Theorem pexmidlem5N 37270

Description: Lemma for pexmidN 37265. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pexmidlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pexmidlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidlem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pexmidlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem5N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) = ∅)

Proof of Theorem pexmidlem5N

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4260	. . . 4 ⊢ ((( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))
2		pexmidlem.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		pexmidlem.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		pexmidlem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		pexmidlem.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
6		pexmidlem.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
7		pexmidlem.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	pexmidlem4N 37269	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
9	8	expr 460	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
10	9	exlimdv 1934	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑞 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
11	1, 10	syl5bi 245	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) ≠ ∅ → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
12	11	necon1bd 3005	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) = ∅))
13	12	impr 458	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  lecple 16564  joincjn 17546  Atomscatm 36559  HLchlt 36646  +_𝑃cpadd 37091  ⊥_𝑃cpolN 37198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-riotaBAD 36249

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-undef 7922  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-psubsp 36799  df-pmap 36800  df-padd 37092  df-polarityN 37199

This theorem is referenced by:  pexmidlem6N  37271