Theorem pexmidlem1N 39927

Description: Lemma for pexmidN 39926. Holland's proof implicitly requires 𝑞 ≠ 𝑟, which we prove here. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pexmidlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pexmidlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidlem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pexmidlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem1N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑞 ≠ 𝑟)

Proof of Theorem pexmidlem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4363	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) → ¬ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ∅)
2		pexmidlem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		pexmidlem.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
4	2, 3	pnonsingN 39890	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ∅)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ∅)
6	1, 5	nsyl3 138	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → ¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)))
7		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))
8		eleq1w 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ↔ 𝑟 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)))
9	7, 8	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)))
10		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑟 ∈ 𝑋)
11	9, 10	jctild 525	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑞 = 𝑟 → (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))))
12		elin 3992	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) ↔ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)))
13	11, 12	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋))))
14	13	necon3bd 2960	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) → 𝑞 ≠ 𝑟))
15	6, 14	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑞 ≠ 𝑟)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  lecple 17318  joincjn 18381  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  +_𝑃cpadd 39752  ⊥_𝑃cpolN 39859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-pmap 39461  df-polarityN 39860

This theorem is referenced by:  pexmidlem3N  39929