Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem1N 37138
Description: Lemma for pexmidN 37137. Holland's proof implicitly requires 𝑞𝑟, which we prove here. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidlem.l = (le‘𝐾)
pexmidlem.j = (join‘𝐾)
pexmidlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p + = (+𝑃𝐾)
pexmidlem.o = (⊥𝑃𝐾)
pexmidlem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
Assertion
Ref Expression
pexmidlem1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋))) → 𝑞𝑟)

Proof of Theorem pexmidlem1N
StepHypRef Expression
1 n0i 4271 . . 3 (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( 𝑋)) → ¬ (𝑋 ∩ ( 𝑋)) = ∅)
2 pexmidlem.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 pexmidlem.o . . . . 5 = (⊥𝑃𝐾)
42, 3pnonsingN 37101 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ∩ ( 𝑋)) = ∅)
54adantr 483 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋))) → (𝑋 ∩ ( 𝑋)) = ∅)
61, 5nsyl3 140 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋))) → ¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( 𝑋)))
7 simprr 771 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋))) → 𝑞 ∈ ( 𝑋))
8 eleq1w 2893 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 ∈ ( 𝑋) ↔ 𝑟 ∈ ( 𝑋)))
97, 8syl5ibcom 247 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋))) → (𝑞 = 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑋)))
10 simprl 769 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋))) → 𝑟𝑋)
119, 10jctild 528 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋))) → (𝑞 = 𝑟 → (𝑟𝑋𝑟 ∈ ( 𝑋))))
12 elin 3925 . . . 4 (𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( 𝑋)) ↔ (𝑟𝑋𝑟 ∈ ( 𝑋)))
1311, 12syl6ibr 254 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋))) → (𝑞 = 𝑟𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( 𝑋))))
1413necon3bd 3020 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋))) → (¬ 𝑟 ∈ (𝑋 ∩ ( 𝑋)) → 𝑞𝑟))
156, 14mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋))) → 𝑞𝑟)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  cin 3908  wss 3909  c0 4265  {csn 4539  cfv 6327  (class class class)co 7129  lecple 16547  joincjn 17529  Atomscatm 36431  HLchlt 36518  +𝑃cpadd 36963  𝑃cpolN 37070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-riotaBAD 36121
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-id 5432  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-undef 7913  df-proset 17513  df-poset 17531  df-plt 17543  df-lub 17559  df-glb 17560  df-join 17561  df-meet 17562  df-p0 17624  df-p1 17625  df-lat 17631  df-clat 17693  df-oposet 36344  df-ol 36346  df-oml 36347  df-covers 36434  df-ats 36435  df-atl 36466  df-cvlat 36490  df-hlat 36519  df-pmap 36672  df-polarityN 37071
This theorem is referenced by:  pexmidlem3N  37140
  Copyright terms: Public domain W3C validator