Theorem harsdom 9408

Description: The Hartogs number of a well-orderable set strictly dominates the set. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harsdom	⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≺ (har‘𝐴))

Proof of Theorem harsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harndom 9010	. 2 ⊢ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴
2		harcl 9007	. . . 4 ⊢ (har‘𝐴) ∈ On
3		onenon 9362	. . . 4 ⊢ ((har‘𝐴) ∈ On → (har‘𝐴) ∈ dom card)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (har‘𝐴) ∈ dom card
5		domtri2 9402	. . . 4 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((har‘𝐴) ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ (har‘𝐴)))
6	5	con2bid 358	. . 3 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (𝐴 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴))
7	4, 6	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴))
8	1, 7	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≺ (har‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  Oncon0 6159  ‘cfv 6324   ≼ cdom 8490   ≺ csdm 8491  harchar 9004  cardccrd 9348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-oi 8958  df-har 9005  df-card 9352

This theorem is referenced by:  onsdom  9409  harval2  9410  alephordilem1  9484  gchaleph2  10083