MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thlle 20317
Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
thlle.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
thlle.l = (le‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
thlle = (le‘𝐾)

Proof of Theorem thlle
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5 𝐾 = (toHL‘𝑊)
2 thlbas.c . . . . 5 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3 thlle.i . . . . 5 𝐼 = (toInc‘𝐶)
4 eqid 2765 . . . . 5 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
51, 2, 3, 4thlval 20315 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
65fveq2d 6379 . . 3 (𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
7 thlle.l . . . 4 = (le‘𝐼)
8 pleid 16320 . . . . 5 le = Slot (le‘ndx)
9 10re 11759 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
10 1nn0 11556 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
11 0nn0 11555 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
12 1nn 11287 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
13 0lt1 10804 . . . . . . . 8 0 < 1
1410, 11, 12, 13declt 11769 . . . . . . 7 10 < 11
159, 14ltneii 10404 . . . . . 6 10 ≠ 11
16 plendx 16319 . . . . . . 7 (le‘ndx) = 10
17 ocndx 16326 . . . . . . 7 (oc‘ndx) = 11
1816, 17neeq12i 3003 . . . . . 6 ((le‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ 10 ≠ 11)
1915, 18mpbir 222 . . . . 5 (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
208, 19setsnid 16187 . . . 4 (le‘𝐼) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
217, 20eqtri 2787 . . 3 = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
226, 21syl6reqr 2818 . 2 (𝑊 ∈ V → = (le‘𝐾))
238str0 16183 . . 3 ∅ = (le‘∅)
242fvexi 6389 . . . . . 6 𝐶 ∈ V
253ipolerval 17422 . . . . . 6 (𝐶 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = (le‘𝐼))
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = (le‘𝐼)
277, 26eqtr4i 2790 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)}
28 opabn0 5167 . . . . . 6 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦))
29 vex 3353 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
30 vex 3353 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
3129, 30prss 4505 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐶𝑦𝐶) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶)
32 elfvex 6409 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
3332, 2eleq2s 2862 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐶𝑊 ∈ V)
3433ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐶𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
3531, 34sylanbr 577 . . . . . . 7 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
3635exlimivv 2027 . . . . . 6 (∃𝑥𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
3728, 36sylbi 208 . . . . 5 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V)
3837necon1bi 2965 . . . 4 𝑊 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = ∅)
3927, 38syl5eq 2811 . . 3 𝑊 ∈ V → = ∅)
40 fvprc 6368 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
411, 40syl5eq 2811 . . . 4 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
4241fveq2d 6379 . . 3 𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘∅))
4323, 39, 423eqtr4a 2825 . 2 𝑊 ∈ V → = (le‘𝐾))
4422, 43pm2.61i 176 1 = (le‘𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 384   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  wss 3732  c0 4079  {cpr 4336  cop 4340  {copab 4871  cfv 6068  (class class class)co 6842  0cc0 10189  1c1 10190  cdc 11740  ndxcnx 16127   sSet csts 16128  lecple 16221  occoc 16222  toInccipo 17417  ocvcocv 20280  ClSubSpccss 20281  toHLcthl 20282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ocomp 16235  df-ipo 17418  df-thl 20285
This theorem is referenced by:  thlleval  20318
  Copyright terms: Public domain W3C validator