MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1ag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankr1ag 9418
Description: A version of rankr1a 9452 that is suitable without assuming Regularity or Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankr1ag ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1ag
StepHypRef Expression
1 rankr1ai 9414 . 2 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ 𝐵)
2 r1funlim 9382 . . . . . . . 8 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
32simpri 489 . . . . . . 7 Lim dom 𝑅1
4 limord 6272 . . . . . . 7 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 Ord dom 𝑅1
6 ordelord 6235 . . . . . 6 ((Ord dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → Ord 𝐵)
75, 6mpan 690 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → Ord 𝐵)
87adantl 485 . . . 4 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → Ord 𝐵)
9 ordsucss 7597 . . . 4 (Ord 𝐵 → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 → suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
108, 9syl 17 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 → suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
11 rankidb 9416 . . . . 5 (𝐴 (𝑅1 “ On) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
12 elfvdm 6749 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝐴 (𝑅1 “ On) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
14 r1ord3g 9395 . . . 4 ((suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1𝐵)))
1513, 14sylan 583 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1𝐵)))
1611adantr 484 . . . 4 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
17 ssel 3893 . . . 4 ((𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵)))
1816, 17syl5com 31 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵)))
1910, 15, 183syld 60 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵𝐴 ∈ (𝑅1𝐵)))
201, 19impbid2 229 1 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2110  wss 3866   cuni 4819  dom cdm 5551  cima 5554  Ord word 6212  Oncon0 6213  Lim wlim 6214  suc csuc 6215  Fun wfun 6374  cfv 6380  𝑅1cr1 9378  rankcrnk 9379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-r1 9380  df-rank 9381
This theorem is referenced by:  rankr1bg  9419  rankr1clem  9436  rankr1c  9437  rankval3b  9442  onssr1  9447  r1pw  9461  r1pwcl  9463  hsmexlem6  10045  r1limwun  10350  inatsk  10392  grur1  10434
  Copyright terms: Public domain W3C validator