Theorem om2 8598

Description: Two ways to double an ordinal. (Contributed by RP, 3-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
om2	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 𝐴) = (𝐴 ·o 2o))

Proof of Theorem om2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8481	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	oveq2i 7432	. 2 ⊢ (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 ·o suc 1o)
3		1on 8493	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
4		omsuc 8538	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (𝐴 ·o suc 1o) = ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴))
5	3, 4	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o suc 1o) = ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴))
6		om1 8554	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
7	6	oveq1d 7436	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ·o 1o) +o 𝐴) = (𝐴 +o 𝐴))
8	5, 7	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o suc 1o) = (𝐴 +o 𝐴))
9	2, 8	eqtr2id 2808	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 𝐴) = (𝐴 ·o 2o))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Oncon0 6362  suc csuc 6364  (class class class)co 7421  1_oc1o 8473  2_oc2o 8474   +_o coa 8477   ·_o comu 8478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485

This theorem is used by:  oaltom  44500