limit of a function at the lower bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limciccioolb.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
limciccioolb.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
limciccioolb.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
limciccioolb.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
limciccioolb (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴) = (𝐹 limβ„‚ 𝐴))

Proof of Theorem limciccioolb
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limciccioolb.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2 ioossicc 13351 . . 3 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
4 limciccioolb.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 limciccioolb.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 13352 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
7 ax-resscn 11109 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
86, 7sstrdi 3957 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
9 eqid 2737 . 2 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
10 eqid 2737 . 2 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴}))
11 retop 24128 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top)
135rexrd 11206 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
14 icossre 13346 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴[,)𝐡) βŠ† ℝ)
154, 13, 14syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐡) βŠ† ℝ)
16 difssd 4093 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ)
1715, 16unssd 4147 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ℝ)
18 uniretop 24129 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
1917, 18sseqtrdi 3995 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)))
20 elioore 13295 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
22 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
23 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡))
24 mnfxr 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -∞ ∈ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
2613adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
27 elioo2 13306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ -∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
2825, 26, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ -∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
2923, 28mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ -∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡))
3029simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ π‘₯ < 𝐡)
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ < 𝐡)
324ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3313ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
34 elico2 13329 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
3532, 33, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
3621, 22, 31, 35mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡))
3736orcd 872 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
3820ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
39 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)
4039intnanrd 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ Β¬ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
414rexrd 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4313ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
4438rexrd 11206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
45 elicc4 13332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
4642, 43, 44, 45syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
4740, 46mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
4838, 47eldifd 3922 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))
4948olcd 873 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
5037, 49pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
51 elun 4109 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
5250, 51sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
5352ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)π‘₯ ∈ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
54 dfss3 3933 . . . . . . . . 9 ((-∞(,)𝐡) βŠ† ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)π‘₯ ∈ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
5553, 54sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝐡) βŠ† ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
56 eqid 2737 . . . . . . . . 9 βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
5756ntrss 22409 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐡) βŠ† ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)𝐡)) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))))
5812, 19, 55, 57syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)𝐡)) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))))
5924a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
604mnfltd 13046 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝐴)
61 limciccioolb.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
6259, 13, 4, 60, 61eliood 43743 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (-∞(,)𝐡))
63 iooretop 24132 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
6463a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
65 isopn3i 22436 . . . . . . . . 9 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)𝐡)) = (-∞(,)𝐡))
6612, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)𝐡)) = (-∞(,)𝐡))
6762, 66eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)𝐡)))
6858, 67sseldd 3946 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))))
694leidd 11722 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐴)
704, 5, 61ltled 11304 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
714, 5, 4, 69, 70eliccd 43749 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
7268, 71elind 4155 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
73 icossicc 13354 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
7473a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
75 eqid 2737 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
7618, 75restntr 22536 . . . . . 6 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ ∧ (𝐴[,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)) = (((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
7712, 6, 74, 76syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)) = (((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
7872, 77eleqtrrd 2841 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)))
79 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
809, 79rerest 24170 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
816, 80syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
8281eqcomd 2743 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
8382fveq2d 6847 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
8483fveq1d 6845 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)))
8578, 84eleqtrd 2840 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)))
8671snssd 4770 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† (𝐴[,]𝐡))
87 ssequn2 4144 . . . . . . . 8 ({𝐴} βŠ† (𝐴[,]𝐡) ↔ ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐡))
8886, 87sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐡))
8988eqcomd 2743 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) = ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴}))
9089oveq2d 7374 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴})))
9190fveq2d 6847 . . . 4 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴}))))
92 uncom 4114 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐴}) = ({𝐴} βˆͺ (𝐴(,)𝐡))
93 snunioo 13396 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ({𝐴} βˆͺ (𝐴(,)𝐡)) = (𝐴[,)𝐡))
9441, 13, 61, 93syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({𝐴} βˆͺ (𝐴(,)𝐡)) = (𝐴[,)𝐡))
9592, 94eqtr2id 2790 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐡) = ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐴}))
9691, 95fveq12d 6850 . . 3 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴})))β€˜((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐴})))
9785, 96eleqtrd 2840 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴})))β€˜((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐴})))
981, 3, 8, 9, 10, 97limcres 25253 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴) = (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  β„cr 11051  -∞cmnf 11188  β„*cxr 11189   < clt 11190   ≀ cle 11191  (,)cioo 13265  [,)cico 13267  [,]cicc 13268   β†Ύt crest 17303  TopOpenctopn 17304  topGenctg 17320  β„‚fldccnfld 20799  Topctop 22245  intcnt 22371   limβ„‚ climc 25229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-rest 17305  df-topn 17306  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-cnfld 20800  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-cld 22373  df-ntr 22374  df-cls 22375  df-cnp 22582  df-xms 23676  df-ms 23677  df-limc 25233
This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  44141  fourierdlem82  44436  fourierdlem93  44447  fourierdlem111  44465
  Copyright terms: Public domain W3C validator