Theorem pexmidlem5N 40598

Description: Lemma for pexmidN 40593. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pexmidlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pexmidlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidlem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pexmidlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem5N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) = ∅)

Proof of Theorem pexmidlem5N

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4305	. . . 4 ⊢ ((( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))
2		pexmidlem.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		pexmidlem.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		pexmidlem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		pexmidlem.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
6		pexmidlem.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
7		pexmidlem.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	pexmidlem4N 40597	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
9	8	expr 460	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
10	9	exlimdv 1953	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑞 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
11	1, 10	biimtrid 244	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) ≠ ∅ → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
12	11	necon1bd 2975	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) = ∅))
13	12	impr 458	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4582  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  lecple 17293  joincjn 18343  Atomscatm 39887  HLchlt 39974  +_𝑃cpadd 40419  ⊥_𝑃cpolN 40526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-lub 18376  df-glb 18377  df-join 18378  df-meet 18379  df-p0 18455  df-p1 18456  df-lat 18464  df-clat 18531  df-oposet 39800  df-ol 39802  df-oml 39803  df-covers 39890  df-ats 39891  df-atl 39922  df-cvlat 39946  df-hlat 39975  df-psubsp 40127  df-pmap 40128  df-padd 40420  df-polarityN 40527

This theorem is referenced by:  pexmidlem6N  40599