Theorem pexmidlem5N 40021

Description: Lemma for pexmidN 40016. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pexmidlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pexmidlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidlem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pexmidlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem5N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) = ∅)

Proof of Theorem pexmidlem5N

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4300	. . . 4 ⊢ ((( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))
2		pexmidlem.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		pexmidlem.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		pexmidlem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		pexmidlem.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
6		pexmidlem.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
7		pexmidlem.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	pexmidlem4N 40020	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
9	8	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
10	9	exlimdv 1934	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑞 𝑞 ∈ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
11	1, 10	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) ≠ ∅ → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋))))
12	11	necon1bd 2946	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) = ∅))
13	12	impr 454	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑀) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  {csn 4573  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  lecple 17168  joincjn 18217  Atomscatm 39310  HLchlt 39397  +_𝑃cpadd 39842  ⊥_𝑃cpolN 39949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39223  df-ol 39225  df-oml 39226  df-covers 39313  df-ats 39314  df-atl 39345  df-cvlat 39369  df-hlat 39398  df-psubsp 39550  df-pmap 39551  df-padd 39843  df-polarityN 39950

This theorem is referenced by:  pexmidlem6N  40022