Theorem onsdom 9988

Description: Any well-orderable set is strictly dominated by an ordinal number. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsdom	⊢ (𝐴 ∈ dom card → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≺ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem onsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harcl 9551	. 2 ⊢ (har‘𝐴) ∈ On
2		harsdom 9987	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≺ (har‘𝐴))
3		breq2 5143	. . 3 ⊢ (𝑥 = (har‘𝐴) → (𝐴 ≺ 𝑥 ↔ 𝐴 ≺ (har‘𝐴)))
4	3	rspcev 3604	. 2 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐴 ≺ (har‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≺ 𝑥)
5	1, 2, 4	sylancr 586	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≺ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062   class class class wbr 5139  dom cdm 5667  Oncon0 6355  ‘cfv 6534   ≺ csdm 8935  harchar 9548  cardccrd 9927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-oi 9502  df-har 9549  df-card 9931

This theorem is referenced by: (None)