Theorem rankr1ag 9794

Description: A version of rankr1a 9828 that is suitable without assuming Regularity or Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankr1ag	⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1ag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankr1ai 9790	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ 𝐵)
2		r1funlim 9758	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
3	2	simpri 487	. . . . . . 7 ⊢ Lim dom 𝑅1
4		limord 6422	. . . . . . 7 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord dom 𝑅1
6		ordelord 6384	. . . . . 6 ⊢ ((Ord dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → Ord 𝐵)
7	5, 6	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → Ord 𝐵)
8	7	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → Ord 𝐵)
9		ordsucss 7803	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 → suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 → suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
11		rankidb 9792	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
12		elfvdm 6926	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
14		r1ord3g 9771	. . . 4 ⊢ ((suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
15	13, 14	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
16	11	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
17		ssel 3975	. . . 4 ⊢ ((𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1‘𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
18	16, 17	syl5com 31	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
19	10, 15, 18	3syld 60	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
20	1, 19	impbid2 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908  dom cdm 5676   “ cima 5679  Ord word 6361  Oncon0 6362  Lim wlim 6363  suc csuc 6364  Fun wfun 6535  ‘cfv 6541  𝑅₁cr1 9754  rankcrnk 9755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-r1 9756  df-rank 9757

This theorem is referenced by:  rankr1bg  9795  rankr1clem  9812  rankr1c  9813  rankval3b  9818  onssr1  9823  r1pw  9837  r1pwcl  9839  hsmexlem6  10423  r1limwun  10728  inatsk  10770  grur1  10812