Theorem rankr1ag 9695

Description: A version of rankr1a 9729 that is suitable without assuming Regularity or Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankr1ag	⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1ag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankr1ai 9691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ 𝐵)
2		r1funlim 9659	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
3	2	simpri 485	. . . . . . 7 ⊢ Lim dom 𝑅1
4		limord 6367	. . . . . . 7 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord dom 𝑅1
6		ordelord 6328	. . . . . 6 ⊢ ((Ord dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → Ord 𝐵)
7	5, 6	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → Ord 𝐵)
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → Ord 𝐵)
9		ordsucss 7748	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 → suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 → suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
11		rankidb 9693	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
12		elfvdm 6856	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
14		r1ord3g 9672	. . . 4 ⊢ ((suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
15	13, 14	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
16	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
17		ssel 3923	. . . 4 ⊢ ((𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1‘𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
18	16, 17	syl5com 31	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
19	10, 15, 18	3syld 60	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
20	1, 19	impbid2 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4856  dom cdm 5614   “ cima 5617  Ord word 6305  Oncon0 6306  Lim wlim 6307  suc csuc 6308  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481  𝑅₁cr1 9655  rankcrnk 9656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-r1 9657  df-rank 9658

This theorem is referenced by:  rankr1bg  9696  rankr1clem  9713  rankr1c  9714  rankval3b  9719  onssr1  9724  r1pw  9738  r1pwcl  9740  hsmexlem6  10322  r1limwun  10627  inatsk  10669  grur1  10711  r1elcl  35109