Theorem tfsnfin 43316

Description: A transfinite sequence is infinite iff its domain is greater than or equal to omega. Theorem 5 in Grzegorz Bancerek, "Epsilon Numbers and Cantor Normal Form", Formalized Mathematics, Vol. 17, No. 4, Pages 249–256, 2009. DOI: 10.2478/v10037-009-0032-8 (Contributed by RP, 1-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tfsnfin	⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ω ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem tfsnfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 6681	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → Fun 𝐴)
2		fundmfibi 9406	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom 𝐴 ∈ Fin))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom 𝐴 ∈ Fin))
4		fndm 6684	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → dom 𝐴 = 𝐵)
5	4	eleq1d 2829	. . . . 5 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → (dom 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
6	3, 5	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
7		onfin 9295	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ ω))
8	6, 7	sylan9bb 509	. . 3 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ ω))
9	8	notbid 318	. 2 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
10		omelon 9717	. . 3 ⊢ ω ∈ On
11		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐵 ∈ On)
12		ontri1 6431	. . 3 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
13	10, 11, 12	sylancr 586	. 2 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
14	9, 13	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ω ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  dom cdm 5700  Oncon0 6397  Fun wfun 6569   Fn wfn 6570  ωcom 7905  Fincfn 9005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-inf2 9712

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-1o 8524  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009

This theorem is referenced by: (None)