Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limciccioolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limciccioolb 40371
Description: The limit of a function at the lower bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limciccioolb.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
limciccioolb.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
limciccioolb.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
limciccioolb.4 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
limciccioolb (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴) = (𝐹 lim 𝐴))

Proof of Theorem limciccioolb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limciccioolb.4 . 2 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2 ioossicc 12464 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4 limciccioolb.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 limciccioolb.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 40248 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7 ax-resscn 10195 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
86, 7syl6ss 3764 . 2 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
9 eqid 2771 . 2 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10 eqid 2771 . 2 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))
11 retop 22785 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
135rexrd 10291 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
14 icossre 12459 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
154, 13, 14syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
16 difssd 3889 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ)
1715, 16unssd 3940 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ℝ)
18 uniretop 22786 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
1917, 18syl6sseq 3800 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ (topGen‘ran (,)))
20 elioore 12410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2120ad2antlr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
22 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑥)
23 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵))
24 mnfxr 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -∞ ∈ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
2613adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27 elioo2 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2825, 26, 27syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2923, 28mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐵))
3029simp3d 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
3130adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 < 𝐵)
324ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
3313ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
34 elico2 12442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
3532, 33, 34syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
3621, 22, 31, 35mpbir3and 1427 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
3736orcd 852 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
3820ad2antlr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
39 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → ¬ 𝐴𝑥)
4039intnanrd 1000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → ¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵))
414rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4241ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4313ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4438rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45 elicc4 12445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4642, 43, 44, 45syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4740, 46mtbird 314 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4838, 47eldifd 3734 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
4948olcd 853 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5037, 49pm2.61dan 796 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
51 elun 3904 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5250, 51sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5352ralrimiva 3115 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
54 dfss3 3741 . . . . . . . . 9 ((-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5553, 54sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
56 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
5756ntrss 21080 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ (topGen‘ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
5812, 19, 55, 57syl3anc 1476 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
5924a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
604mnfltd 12163 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ < 𝐴)
61 limciccioolb.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 𝐵)
6259, 13, 4, 60, 61eliood 40241 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (-∞(,)𝐵))
63 iooretop 22789 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
6463a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
65 isopn3i 21107 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)𝐵))
6612, 64, 65syl2anc 565 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)𝐵))
6762, 66eleqtrrd 2853 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)))
6858, 67sseldd 3753 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
694leidd 10796 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐴)
704, 5, 61ltled 10387 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
714, 5, 4, 69, 70eliccd 40247 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7268, 71elind 3949 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
73 icossicc 12466 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
7473a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
75 eqid 2771 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
7618, 75restntr 21207 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
7712, 6, 74, 76syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
7872, 77eleqtrrd 2853 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
79 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
809, 79rerest 22827 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
816, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
8281eqcomd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
8382fveq2d 6336 . . . . 5 (𝜑 → (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))))
8483fveq1d 6334 . . . 4 (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
8578, 84eleqtrd 2852 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
8671snssd 4475 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
87 ssequn2 3937 . . . . . . . 8 ({𝐴} ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐵))
8886, 87sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐵))
8988eqcomd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))
9089oveq2d 6809 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))
9190fveq2d 6336 . . . 4 (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))))
92 uncom 3908 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵))
93 snunioo 12505 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
9441, 13, 61, 93syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
9592, 94syl5req 2818 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
9691, 95fveq12d 6338 . . 3 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
9785, 96eleqtrd 2852 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
981, 3, 8, 9, 10, 97limcres 23870 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴) = (𝐹 lim 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  cdif 3720  cun 3721  cin 3722  wss 3723  {csn 4316   cuni 4574   class class class wbr 4786  ran crn 5250  cres 5251  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  -∞cmnf 10274  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  (,)cioo 12380  [,)cico 12382  [,]cicc 12383  t crest 16289  TopOpenctopn 16290  topGenctg 16306  fldccnfld 19961  Topctop 20918  intcnt 21042   lim climc 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-rest 16291  df-topn 16292  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-cnp 21253  df-xms 22345  df-ms 22346  df-limc 23850
This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  40624  fourierdlem82  40922  fourierdlem93  40933  fourierdlem111  40951
  Copyright terms: Public domain W3C validator