Theorem om2 43416

Description: Two ways to double an ordinal. (Contributed by RP, 3-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
om2	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 𝐴) = (𝐴 ·o 2o))

Proof of Theorem om2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8381	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	oveq2i 7352	. 2 ⊢ (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 ·o suc 1o)
3		1on 8392	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
4		omsuc 8436	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (𝐴 ·o suc 1o) = ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o suc 1o) = ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴))
6		om1 8452	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
7	6	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴) = (𝐴 +o 𝐴))
8	5, 7	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o suc 1o) = (𝐴 +o 𝐴))
9	2, 8	eqtr2id 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 𝐴) = (𝐴 ·o 2o))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  Oncon0 6302  suc csuc 6304  (class class class)co 7341  1_oc1o 8373  2_oc2o 8374   +_o coa 8377   ·_o comu 8378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385

This theorem is referenced by:  oaltom  43417