Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem5N 37104
Description: Lemma for pexmidN 37099. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidlem.l = (le‘𝐾)
pexmidlem.j = (join‘𝐾)
pexmidlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p + = (+𝑃𝐾)
pexmidlem.o = (⊥𝑃𝐾)
pexmidlem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
Assertion
Ref Expression
pexmidlem5N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑀) = ∅)

Proof of Theorem pexmidlem5N
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4309 . . . 4 ((( 𝑋) ∩ 𝑀) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))
2 pexmidlem.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
3 pexmidlem.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
4 pexmidlem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 pexmidlem.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
6 pexmidlem.o . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
7 pexmidlem.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
82, 3, 4, 5, 6, 7pexmidlem4N 37103 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
98expr 459 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
109exlimdv 1930 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑞 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
111, 10syl5bi 244 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((( 𝑋) ∩ 𝑀) ≠ ∅ → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
1211necon1bd 3034 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)) → (( 𝑋) ∩ 𝑀) = ∅))
1312impr 457 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑀) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wex 1776  wcel 2110  wne 3016  cin 3934  wss 3935  c0 4290  {csn 4560  cfv 6349  (class class class)co 7150  lecple 16566  joincjn 17548  Atomscatm 36393  HLchlt 36480  +𝑃cpadd 36925  𝑃cpolN 37032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36083
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-undef 7933  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-psubsp 36633  df-pmap 36634  df-padd 36926  df-polarityN 37033
This theorem is referenced by:  pexmidlem6N  37105
  Copyright terms: Public domain W3C validator