MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harsdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harsdom 9156
Description: The Hartogs number of a well-orderable set strictly dominates the set. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
harsdom (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≺ (har‘𝐴))

Proof of Theorem harsdom
StepHypRef Expression
1 harndom 8760 . 2 ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴
2 harcl 8757 . . . 4 (har‘𝐴) ∈ On
3 onenon 9110 . . . 4 ((har‘𝐴) ∈ On → (har‘𝐴) ∈ dom card)
42, 3ax-mp 5 . . 3 (har‘𝐴) ∈ dom card
5 domtri2 9150 . . . 4 (((har‘𝐴) ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((har‘𝐴) ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ (har‘𝐴)))
65con2bid 346 . . 3 (((har‘𝐴) ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (𝐴 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴))
74, 6mpan 680 . 2 (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴))
81, 7mpbiri 250 1 (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≺ (har‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wcel 2107   class class class wbr 4888  dom cdm 5357  Oncon0 5978  cfv 6137  cdom 8241  csdm 8242  harchar 8752  cardccrd 9096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-oi 8706  df-har 8754  df-card 9100
This theorem is referenced by:  onsdom  9157  harval2  9158  alephordilem1  9231  gchaleph2  9831
  Copyright terms: Public domain W3C validator