Theorem umgredg 29295

Description: For each edge in a multigraph, there are two distinct vertices which are connected by this edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgredg	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem umgredg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	eleq2i 2853	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
3		edgumgr 29292	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
4	2, 3	sylan2b 603	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
5		hash2prde 14476	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))
6		eleq1 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺)))
7		prex 5392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑎, 𝑏} ∈ V
8	7	elpw 4556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺))
9		vex 3457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑎 ∈ V
10		vex 3457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑏 ∈ V
11	9, 10	prss 4775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉)
12		upgredg.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
13	12	sseq2i 3963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺))
14	11, 13	sylbbr 238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
15	8, 14	sylbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
16	6, 15	biimtrdi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
17	16	adantrd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
18	17	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
19	18	imdistanri 577	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏})) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
20	19	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))))
21	20	2eximdv 1938	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))))
22	5, 21	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
23	4, 22	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
24		r2ex 3198	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
25	23, 24	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4552  {cpr 4581  ‘cfv 6515  2c2 12265  ♯chash 14336  Vtxcvtx 29153  Edgcedg 29204  UMGraphcumgr 29238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-oadd 8434  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-dju 9852  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-hash 14337  df-edg 29205  df-umgr 29240

This theorem is referenced by:  usgredg  29356  umgr2cycllem  35450