MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1ag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankr1ag 9794
Description: A version of rankr1a 9828 that is suitable without assuming Regularity or Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankr1ag ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1ag
StepHypRef Expression
1 rankr1ai 9790 . 2 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ 𝐵)
2 r1funlim 9758 . . . . . . . 8 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
32simpri 487 . . . . . . 7 Lim dom 𝑅1
4 limord 6422 . . . . . . 7 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 Ord dom 𝑅1
6 ordelord 6384 . . . . . 6 ((Ord dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → Ord 𝐵)
75, 6mpan 689 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → Ord 𝐵)
87adantl 483 . . . 4 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → Ord 𝐵)
9 ordsucss 7803 . . . 4 (Ord 𝐵 → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 → suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
108, 9syl 17 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 → suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
11 rankidb 9792 . . . . 5 (𝐴 (𝑅1 “ On) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
12 elfvdm 6926 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝐴 (𝑅1 “ On) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
14 r1ord3g 9771 . . . 4 ((suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1𝐵)))
1513, 14sylan 581 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1𝐵)))
1611adantr 482 . . . 4 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
17 ssel 3975 . . . 4 ((𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵)))
1816, 17syl5com 31 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵)))
1910, 15, 183syld 60 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝐵)))
201, 19impbid2 225 1 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  wss 3948   cuni 4908  dom cdm 5676  cima 5679  Ord word 6361  Oncon0 6362  Lim wlim 6363  suc csuc 6364  Fun wfun 6535  cfv 6541  𝑅1cr1 9754  rankcrnk 9755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-r1 9756  df-rank 9757
This theorem is referenced by:  rankr1bg  9795  rankr1clem  9812  rankr1c  9813  rankval3b  9818  onssr1  9823  r1pw  9837  r1pwcl  9839  hsmexlem6  10423  r1limwun  10728  inatsk  10770  grur1  10812
  Copyright terms: Public domain W3C validator