Theorem harsdom 9989

Description: The Hartogs number of a well-orderable set strictly dominates the set. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harsdom	⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≺ (har‘𝐴))

Proof of Theorem harsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harndom 9556	. 2 ⊢ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴
2		harcl 9553	. . . 4 ⊢ (har‘𝐴) ∈ On
3		onenon 9943	. . . 4 ⊢ ((har‘𝐴) ∈ On → (har‘𝐴) ∈ dom card)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (har‘𝐴) ∈ dom card
5		domtri2 9983	. . . 4 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((har‘𝐴) ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ (har‘𝐴)))
6	5	con2bid 354	. . 3 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (𝐴 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴))
7	4, 6	mpan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴))
8	1, 7	mpbiri 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≺ (har‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  Oncon0 6364  ‘cfv 6543   ≼ cdom 8936   ≺ csdm 8937  harchar 9550  cardccrd 9929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-oi 9504  df-har 9551  df-card 9933

This theorem is referenced by:  onsdom  9990  harval2  9991  alephordilem1  10067  gchaleph2  10666