Theorem pexmidlem1N 39953

Description: Lemma for pexmidN 39952. Holland's proof implicitly requires 𝑞 ≠ 𝑟, which we prove here. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pexmidlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pexmidlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidlem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pexmidlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem1N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑞 ≠ 𝑟)

Proof of Theorem pexmidlem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4346	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) → ¬ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ∅)
2		pexmidlem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		pexmidlem.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
4	2, 3	pnonsingN 39916	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ∅)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ∅)
6	1, 5	nsyl3 138	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → ¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)))
7		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))
8		eleq1w 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ↔ 𝑟 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)))
9	7, 8	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)))
10		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑟 ∈ 𝑋)
11	9, 10	jctild 525	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑞 = 𝑟 → (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))))
12		elin 3979	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) ↔ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)))
13	11, 12	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋))))
14	13	necon3bd 2952	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) → 𝑞 ≠ 𝑟))
15	6, 14	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑞 ≠ 𝑟)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {csn 4631  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  lecple 17305  joincjn 18369  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  +_𝑃cpadd 39778  ⊥_𝑃cpolN 39885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-pmap 39487  df-polarityN 39886

This theorem is referenced by:  pexmidlem3N  39955