Theorem oeord2i 44255

Description: Ordinal exponentiation of the same base at least as large as two preserves the ordering of the exponents. Lemma 3.23 of [Schloeder] p. 11. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oeord2i	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 1o ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ↑o 𝐵) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶)))

Proof of Theorem oeord2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ondif2 8488	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∖ 2o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 1o ∈ 𝐴))
2	1	biimpri 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 1o ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ (On ∖ 2o))
3	2	anim1ci 628	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 1o ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ (On ∖ 2o)))
4		oeordi 8574	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ (On ∖ 2o)) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ↑o 𝐵) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶)))
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 1o ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ↑o 𝐵) ∈ (𝐴 ↑o 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3895  Oncon0 6351  (class class class)co 7408  1_oc1o 8447  2_oc2o 8448   ↑_o coe 8453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-oexp 8460

This theorem is used by: (None)