Theorem tfsnfin 42404

Description: A transfinite sequence is infinite iff its domain is greater than or equal to omega. Theorem 5 in Grzegorz Bancerek, "Epsilon Numbers and Cantor Normal Form", Formalized Mathematics, Vol. 17, No. 4, Pages 249–256, 2009. DOI: 10.2478/v10037-009-0032-8 (Contributed by RP, 1-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tfsnfin	⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ω ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem tfsnfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → Fun 𝐴)
2		fundmfibi 9333	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom 𝐴 ∈ Fin))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom 𝐴 ∈ Fin))
4		fndm 6652	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → dom 𝐴 = 𝐵)
5	4	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → (dom 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
6	3, 5	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
7		onfin 9232	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ ω))
8	6, 7	sylan9bb 510	. . 3 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ ω))
9	8	notbid 317	. 2 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
10		omelon 9643	. . 3 ⊢ ω ∈ On
11		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐵 ∈ On)
12		ontri1 6398	. . 3 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
13	10, 11, 12	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
14	9, 13	bitr4d 281	1 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ω ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  dom cdm 5676  Oncon0 6364  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ωcom 7857  Fincfn 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945

This theorem is referenced by: (None)