Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limciccioolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limciccioolb 44337
Description: The limit of a function at the lower bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limciccioolb.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
limciccioolb.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
limciccioolb.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
limciccioolb.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
limciccioolb (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴) = (𝐹 limβ„‚ 𝐴))

Proof of Theorem limciccioolb
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limciccioolb.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2 ioossicc 13410 . . 3 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
4 limciccioolb.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 limciccioolb.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 13411 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
7 ax-resscn 11167 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
86, 7sstrdi 3995 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
9 eqid 2733 . 2 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
10 eqid 2733 . 2 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴}))
11 retop 24278 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top)
135rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
14 icossre 13405 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴[,)𝐡) βŠ† ℝ)
154, 13, 14syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐡) βŠ† ℝ)
16 difssd 4133 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ)
1715, 16unssd 4187 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ℝ)
18 uniretop 24279 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
1917, 18sseqtrdi 4033 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)))
20 elioore 13354 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
22 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
23 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡))
24 mnfxr 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -∞ ∈ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
2613adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
27 elioo2 13365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ -∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
2825, 26, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ -∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
2923, 28mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ -∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡))
3029simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ π‘₯ < 𝐡)
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ < 𝐡)
324ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3313ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
34 elico2 13388 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
3532, 33, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
3621, 22, 31, 35mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡))
3736orcd 872 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
3820ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
39 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)
4039intnanrd 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ Β¬ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
414rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4313ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
4438rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
45 elicc4 13391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
4642, 43, 44, 45syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
4740, 46mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
4838, 47eldifd 3960 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))
4948olcd 873 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
5037, 49pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
51 elun 4149 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
5250, 51sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
5352ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)π‘₯ ∈ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
54 dfss3 3971 . . . . . . . . 9 ((-∞(,)𝐡) βŠ† ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)π‘₯ ∈ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
5553, 54sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝐡) βŠ† ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
56 eqid 2733 . . . . . . . . 9 βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
5756ntrss 22559 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐡) βŠ† ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)𝐡)) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))))
5812, 19, 55, 57syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)𝐡)) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))))
5924a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
604mnfltd 13104 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝐴)
61 limciccioolb.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
6259, 13, 4, 60, 61eliood 44211 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (-∞(,)𝐡))
63 iooretop 24282 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
6463a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
65 isopn3i 22586 . . . . . . . . 9 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)𝐡)) = (-∞(,)𝐡))
6612, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)𝐡)) = (-∞(,)𝐡))
6762, 66eleqtrrd 2837 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)𝐡)))
6858, 67sseldd 3984 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))))
694leidd 11780 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐴)
704, 5, 61ltled 11362 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
714, 5, 4, 69, 70eliccd 44217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
7268, 71elind 4195 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
73 icossicc 13413 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
7473a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
75 eqid 2733 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
7618, 75restntr 22686 . . . . . 6 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ ∧ (𝐴[,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)) = (((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
7712, 6, 74, 76syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)) = (((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
7872, 77eleqtrrd 2837 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)))
79 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
809, 79rerest 24320 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
816, 80syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
8281eqcomd 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
8382fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
8483fveq1d 6894 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)))
8578, 84eleqtrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)))
8671snssd 4813 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† (𝐴[,]𝐡))
87 ssequn2 4184 . . . . . . . 8 ({𝐴} βŠ† (𝐴[,]𝐡) ↔ ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐡))
8886, 87sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐡))
8988eqcomd 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) = ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴}))
9089oveq2d 7425 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴})))
9190fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴}))))
92 uncom 4154 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐴}) = ({𝐴} βˆͺ (𝐴(,)𝐡))
93 snunioo 13455 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ({𝐴} βˆͺ (𝐴(,)𝐡)) = (𝐴[,)𝐡))
9441, 13, 61, 93syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({𝐴} βˆͺ (𝐴(,)𝐡)) = (𝐴[,)𝐡))
9592, 94eqtr2id 2786 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐡) = ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐴}))
9691, 95fveq12d 6899 . . 3 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴})))β€˜((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐴})))
9785, 96eleqtrd 2836 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴})))β€˜((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐴})))
981, 3, 8, 9, 10, 97limcres 25403 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴) = (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  [,]cicc 13327   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  intcnt 22521   limβ„‚ climc 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-cnp 22732  df-xms 23826  df-ms 23827  df-limc 25383
This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  44609  fourierdlem82  44904  fourierdlem93  44915  fourierdlem111  44933
  Copyright terms: Public domain W3C validator