Theorem coinfliprv 32428

Description: The 𝑋 we defined for coin-flip is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinfliprv	⊢ 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃)

Proof of Theorem coinfliprv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.th	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
2		coinflip.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ V
3		coinflip.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ V
4		1ex 10955	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
5		c0ex 10953	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
6	2, 3, 4, 5	fpr 7020	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≠ 𝑇 → {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0}
8		coinflip.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
9	8	feq1i 6587	. . . . 5 ⊢ (𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0} ↔ {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
10	7, 9	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0}
11		coinflip.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
12	2, 3, 1, 11, 8	coinflipuniv 32427	. . . . 5 ⊢ ∪ dom 𝑃 = {𝐻, 𝑇}
13	12	feq2i 6588	. . . 4 ⊢ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶{1, 0} ↔ 𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
14	10, 13	mpbir 230	. . 3 ⊢ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶{1, 0}
15		1re 10959	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		0re 10961	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	15, 16	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
18	4, 5	prss 4758	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ↔ {1, 0} ⊆ ℝ)
19	17, 18	mpbi 229	. . 3 ⊢ {1, 0} ⊆ ℝ
20		fss 6613	. . 3 ⊢ ((𝑋:∪ dom 𝑃⟶{1, 0} ∧ {1, 0} ⊆ ℝ) → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
21	14, 19, 20	mp2an 688	. 2 ⊢ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ
22		imassrn 5977	. . . . 5 ⊢ (◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ ran ◡𝑋
23		dfdm4 5801	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑋 = ran ◡𝑋
24	10	fdmi 6608	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑋 = {𝐻, 𝑇}
25	23, 24	eqtr3i 2769	. . . . 5 ⊢ ran ◡𝑋 = {𝐻, 𝑇}
26	22, 25	sseqtri 3961	. . . 4 ⊢ (◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇}
27	2, 3, 1, 11, 8	coinflipspace 32426	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
28	27	eleq2i 2831	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃 ↔ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
29		prex 5358	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩} ∈ V
30	8, 29	eqeltri 2836	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ V
31		cnvexg 7758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → ◡𝑋 ∈ V)
32		imaexg 7749	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑋 ∈ V → (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ V)
33	30, 31, 32	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ V
34	33	elpw 4542	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↔ (◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇})
35	28, 34	bitr2i 275	. . . . 5 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇} ↔ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
36	35	biimpi 215	. . . 4 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇} → (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
37	26, 36	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝔅ℝ → (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
38	37	rgen 3075	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃
39	2, 3, 1, 11, 8	coinflipprob 32425	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ Prob
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝑃 ∈ Prob)
41	40	isrrvv 32389	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
42	2, 41	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃))
43	21, 38, 42	mpbir2an 707	1 ⊢ 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  ∀wral 3065  Vcvv 3430   ⊆ wss 3891  𝒫 cpw 4538  {cpr 4568  ⟨cop 4572  ∪ cuni 4844  ^◡ccnv 5587  dom cdm 5588  ran crn 5589   ↾ cres 5590   “ cima 5591  ⟶wf 6426  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  0cc0 10855  1c1 10856   / cdiv 11615  2c2 12011  ♯chash 14025   ∘_f/c cofc 32042  𝔅_ℝcbrsiga 32128  Probcprb 32353  rRndVarcrrv 32386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-addf 10934  ax-mulf 10935

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-disj 5044  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-oadd 8285  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-fi 9131  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-dju 9643  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-xnn0 12289  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xneg 12830  df-xadd 12831  df-xmul 12832  df-ioo 13065  df-ioc 13066  df-ico 13067  df-icc 13068  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-mod 13571  df-seq 13703  df-exp 13764  df-fac 13969  df-bc 13998  df-hash 14026  df-shft 14759  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-limsup 15161  df-clim 15178  df-rlim 15179  df-sum 15379  df-ef 15758  df-sin 15760  df-cos 15761  df-pi 15763  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-hom 16967  df-cco 16968  df-rest 17114  df-topn 17115  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-topgen 17135  df-pt 17136  df-prds 17139  df-ordt 17193  df-xrs 17194  df-qtop 17199  df-imas 17200  df-xps 17202  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-ps 18265  df-tsr 18266  df-plusf 18306  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-submnd 18412  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-mulg 18682  df-subg 18733  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-cring 19767  df-subrg 20003  df-abv 20058  df-lmod 20106  df-scaf 20107  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-psmet 20570  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bl 20573  df-mopn 20574  df-fbas 20575  df-fg 20576  df-cnfld 20579  df-top 22024  df-topon 22041  df-topsp 22063  df-bases 22077  df-cld 22151  df-ntr 22152  df-cls 22153  df-nei 22230  df-lp 22268  df-perf 22269  df-cn 22359  df-cnp 22360  df-haus 22447  df-tx 22694  df-hmeo 22887  df-fil 22978  df-fm 23070  df-flim 23071  df-flf 23072  df-tmd 23204  df-tgp 23205  df-tsms 23259  df-trg 23292  df-xms 23454  df-ms 23455  df-tms 23456  df-nm 23719  df-ngp 23720  df-nrg 23722  df-nlm 23723  df-ii 24021  df-cncf 24022  df-limc 25011  df-dv 25012  df-log 25693  df-xdiv 31171  df-esum 31975  df-ofc 32043  df-siga 32056  df-sigagen 32086  df-brsiga 32129  df-meas 32143  df-mbfm 32197  df-prob 32354  df-rrv 32387

This theorem is referenced by: (None)