Theorem harsdom 10076

Description: The Hartogs number of a well-orderable set strictly dominates the set. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harsdom	⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≺ (har‘𝐴))

Proof of Theorem harsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harndom 9556	. 2 ⊢ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴
2		harcl 9553	. . . 4 ⊢ (har‘𝐴) ∈ On
3		onenon 10030	. . . 4 ⊢ ((har‘𝐴) ∈ On → (har‘𝐴) ∈ dom card)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (har‘𝐴) ∈ dom card
5		domtri2 10070	. . . 4 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((har‘𝐴) ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ (har‘𝐴)))
6	5	con2bid 357	. . 3 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (𝐴 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴))
7	4, 6	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ (har‘𝐴) ≼ 𝐴))
8	1, 7	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≺ (har‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  Oncon0 6362  ‘cfv 6538   ≼ cdom 8971   ≺ csdm 8972  harchar 9550  cardccrd 10016

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-oi 9504  df-har 9551  df-card 10020

This theorem is used by:  onsdom  10077  harval2  10078  alephordilem1  10152  gchaleph2  10757