Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem5N 39339
Description: Lemma for pexmidN 39334. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidlem.l = (le‘𝐾)
pexmidlem.j = (join‘𝐾)
pexmidlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p + = (+𝑃𝐾)
pexmidlem.o = (⊥𝑃𝐾)
pexmidlem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
Assertion
Ref Expression
pexmidlem5N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑀) = ∅)

Proof of Theorem pexmidlem5N
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4339 . . . 4 ((( 𝑋) ∩ 𝑀) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))
2 pexmidlem.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
3 pexmidlem.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
4 pexmidlem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 pexmidlem.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
6 pexmidlem.o . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
7 pexmidlem.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
82, 3, 4, 5, 6, 7pexmidlem4N 39338 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
98expr 456 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
109exlimdv 1928 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑞 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
111, 10biimtrid 241 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((( 𝑋) ∩ 𝑀) ≠ ∅ → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
1211necon1bd 2950 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)) → (( 𝑋) ∩ 𝑀) = ∅))
1312impr 454 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (( 𝑋) ∩ 𝑀) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2932  cin 3940  wss 3941  c0 4315  {csn 4621  cfv 6534  (class class class)co 7402  lecple 17205  joincjn 18268  Atomscatm 38627  HLchlt 38714  +𝑃cpadd 39160  𝑃cpolN 39267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38540  df-ol 38542  df-oml 38543  df-covers 38630  df-ats 38631  df-atl 38662  df-cvlat 38686  df-hlat 38715  df-psubsp 38868  df-pmap 38869  df-padd 39161  df-polarityN 39268
This theorem is referenced by:  pexmidlem6N  39340
  Copyright terms: Public domain W3C validator