Theorem rankr1ag 9731

Description: A version of rankr1a 9765 that is suitable without assuming Regularity or Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankr1ag	⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1ag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankr1ai 9727	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ 𝐵)
2		r1funlim 9695	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
3	2	simpri 485	. . . . . . 7 ⊢ Lim dom 𝑅1
4		limord 6381	. . . . . . 7 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord dom 𝑅1
6		ordelord 6342	. . . . . 6 ⊢ ((Ord dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → Ord 𝐵)
7	5, 6	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → Ord 𝐵)
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → Ord 𝐵)
9		ordsucss 7773	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 → suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 → suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
11		rankidb 9729	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
12		elfvdm 6877	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
14		r1ord3g 9708	. . . 4 ⊢ ((suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
15	13, 14	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
16	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
17		ssel 3937	. . . 4 ⊢ ((𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1‘𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
18	16, 17	syl5com 31	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
19	10, 15, 18	3syld 60	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
20	1, 19	impbid2 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4867  dom cdm 5631   “ cima 5634  Ord word 6319  Oncon0 6320  Lim wlim 6321  suc csuc 6322  Fun wfun 6493  ‘cfv 6499  𝑅₁cr1 9691  rankcrnk 9692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-r1 9693  df-rank 9694

This theorem is referenced by:  rankr1bg  9732  rankr1clem  9749  rankr1c  9750  rankval3b  9755  onssr1  9760  r1pw  9774  r1pwcl  9776  hsmexlem6  10360  r1limwun  10665  inatsk  10707  grur1  10749