Theorem rankr1ag 9560

Description: A version of rankr1a 9594 that is suitable without assuming Regularity or Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankr1ag	⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1ag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankr1ai 9556	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ 𝐵)
2		r1funlim 9524	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
3	2	simpri 486	. . . . . . 7 ⊢ Lim dom 𝑅1
4		limord 6325	. . . . . . 7 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord dom 𝑅1
6		ordelord 6288	. . . . . 6 ⊢ ((Ord dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → Ord 𝐵)
7	5, 6	mpan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → Ord 𝐵)
8	7	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → Ord 𝐵)
9		ordsucss 7665	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 → suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 → suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
11		rankidb 9558	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
12		elfvdm 6806	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
14		r1ord3g 9537	. . . 4 ⊢ ((suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
15	13, 14	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (suc (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
16	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
17		ssel 3914	. . . 4 ⊢ ((𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1‘𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
18	16, 17	syl5com 31	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ⊆ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
19	10, 15, 18	3syld 60	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
20	1, 19	impbid2 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839  dom cdm 5589   “ cima 5592  Ord word 6265  Oncon0 6266  Lim wlim 6267  suc csuc 6268  Fun wfun 6427  ‘cfv 6433  𝑅₁cr1 9520  rankcrnk 9521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-r1 9522  df-rank 9523

This theorem is referenced by:  rankr1bg  9561  rankr1clem  9578  rankr1c  9579  rankval3b  9584  onssr1  9589  r1pw  9603  r1pwcl  9605  hsmexlem6  10187  r1limwun  10492  inatsk  10534  grur1  10576