MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thlle 21184
Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 11-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
thlle.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
thlle.l = (le‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
thlle = (le‘𝐾)

Proof of Theorem thlle
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thlle.l . . . 4 = (le‘𝐼)
2 pleid 17294 . . . . 5 le = Slot (le‘ndx)
3 plendxnocndx 17311 . . . . 5 (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
42, 3setsnid 17124 . . . 4 (le‘𝐼) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
51, 4eqtri 2759 . . 3 = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
6 thlval.k . . . . 5 𝐾 = (toHL‘𝑊)
7 thlbas.c . . . . 5 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
8 thlle.i . . . . 5 𝐼 = (toInc‘𝐶)
9 eqid 2731 . . . . 5 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
106, 7, 8, 9thlval 21181 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
1110fveq2d 6882 . . 3 (𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
125, 11eqtr4id 2790 . 2 (𝑊 ∈ V → = (le‘𝐾))
132str0 17104 . . 3 ∅ = (le‘∅)
147fvexi 6892 . . . . . 6 𝐶 ∈ V
158ipolerval 18467 . . . . . 6 (𝐶 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = (le‘𝐼))
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = (le‘𝐼)
171, 16eqtr4i 2762 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)}
18 opabn0 5546 . . . . . 6 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦))
19 vex 3477 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
20 vex 3477 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
2119, 20prss 4816 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐶𝑦𝐶) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶)
22 elfvex 6916 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
2322, 7eleq2s 2850 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐶𝑊 ∈ V)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐶𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
2521, 24sylanbr 582 . . . . . . 7 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
2625exlimivv 1935 . . . . . 6 (∃𝑥𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
2718, 26sylbi 216 . . . . 5 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V)
2827necon1bi 2968 . . . 4 𝑊 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = ∅)
2917, 28eqtrid 2783 . . 3 𝑊 ∈ V → = ∅)
30 fvprc 6870 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
316, 30eqtrid 2783 . . . 4 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
3231fveq2d 6882 . . 3 𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘∅))
3313, 29, 323eqtr4a 2797 . 2 𝑊 ∈ V → = (le‘𝐾))
3412, 33pm2.61i 182 1 = (le‘𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2939  Vcvv 3473  wss 3944  c0 4318  {cpr 4624  cop 4628  {copab 5203  cfv 6532  (class class class)co 7393   sSet csts 17078  ndxcnx 17108  lecple 17186  occoc 17187  toInccipo 18462  ocvcocv 21146  ClSubSpccss 21147  toHLcthl 21148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-fz 13467  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ocomp 17200  df-ipo 18463  df-thl 21151
This theorem is referenced by:  thlleval  21186
  Copyright terms: Public domain W3C validator