Theorem coinfliprv 34627

Description: The 𝑋 we defined for coin-flip is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinfliprv	⊢ 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃)

Proof of Theorem coinfliprv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.th	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
2		coinflip.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ V
3		coinflip.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ V
4		1ex 11140	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
5		c0ex 11138	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
6	2, 3, 4, 5	fpr 7108	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≠ 𝑇 → {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0}
8		coinflip.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
9	8	feq1i 6659	. . . . 5 ⊢ (𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0} ↔ {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
10	7, 9	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0}
11		coinflip.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
12	2, 3, 1, 11, 8	coinflipuniv 34626	. . . . 5 ⊢ ∪ dom 𝑃 = {𝐻, 𝑇}
13	12	feq2i 6660	. . . 4 ⊢ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶{1, 0} ↔ 𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
14	10, 13	mpbir 231	. . 3 ⊢ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶{1, 0}
15		1re 11144	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		0re 11146	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	15, 16	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
18	4, 5	prss 4763	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ↔ {1, 0} ⊆ ℝ)
19	17, 18	mpbi 230	. . 3 ⊢ {1, 0} ⊆ ℝ
20		fss 6684	. . 3 ⊢ ((𝑋:∪ dom 𝑃⟶{1, 0} ∧ {1, 0} ⊆ ℝ) → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
21	14, 19, 20	mp2an 693	. 2 ⊢ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ
22		imassrn 6036	. . . . 5 ⊢ (◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ ran ◡𝑋
23		dfdm4 5850	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑋 = ran ◡𝑋
24	10	fdmi 6679	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑋 = {𝐻, 𝑇}
25	23, 24	eqtr3i 2761	. . . . 5 ⊢ ran ◡𝑋 = {𝐻, 𝑇}
26	22, 25	sseqtri 3970	. . . 4 ⊢ (◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇}
27	2, 3, 1, 11, 8	coinflipspace 34625	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
28	27	eleq2i 2828	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃 ↔ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
29		prex 5380	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩} ∈ V
30	8, 29	eqeltri 2832	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ V
31		cnvexg 7875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → ◡𝑋 ∈ V)
32		imaexg 7864	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑋 ∈ V → (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ V)
33	30, 31, 32	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ V
34	33	elpw 4545	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↔ (◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇})
35	28, 34	bitr2i 276	. . . . 5 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇} ↔ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
36	35	biimpi 216	. . . 4 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇} → (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
37	26, 36	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝔅ℝ → (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
38	37	rgen 3053	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃
39	2, 3, 1, 11, 8	coinflipprob 34624	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ Prob
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝑃 ∈ Prob)
41	40	isrrvv 34587	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
42	2, 41	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃))
43	21, 38, 42	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  {cpr 4569  ⟨cop 4573  ∪ cuni 4850  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632   ↾ cres 5633   “ cima 5634  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   / cdiv 11807  2c2 12236  ♯chash 14292   ∘_f/c cofc 34239  𝔅_ℝcbrsiga 34325  Probcprb 34551  rRndVarcrrv 34584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-ordt 17465  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-ps 18532  df-tsr 18533  df-plusf 18607  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-abv 20786  df-lmod 20857  df-scaf 20858  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-tmd 24037  df-tgp 24038  df-tsms 24092  df-trg 24125  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-nm 24547  df-ngp 24548  df-nrg 24550  df-nlm 24551  df-ii 24844  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520  df-xdiv 32977  df-esum 34172  df-ofc 34240  df-siga 34253  df-sigagen 34283  df-brsiga 34326  df-meas 34340  df-mbfm 34394  df-prob 34552  df-rrv 34585

This theorem is referenced by: (None)