Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgredg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgredg 27030
 Description: For each edge in a multigraph, there are two distinct vertices which are connected by this edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 25-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upgredg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgredg ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem umgredg
StepHypRef Expression
1 upgredg.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
21eleq2i 2843 . . . 4 (𝐶𝐸𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
3 edgumgr 27027 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
42, 3sylan2b 596 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶𝐸) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
5 hash2prde 13880 . . . 4 ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}))
6 eleq1 2839 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺)))
7 prex 5301 . . . . . . . . . . . 12 {𝑎, 𝑏} ∈ V
87elpw 4498 . . . . . . . . . . 11 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺))
9 vex 3413 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎 ∈ V
10 vex 3413 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏 ∈ V
119, 10prss 4710 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉)
12 upgredg.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1312sseq2i 3921 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺))
1411, 13sylbbr 239 . . . . . . . . . . 11 ({𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
158, 14sylbi 220 . . . . . . . . . 10 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
166, 15syl6bi 256 . . . . . . . . 9 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1716adantrd 495 . . . . . . . 8 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1817adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1918imdistanri 573 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏})) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
2019ex 416 . . . . 5 ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → ((𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}))))
21202eximdv 1920 . . . 4 ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}))))
225, 21mpd 15 . . 3 ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
234, 22syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶𝐸) → ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
24 r2ex 3227 . 2 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
2523, 24sylibr 237 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3858  𝒫 cpw 4494  {cpr 4524  ‘cfv 6335  2c2 11729  ♯chash 13740  Vtxcvtx 26888  Edgcedg 26939  UMGraphcumgr 26973 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-oadd 8116  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-dju 9363  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-hash 13741  df-edg 26940  df-umgr 26975 This theorem is referenced by:  usgredg  27088  umgr2cycllem  32618
 Copyright terms: Public domain W3C validator