Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limciccioolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limciccioolb 44422
Description: The limit of a function at the lower bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limciccioolb.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
limciccioolb.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
limciccioolb.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
limciccioolb.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
limciccioolb (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴) = (𝐹 limβ„‚ 𝐴))

Proof of Theorem limciccioolb
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limciccioolb.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2 ioossicc 13412 . . 3 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
4 limciccioolb.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 limciccioolb.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 13413 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
7 ax-resscn 11169 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
86, 7sstrdi 3994 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
9 eqid 2732 . 2 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
10 eqid 2732 . 2 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴}))
11 retop 24285 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top)
135rexrd 11266 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
14 icossre 13407 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴[,)𝐡) βŠ† ℝ)
154, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐡) βŠ† ℝ)
16 difssd 4132 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)) βŠ† ℝ)
1715, 16unssd 4186 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ℝ)
18 uniretop 24286 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
1917, 18sseqtrdi 4032 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)))
20 elioore 13356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2120ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
23 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡))
24 mnfxr 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -∞ ∈ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
2613adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
27 elioo2 13367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ -∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
2825, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ -∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
2923, 28mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ -∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡))
3029simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ π‘₯ < 𝐡)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ < 𝐡)
324ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3313ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
34 elico2 13390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
3532, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
3621, 22, 31, 35mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡))
3736orcd 871 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
3820ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
39 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)
4039intnanrd 490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ Β¬ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
414rexrd 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4313ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
4438rexrd 11266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
45 elicc4 13393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
4642, 43, 44, 45syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
4740, 46mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
4838, 47eldifd 3959 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))
4948olcd 872 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
5037, 49pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
51 elun 4148 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴[,)𝐡) ∨ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
5250, 51sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
5352ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)π‘₯ ∈ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
54 dfss3 3970 . . . . . . . . 9 ((-∞(,)𝐡) βŠ† ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (-∞(,)𝐡)π‘₯ ∈ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
5553, 54sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝐡) βŠ† ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))))
56 eqid 2732 . . . . . . . . 9 βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
5756ntrss 22566 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡))) βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐡) βŠ† ((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)𝐡)) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))))
5812, 19, 55, 57syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)𝐡)) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))))
5924a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
604mnfltd 13106 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝐴)
61 limciccioolb.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
6259, 13, 4, 60, 61eliood 44296 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (-∞(,)𝐡))
63 iooretop 24289 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
6463a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (-∞(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
65 isopn3i 22593 . . . . . . . . 9 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)𝐡)) = (-∞(,)𝐡))
6612, 64, 65syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)𝐡)) = (-∞(,)𝐡))
6762, 66eleqtrrd 2836 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)𝐡)))
6858, 67sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))))
694leidd 11782 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐴)
704, 5, 61ltled 11364 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
714, 5, 4, 69, 70eliccd 44302 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
7268, 71elind 4194 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
73 icossicc 13415 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
7473a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
75 eqid 2732 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
7618, 75restntr 22693 . . . . . 6 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ ∧ (𝐴[,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)) = (((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
7712, 6, 74, 76syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)) = (((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴[,)𝐡) βˆͺ (ℝ βˆ– (𝐴[,]𝐡)))) ∩ (𝐴[,]𝐡)))
7872, 77eleqtrrd 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)))
79 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
809, 79rerest 24327 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
816, 80syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
8281eqcomd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
8382fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
8483fveq1d 6893 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)))
8578, 84eleqtrd 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)))
8671snssd 4812 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† (𝐴[,]𝐡))
87 ssequn2 4183 . . . . . . . 8 ({𝐴} βŠ† (𝐴[,]𝐡) ↔ ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐡))
8886, 87sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐡))
8988eqcomd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) = ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴}))
9089oveq2d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴})))
9190fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴}))))
92 uncom 4153 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐴}) = ({𝐴} βˆͺ (𝐴(,)𝐡))
93 snunioo 13457 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ({𝐴} βˆͺ (𝐴(,)𝐡)) = (𝐴[,)𝐡))
9441, 13, 61, 93syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({𝐴} βˆͺ (𝐴(,)𝐡)) = (𝐴[,)𝐡))
9592, 94eqtr2id 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,)𝐡) = ((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐴}))
9691, 95fveq12d 6898 . . 3 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))β€˜(𝐴[,)𝐡)) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴})))β€˜((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐴})))
9785, 96eleqtrd 2835 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴[,]𝐡) βˆͺ {𝐴})))β€˜((𝐴(,)𝐡) βˆͺ {𝐴})))
981, 3, 8, 9, 10, 97limcres 25410 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) limβ„‚ 𝐴) = (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  -∞cmnf 11248  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251  (,)cioo 13326  [,)cico 13328  [,]cicc 13329   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369  topGenctg 17385  β„‚fldccnfld 20950  Topctop 22402  intcnt 22528   limβ„‚ climc 25386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-rest 17370  df-topn 17371  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-cnp 22739  df-xms 23833  df-ms 23834  df-limc 25390
This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  44694  fourierdlem82  44989  fourierdlem93  45000  fourierdlem111  45018
  Copyright terms: Public domain W3C validator