MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harsdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harsdom 9421
Description: The Hartogs number of a well-orderable set strictly dominates the set. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
harsdom (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≺ (har‘𝐴))

Proof of Theorem harsdom
StepHypRef Expression
1 harndom 9023 . 2 ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴
2 harcl 9020 . . . 4 (har‘𝐴) ∈ On
3 onenon 9375 . . . 4 ((har‘𝐴) ∈ On → (har‘𝐴) ∈ dom card)
42, 3ax-mp 5 . . 3 (har‘𝐴) ∈ dom card
5 domtri2 9415 . . . 4 (((har‘𝐴) ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((har‘𝐴) ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ (har‘𝐴)))
65con2bid 358 . . 3 (((har‘𝐴) ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (𝐴 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴))
74, 6mpan 689 . 2 (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴))
81, 7mpbiri 261 1 (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≺ (har‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2115   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  Oncon0 6178  cfv 6343  cdom 8503  csdm 8504  harchar 9017  cardccrd 9361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-oi 8971  df-har 9018  df-card 9365
This theorem is referenced by:  onsdom  9422  harval2  9423  alephordilem1  9497  gchaleph2  10092
  Copyright terms: Public domain W3C validator