Theorem tfsnfin 44544

Description: A transfinite sequence is infinite iff its domain is greater than or equal to omega. Theorem 5 in Grzegorz Bancerek, "Epsilon Numbers and Cantor Normal Form", Formalized Mathematics, Vol. 17, No. 4, Pages 249–256, 2009. DOI: 10.2478/v10037-009-0032-8 (Contributed by RP, 1-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tfsnfin	⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ω ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem tfsnfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → Fun 𝐴)
2		fundmfibi 9350	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom 𝐴 ∈ Fin))
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom 𝐴 ∈ Fin))
4		fndm 6661	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → dom 𝐴 = 𝐵)
5	4	eleq1d 2849	. . . . 5 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → (dom 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
6	3, 5	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
7		onfin 9255	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ ω))
8	6, 7	sylan9bb 519	. . 3 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ ω))
9	8	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
10		omelon 9671	. . 3 ⊢ ω ∈ On
11		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐵 ∈ On)
12		ontri1 6412	. . 3 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
13	10, 11, 12	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
14	9, 13	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ω ⊆ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  dom cdm 5655  Oncon0 6377  Fun wfun 6549   Fn wfn 6550  ωcom 7898  Fincfn 8998

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-1o 8501  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002

This theorem is used by: (None)