Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  om2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om2 42145
Description: Two ways to double an ordinal. (Contributed by RP, 3-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
om2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด +o ๐ด) = (๐ด ยทo 2o))

Proof of Theorem om2
StepHypRef Expression
1 df-2o 8466 . . 3 2o = suc 1o
21oveq2i 7419 . 2 (๐ด ยทo 2o) = (๐ด ยทo suc 1o)
3 1on 8477 . . . 4 1o โˆˆ On
4 omsuc 8525 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง 1o โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc 1o) = ((๐ด ยทo 1o) +o ๐ด))
53, 4mpan2 689 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo suc 1o) = ((๐ด ยทo 1o) +o ๐ด))
6 om1 8541 . . . 4 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo 1o) = ๐ด)
76oveq1d 7423 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐ด ยทo 1o) +o ๐ด) = (๐ด +o ๐ด))
85, 7eqtrd 2772 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo suc 1o) = (๐ด +o ๐ด))
92, 8eqtr2id 2785 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด +o ๐ด) = (๐ด ยทo 2o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Oncon0 6364  suc csuc 6366  (class class class)co 7408  1oc1o 8458  2oc2o 8459   +o coa 8462   ยทo comu 8463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470
This theorem is referenced by:  oaltom  42146
  Copyright terms: Public domain W3C validator