MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgredg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgredg 26374
Description: For each edge in a multigraph, there are two distinct vertices which are connected by this edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 25-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upgredg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgredg ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem umgredg
StepHypRef Expression
1 upgredg.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
21eleq2i 2870 . . . 4 (𝐶𝐸𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
3 edgumgr 26370 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
42, 3sylan2b 588 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶𝐸) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
5 hash2prde 13501 . . . 4 ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}))
6 eleq1 2866 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺)))
7 prex 5100 . . . . . . . . . . . 12 {𝑎, 𝑏} ∈ V
87elpw 4355 . . . . . . . . . . 11 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺))
9 vex 3388 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎 ∈ V
10 vex 3388 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏 ∈ V
119, 10prss 4539 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉)
12 upgredg.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1312sseq2i 3826 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺))
1411, 13sylbbr 228 . . . . . . . . . . 11 ({𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
158, 14sylbi 209 . . . . . . . . . 10 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
166, 15syl6bi 245 . . . . . . . . 9 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1716adantrd 486 . . . . . . . 8 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1817adantl 474 . . . . . . 7 ((𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1918imdistanri 566 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏})) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
2019ex 402 . . . . 5 ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → ((𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}))))
21202eximdv 2015 . . . 4 ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}))))
225, 21mpd 15 . . 3 ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
234, 22syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶𝐸) → ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
24 r2ex 3242 . 2 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
2523, 24sylibr 226 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  wne 2971  wrex 3090  wss 3769  𝒫 cpw 4349  {cpr 4370  cfv 6101  2c2 11368  chash 13370  Vtxcvtx 26231  Edgcedg 26282  UMGraphcumgr 26316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-hash 13371  df-edg 26283  df-umgr 26318
This theorem is referenced by:  usgredg  26432
  Copyright terms: Public domain W3C validator