Theorem limciccioolb 43852

Description: The limit of a function at the lower bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limciccioolb.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
limciccioolb.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
limciccioolb.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
limciccioolb.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limciccioolb	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴) = (𝐹 limℂ 𝐴))

Proof of Theorem limciccioolb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limciccioolb.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2		ioossicc 13350	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		limciccioolb.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		limciccioolb.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	iccssred 13351	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7		ax-resscn 11108	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstrdi 3956	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
9		eqid 2736	. 2 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10		eqid 2736	. 2 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))
11		retop 24125	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
13	5	rexrd 11205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
14		icossre 13345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
15	4, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
16		difssd 4092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ)
17	15, 16	unssd 4146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ℝ)
18		uniretop 24126	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
19	17, 18	sseqtrdi 3994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)))
20		elioore 13294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
22		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑥)
23		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵))
24		mnfxr 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
26	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27		elioo2 13305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
28	25, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
29	23, 28	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
30	29	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝐵)
32	4	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
33	13	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
34		elico2 13328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
35	32, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
36	21, 22, 31, 35	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
37	36	orcd 871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
38	20	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
39		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → ¬ 𝐴 ≤ 𝑥)
40	39	intnanrd 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → ¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
41	4	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
42	41	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
43	13	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44	38	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45		elicc4 13331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
47	40, 46	mtbird 324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
48	38, 47	eldifd 3921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
49	48	olcd 872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
50	37, 49	pm2.61dan 811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
51		elun 4108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
52	50, 51	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
53	52	ralrimiva 3143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
54		dfss3 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
55	53, 54	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
56		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ (topGen‘ran (,))
57	56	ntrss 22406	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
58	12, 19, 55, 57	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
59	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
60	4	mnfltd 13045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝐴)
61		limciccioolb.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
62	59, 13, 4, 60, 61	eliood 43726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (-∞(,)𝐵))
63		iooretop 24129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
65		isopn3i 22433	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)𝐵))
66	12, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)𝐵))
67	62, 66	eleqtrrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)))
68	58, 67	sseldd 3945	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
69	4	leidd 11721	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
70	4, 5, 61	ltled 11303	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
71	4, 5, 4, 69, 70	eliccd 43732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
72	68, 71	elind 4154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
73		icossicc 13353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
74	73	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
75		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
76	18, 75	restntr 22533	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
77	12, 6, 74, 76	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
78	72, 77	eleqtrrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
79		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
80	9, 79	rerest 24167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
81	6, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
82	81	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
83	82	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))))
84	83	fveq1d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
85	78, 84	eleqtrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
86	71	snssd 4769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
87		ssequn2 4143	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴} ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐵))
88	86, 87	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐵))
89	88	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))
90	89	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))
91	90	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))))
92		uncom 4113	. . . . 5 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵))
93		snunioo 13395	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
94	41, 13, 61, 93	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
95	92, 94	eqtr2id 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
96	91, 95	fveq12d 6849	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
97	85, 96	eleqtrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
98	1, 3, 8, 9, 10, 97	limcres 25250	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) limℂ 𝐴) = (𝐹 limℂ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∖ cdif 3907   ∪ cun 3908   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  {csn 4586  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5105  ran crn 5634   ↾ cres 5635  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  -∞cmnf 11187  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267   ↾_t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  ℂ_fldccnfld 20796  Topctop 22242  intcnt 22368   lim_ℂ climc 25226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-cnp 22579  df-xms 23673  df-ms 23674  df-limc 25230

This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  44124  fourierdlem82  44419  fourierdlem93  44430  fourierdlem111  44448