MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgredg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgredg 26837
Description: For each edge in a multigraph, there are two distinct vertices which are connected by this edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 25-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upgredg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgredg ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem umgredg
StepHypRef Expression
1 upgredg.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
21eleq2i 2908 . . . 4 (𝐶𝐸𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
3 edgumgr 26834 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
42, 3sylan2b 593 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶𝐸) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
5 hash2prde 13821 . . . 4 ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}))
6 eleq1 2904 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺)))
7 prex 5328 . . . . . . . . . . . 12 {𝑎, 𝑏} ∈ V
87elpw 4548 . . . . . . . . . . 11 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺))
9 vex 3502 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎 ∈ V
10 vex 3502 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏 ∈ V
119, 10prss 4751 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉)
12 upgredg.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1312sseq2i 3999 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺))
1411, 13sylbbr 237 . . . . . . . . . . 11 ({𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
158, 14sylbi 218 . . . . . . . . . 10 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
166, 15syl6bi 254 . . . . . . . . 9 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1716adantrd 492 . . . . . . . 8 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1817adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1918imdistanri 570 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏})) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
2019ex 413 . . . . 5 ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → ((𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}))))
21202eximdv 1913 . . . 4 ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}))))
225, 21mpd 15 . . 3 ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
234, 22syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶𝐸) → ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
24 r2ex 3307 . 2 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
2523, 24sylibr 235 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝐶 = {𝑎, 𝑏}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wne 3020  wrex 3143  wss 3939  𝒫 cpw 4541  {cpr 4565  cfv 6351  2c2 11684  chash 13683  Vtxcvtx 26695  Edgcedg 26746  UMGraphcumgr 26780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-hash 13684  df-edg 26747  df-umgr 26782
This theorem is referenced by:  usgredg  26895  umgr2cycllem  32271
  Copyright terms: Public domain W3C validator