Theorem coinfliprv 35115

Description: The 𝑋 we defined for coin-flip is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinfliprv	⊢ 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃)

Proof of Theorem coinfliprv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.th	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
2		coinflip.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ V
3		coinflip.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ V
4		1ex 11303	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
5		c0ex 11300	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
6	2, 3, 4, 5	fpr 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≠ 𝑇 → {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0}
8		coinflip.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
9	8	feq1i 6700	. . . . 5 ⊢ (𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0} ↔ {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
10	7, 9	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0}
11		coinflip.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
12	2, 3, 1, 11, 8	coinflipuniv 35114	. . . . 5 ⊢ ∪ dom 𝑃 = {𝐻, 𝑇}
13	12	feq2i 6701	. . . 4 ⊢ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶{1, 0} ↔ 𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
14	10, 13	mpbir 234	. . 3 ⊢ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶{1, 0}
15		1re 11308	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		0re 11310	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	15, 16	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
18	4, 5	prss 4781	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ↔ {1, 0} ⊆ ℝ)
19	17, 18	mpbi 233	. . 3 ⊢ {1, 0} ⊆ ℝ
20		fss 6726	. . 3 ⊢ ((𝑋:∪ dom 𝑃⟶{1, 0} ∧ {1, 0} ⊆ ℝ) → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
21	14, 19, 20	mp2an 705	. 2 ⊢ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ
22		imassrn 6197	. . . . 5 ⊢ (◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ ran ◡𝑋
23		dfdm4 5877	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑋 = ran ◡𝑋
24	10	fdmi 6721	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑋 = {𝐻, 𝑇}
25	23, 24	eqtr3i 2786	. . . . 5 ⊢ ran ◡𝑋 = {𝐻, 𝑇}
26	22, 25	sseqtri 3979	. . . 4 ⊢ (◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇}
27	2, 3, 1, 11, 8	coinflipspace 35113	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
28	27	eleq2i 2853	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃 ↔ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
29		prex 5396	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩} ∈ V
30	8, 29	eqeltri 2857	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ V
31		cnvexg 7936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → ◡𝑋 ∈ V)
32		imaexg 7925	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑋 ∈ V → (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ V)
33	30, 31, 32	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ V
34	33	elpw 4561	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↔ (◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇})
35	28, 34	bitr2i 279	. . . . 5 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇} ↔ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
36	35	biimpi 219	. . . 4 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇} → (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
37	26, 36	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝔅ℝ → (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
38	37	rgen 3079	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃
39	2, 3, 1, 11, 8	coinflipprob 35112	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ Prob
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝑃 ∈ Prob)
41	40	isrrvv 35075	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
42	2, 41	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃))
43	21, 38, 42	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  {cpr 4586  ⟨cop 4590  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   / cdiv 11973  2c2 12397  ♯chash 14474   ∘_f/c cofc 34727  𝔅_ℝcbrsiga 34814  Probcprb 35039  rRndVarcrrv 35072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-ordt 17673  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-ps 18740  df-tsr 18741  df-plusf 18815  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-abv 21066  df-lmod 21137  df-scaf 21138  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-tmd 24391  df-tgp 24392  df-tsms 24446  df-trg 24479  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-nm 24901  df-ngp 24902  df-nrg 24904  df-nlm 24905  df-ii 25198  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-xdiv 33484  df-esum 34660  df-ofc 34728  df-siga 34741  df-sigagen 34772  df-brsiga 34815  df-meas 34829  df-mbfm 34883  df-prob 35040  df-rrv 35073

This theorem is used by: (None)