Theorem coinfliprv 34646

Description: The 𝑋 we defined for coin-flip is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinfliprv	⊢ 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃)

Proof of Theorem coinfliprv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.th	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
2		coinflip.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ V
3		coinflip.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ V
4		1ex 11134	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
5		c0ex 11132	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
6	2, 3, 4, 5	fpr 7102	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≠ 𝑇 → {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0}
8		coinflip.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
9	8	feq1i 6654	. . . . 5 ⊢ (𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0} ↔ {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
10	7, 9	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0}
11		coinflip.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
12	2, 3, 1, 11, 8	coinflipuniv 34645	. . . . 5 ⊢ ∪ dom 𝑃 = {𝐻, 𝑇}
13	12	feq2i 6655	. . . 4 ⊢ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶{1, 0} ↔ 𝑋:{𝐻, 𝑇}⟶{1, 0})
14	10, 13	mpbir 231	. . 3 ⊢ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶{1, 0}
15		1re 11138	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		0re 11140	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	15, 16	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
18	4, 5	prss 4764	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ↔ {1, 0} ⊆ ℝ)
19	17, 18	mpbi 230	. . 3 ⊢ {1, 0} ⊆ ℝ
20		fss 6679	. . 3 ⊢ ((𝑋:∪ dom 𝑃⟶{1, 0} ∧ {1, 0} ⊆ ℝ) → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
21	14, 19, 20	mp2an 693	. 2 ⊢ 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ
22		imassrn 6031	. . . . 5 ⊢ (◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ ran ◡𝑋
23		dfdm4 5845	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑋 = ran ◡𝑋
24	10	fdmi 6674	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑋 = {𝐻, 𝑇}
25	23, 24	eqtr3i 2762	. . . . 5 ⊢ ran ◡𝑋 = {𝐻, 𝑇}
26	22, 25	sseqtri 3971	. . . 4 ⊢ (◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇}
27	2, 3, 1, 11, 8	coinflipspace 34644	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝑃 = 𝒫 {𝐻, 𝑇}
28	27	eleq2i 2829	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃 ↔ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
29		prex 5376	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩} ∈ V
30	8, 29	eqeltri 2833	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ V
31		cnvexg 7869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → ◡𝑋 ∈ V)
32		imaexg 7858	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑋 ∈ V → (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ V)
33	30, 31, 32	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ V
34	33	elpw 4546	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↔ (◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇})
35	28, 34	bitr2i 276	. . . . 5 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇} ↔ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
36	35	biimpi 216	. . . 4 ⊢ ((◡𝑋 “ 𝑦) ⊆ {𝐻, 𝑇} → (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
37	26, 36	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝔅ℝ → (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)
38	37	rgen 3054	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃
39	2, 3, 1, 11, 8	coinflipprob 34643	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ Prob
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝑃 ∈ Prob)
41	40	isrrvv 34606	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃)))
42	2, 41	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑦) ∈ dom 𝑃))
43	21, 38, 42	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  {cpr 4570  ⟨cop 4574  ∪ cuni 4851  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626   ↾ cres 5627   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   / cdiv 11801  2c2 12230  ♯chash 14286   ∘_f/c cofc 34258  𝔅_ℝcbrsiga 34344  Probcprb 34570  rRndVarcrrv 34603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-ioc 13297  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15023  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-limsup 15427  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-ef 16026  df-sin 16028  df-cos 16029  df-pi 16031  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-ordt 17459  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-ps 18526  df-tsr 18527  df-plusf 18601  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-abv 20780  df-lmod 20851  df-scaf 20852  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-lp 23114  df-perf 23115  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-haus 23293  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-tmd 24050  df-tgp 24051  df-tsms 24105  df-trg 24138  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-nm 24560  df-ngp 24561  df-nrg 24563  df-nlm 24564  df-ii 24857  df-cncf 24858  df-limc 25846  df-dv 25847  df-log 26536  df-xdiv 32995  df-esum 34191  df-ofc 34259  df-siga 34272  df-sigagen 34302  df-brsiga 34345  df-meas 34359  df-mbfm 34413  df-prob 34571  df-rrv 34604

This theorem is referenced by: (None)