Theorem coinfliprv 33780

Description: The 𝑋 we defined for coin-flip is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinfliprv	⊢ 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃)

Proof of Theorem coinfliprv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.th	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
2		coinflip.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ V
3		coinflip.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ V
4		1ex 11215	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
5		c0ex 11213	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
6	2, 3, 4, 5	fpr 7154	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≠ 𝑇 → {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0}
8		coinflip.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
9	8	feq1i 6708	. . . . 5 ⊢ (𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0} ↔ {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
10	7, 9	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0}
11		coinflip.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
12	2, 3, 1, 11, 8	coinflipuniv 33779	. . . . 5 ⊢ ∪ dom 𝑃 = {𝐻, 𝑇}
13	12	feq2i 6709	. . . 4 ⊢ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶{1, 0} ↔ 𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
14	10, 13	mpbir 230	. . 3 ⊢ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶{1, 0}
15		1re 11219	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		0re 11221	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	15, 16	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
18	4, 5	prss 4823	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ↔ {1, 0} ⊆ ℝ)
19	17, 18	mpbi 229	. . 3 ⊢ {1, 0} ⊆ ℝ
20		fss 6734	. . 3 ⊢ ((𝑋:∪ dom 𝑃⟶{1, 0} ∧ {1, 0} ⊆ ℝ) → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
21	14, 19, 20	mp2an 689	. 2 ⊢ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ
22		imassrn 6070	. . . . 5 ⊢ (◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ ran ◡𝑋
23		dfdm4 5895	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑋 = ran ◡𝑋
24	10	fdmi 6729	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑋 = {𝐻, 𝑇}
25	23, 24	eqtr3i 2761	. . . . 5 ⊢ ran ◡𝑋 = {𝐻, 𝑇}
26	22, 25	sseqtri 4018	. . . 4 ⊢ (◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇}
27	2, 3, 1, 11, 8	coinflipspace 33778	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
28	27	eleq2i 2824	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃 ↔ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
29		prex 5432	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩} ∈ V
30	8, 29	eqeltri 2828	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ V
31		cnvexg 7919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → ◡𝑋 ∈ V)
32		imaexg 7910	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑋 ∈ V → (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ V)
33	30, 31, 32	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ V
34	33	elpw 4606	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↔ (◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇})
35	28, 34	bitr2i 276	. . . . 5 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇} ↔ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
36	35	biimpi 215	. . . 4 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇} → (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
37	26, 36	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝔅ℝ → (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
38	37	rgen 3062	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃
39	2, 3, 1, 11, 8	coinflipprob 33777	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ Prob
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝑃 ∈ Prob)
41	40	isrrvv 33741	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
42	2, 41	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃))
43	21, 38, 42	mpbir2an 708	1 ⊢ 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  Vcvv 3473   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602  {cpr 4630  ⟨cop 4634  ∪ cuni 4908  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   ↾ cres 5678   “ cima 5679  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   / cdiv 11876  2c2 12272  ♯chash 14295   ∘_f/c cofc 33392  𝔅_ℝcbrsiga 33478  Probcprb 33705  rRndVarcrrv 33738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-ordt 17452  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-ps 18524  df-tsr 18525  df-plusf 18565  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-abv 20569  df-lmod 20617  df-scaf 20618  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-tmd 23797  df-tgp 23798  df-tsms 23852  df-trg 23885  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-nm 24312  df-ngp 24313  df-nrg 24315  df-nlm 24316  df-ii 24618  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-xdiv 32352  df-esum 33325  df-ofc 33393  df-siga 33406  df-sigagen 33436  df-brsiga 33479  df-meas 33493  df-mbfm 33547  df-prob 33706  df-rrv 33739

This theorem is referenced by: (None)