Theorem harsdom 9977

Description: The Hartogs number of a well-orderable set strictly dominates the set. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harsdom	⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≺ (har‘𝐴))

Proof of Theorem harsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harndom 9520	. 2 ⊢ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴
2		harcl 9517	. . . 4 ⊢ (har‘𝐴) ∈ On
3		onenon 9931	. . . 4 ⊢ ((har‘𝐴) ∈ On → (har‘𝐴) ∈ dom card)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (har‘𝐴) ∈ dom card
5		domtri2 9971	. . . 4 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((har‘𝐴) ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ (har‘𝐴)))
6	5	con2bid 357	. . 3 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (𝐴 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴))
7	4, 6	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴))
8	1, 7	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≺ (har‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  Oncon0 6360  ‘cfv 6536   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938  harchar 9514  cardccrd 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-oi 9468  df-har 9515  df-card 9921

This theorem is referenced by:  onsdom  9978  harval2  9979  alephordilem1  10053  gchaleph2  10652