Theorem pexmidlem1N 39971

Description: Lemma for pexmidN 39970. Holland's proof implicitly requires 𝑞 ≠ 𝑟, which we prove here. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pexmidlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pexmidlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidlem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pexmidlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem1N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑞 ≠ 𝑟)

Proof of Theorem pexmidlem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4306	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) → ¬ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ∅)
2		pexmidlem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		pexmidlem.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
4	2, 3	pnonsingN 39934	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ∅)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ∅)
6	1, 5	nsyl3 138	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → ¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)))
7		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))
8		eleq1w 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ↔ 𝑟 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)))
9	7, 8	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)))
10		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑟 ∈ 𝑋)
11	9, 10	jctild 525	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑞 = 𝑟 → (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))))
12		elin 3933	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) ↔ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)))
13	11, 12	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋))))
14	13	necon3bd 2940	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) → 𝑞 ≠ 𝑟))
15	6, 14	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑞 ≠ 𝑟)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {csn 4592  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  lecple 17234  joincjn 18279  Atomscatm 39263  HLchlt 39350  +_𝑃cpadd 39796  ⊥_𝑃cpolN 39903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-pmap 39505  df-polarityN 39904

This theorem is referenced by:  pexmidlem3N  39973