Theorem thlle 20814

Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
thlle.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
thlle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
thlle	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Proof of Theorem thlle

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thlle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐼)
2		pleid 17001	. . . . 5 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
3		10re 12385	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4		1nn0 12179	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		0nn0 12178	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		1nn 11914	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		0lt1 11427	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
8	4, 5, 6, 7	declt 12394	. . . . . . 7 ⊢ ;10 < ;11
9	3, 8	ltneii 11018	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ ;11
10		plendx 17000	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) = ;10
11		ocndx 17014	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
12	10, 11	neeq12i 3009	. . . . . 6 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;11)
13	9, 12	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
14	2, 13	setsnid 16838	. . . 4 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
15	1, 14	eqtri 2766	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
16		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
17		thlbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
18		thlle.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
19		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
20	16, 17, 18, 19	thlval 20812	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
21	20	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
22	15, 21	eqtr4id 2798	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
23	2	str0 16818	. . 3 ⊢ ∅ = (le‘∅)
24	17	fvexi 6770	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ V
25	18	ipolerval 18165	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼)
27	1, 26	eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ ≤ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}
28		opabn0 5459	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥∃𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦))
29		vex 3426	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
30		vex 3426	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
31	29, 30	prss 4750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶)
32		elfvex 6789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
33	32, 17	eleq2s 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑊 ∈ V)
34	33	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
35	31, 34	sylanbr 581	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
36	35	exlimivv 1936	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥∃𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
37	28, 36	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V)
38	37	necon1bi 2971	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = ∅)
39	27, 38	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ≤ = ∅)
40		fvprc 6748	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
41	16, 40	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
42	41	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘∅))
43	23, 39, 42	3eqtr4a 2805	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
44	22, 43	pm2.61i 182	1 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {cpr 4560  ⟨cop 4564  {copab 5132  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803  ;cdc 12366   sSet csts 16792  ndxcnx 16822  lecple 16895  occoc 16896  toInccipo 18160  ocvcocv 20777  ClSubSpccss 20778  toHLcthl 20779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ocomp 16909  df-ipo 18161  df-thl 20782

This theorem is referenced by:  thlleval  20815