Theorem pexmidlem1N 39959

Description: Lemma for pexmidN 39958. Holland's proof implicitly requires 𝑞 ≠ 𝑟, which we prove here. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pexmidlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pexmidlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidlem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pexmidlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem1N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑞 ≠ 𝑟)

Proof of Theorem pexmidlem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4291	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) → ¬ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ∅)
2		pexmidlem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		pexmidlem.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
4	2, 3	pnonsingN 39922	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ∅)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ∅)
6	1, 5	nsyl3 138	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → ¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)))
7		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))
8		eleq1w 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ↔ 𝑟 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)))
9	7, 8	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)))
10		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑟 ∈ 𝑋)
11	9, 10	jctild 525	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑞 = 𝑟 → (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))))
12		elin 3919	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) ↔ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)))
13	11, 12	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋))))
14	13	necon3bd 2939	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → (¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) → 𝑞 ≠ 𝑟))
15	6, 14	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))) → 𝑞 ≠ 𝑟)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  {csn 4577  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  lecple 17168  joincjn 18217  Atomscatm 39252  HLchlt 39339  +_𝑃cpadd 39784  ⊥_𝑃cpolN 39891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39165  df-ol 39167  df-oml 39168  df-covers 39255  df-ats 39256  df-atl 39287  df-cvlat 39311  df-hlat 39340  df-pmap 39493  df-polarityN 39892

This theorem is referenced by:  pexmidlem3N  39961