Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinfliprv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coinfliprv 33312
Description: The 𝑋 we defined for coin-flip is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h 𝐻 ∈ V
coinflip.t 𝑇 ∈ V
coinflip.th 𝐻 β‰  𝑇
coinflip.2 𝑃 = ((β™― β†Ύ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, βŸ¨π‘‡, 0⟩}
Assertion
Ref Expression
coinfliprv 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)

Proof of Theorem coinfliprv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.th . . . . . 6 𝐻 β‰  𝑇
2 coinflip.h . . . . . . 7 𝐻 ∈ V
3 coinflip.t . . . . . . 7 𝑇 ∈ V
4 1ex 11192 . . . . . . 7 1 ∈ V
5 c0ex 11190 . . . . . . 7 0 ∈ V
62, 3, 4, 5fpr 7136 . . . . . 6 (𝐻 β‰  𝑇 β†’ {⟨𝐻, 1⟩, βŸ¨π‘‡, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟢{1, 0})
71, 6ax-mp 5 . . . . 5 {⟨𝐻, 1⟩, βŸ¨π‘‡, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟢{1, 0}
8 coinflip.3 . . . . . 6 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, βŸ¨π‘‡, 0⟩}
98feq1i 6695 . . . . 5 (𝑋:{𝐻, 𝑇}⟢{1, 0} ↔ {⟨𝐻, 1⟩, βŸ¨π‘‡, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟢{1, 0})
107, 9mpbir 230 . . . 4 𝑋:{𝐻, 𝑇}⟢{1, 0}
11 coinflip.2 . . . . . 6 𝑃 = ((β™― β†Ύ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
122, 3, 1, 11, 8coinflipuniv 33311 . . . . 5 βˆͺ dom 𝑃 = {𝐻, 𝑇}
1312feq2i 6696 . . . 4 (𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆ{1, 0} ↔ 𝑋:{𝐻, 𝑇}⟢{1, 0})
1410, 13mpbir 230 . . 3 𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆ{1, 0}
15 1re 11196 . . . . 5 1 ∈ ℝ
16 0re 11198 . . . . 5 0 ∈ ℝ
1715, 16pm3.2i 471 . . . 4 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
184, 5prss 4816 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ↔ {1, 0} βŠ† ℝ)
1917, 18mpbi 229 . . 3 {1, 0} βŠ† ℝ
20 fss 6721 . . 3 ((𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆ{1, 0} ∧ {1, 0} βŠ† ℝ) β†’ 𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„)
2114, 19, 20mp2an 690 . 2 𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„
22 imassrn 6060 . . . . 5 (◑𝑋 β€œ 𝑦) βŠ† ran ◑𝑋
23 dfdm4 5887 . . . . . 6 dom 𝑋 = ran ◑𝑋
2410fdmi 6716 . . . . . 6 dom 𝑋 = {𝐻, 𝑇}
2523, 24eqtr3i 2761 . . . . 5 ran ◑𝑋 = {𝐻, 𝑇}
2622, 25sseqtri 4014 . . . 4 (◑𝑋 β€œ 𝑦) βŠ† {𝐻, 𝑇}
272, 3, 1, 11, 8coinflipspace 33310 . . . . . . 7 dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
2827eleq2i 2824 . . . . . 6 ((◑𝑋 β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃 ↔ (◑𝑋 β€œ 𝑦) ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
29 prex 5425 . . . . . . . . 9 {⟨𝐻, 1⟩, βŸ¨π‘‡, 0⟩} ∈ V
308, 29eqeltri 2828 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V
31 cnvexg 7897 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V β†’ ◑𝑋 ∈ V)
32 imaexg 7888 . . . . . . . 8 (◑𝑋 ∈ V β†’ (◑𝑋 β€œ 𝑦) ∈ V)
3330, 31, 32mp2b 10 . . . . . . 7 (◑𝑋 β€œ 𝑦) ∈ V
3433elpw 4600 . . . . . 6 ((◑𝑋 β€œ 𝑦) ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↔ (◑𝑋 β€œ 𝑦) βŠ† {𝐻, 𝑇})
3528, 34bitr2i 275 . . . . 5 ((◑𝑋 β€œ 𝑦) βŠ† {𝐻, 𝑇} ↔ (◑𝑋 β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
3635biimpi 215 . . . 4 ((◑𝑋 β€œ 𝑦) βŠ† {𝐻, 𝑇} β†’ (◑𝑋 β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
3726, 36mp1i 13 . . 3 (𝑦 ∈ 𝔅ℝ β†’ (◑𝑋 β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
3837rgen 3062 . 2 βˆ€π‘¦ ∈ 𝔅ℝ (◑𝑋 β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃
392, 3, 1, 11, 8coinflipprob 33309 . . . . 5 𝑃 ∈ Prob
4039a1i 11 . . . 4 (𝐻 ∈ V β†’ 𝑃 ∈ Prob)
4140isrrvv 33273 . . 3 (𝐻 ∈ V β†’ (𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝔅ℝ (◑𝑋 β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
422, 41ax-mp 5 . 2 (𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝑋:βˆͺ dom π‘ƒβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝔅ℝ (◑𝑋 β€œ 𝑦) ∈ dom 𝑃))
4321, 38, 42mpbir2an 709 1 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βŠ† wss 3944  π’« cpw 4596  {cpr 4624  βŸ¨cop 4628  βˆͺ cuni 4901  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6528  β€˜cfv 6532  (class class class)co 7393  β„cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   / cdiv 11853  2c2 12249  β™―chash 14272   ∘f/c cofc 32924  π”…ℝcbrsiga 33010  Probcprb 33237  rRndVarcrrv 33270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-dju 9878  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-xnn0 12527  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-fac 14216  df-bc 14245  df-hash 14273  df-shft 14996  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-ef 15993  df-sin 15995  df-cos 15996  df-pi 15998  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-pt 17372  df-prds 17375  df-ordt 17429  df-xrs 17430  df-qtop 17435  df-imas 17436  df-xps 17438  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-plusf 18542  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-subrg 20310  df-abv 20374  df-lmod 20422  df-scaf 20423  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-nei 22531  df-lp 22569  df-perf 22570  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-haus 22748  df-tx 22995  df-hmeo 23188  df-fil 23279  df-fm 23371  df-flim 23372  df-flf 23373  df-tmd 23505  df-tgp 23506  df-tsms 23560  df-trg 23593  df-xms 23755  df-ms 23756  df-tms 23757  df-nm 24020  df-ngp 24021  df-nrg 24023  df-nlm 24024  df-ii 24322  df-cncf 24323  df-limc 25312  df-dv 25313  df-log 25994  df-xdiv 31955  df-esum 32857  df-ofc 32925  df-siga 32938  df-sigagen 32968  df-brsiga 33011  df-meas 33025  df-mbfm 33079  df-prob 33238  df-rrv 33271
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator