MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thlle 21242
Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 11-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k 𝐾 = (toHLβ€˜π‘Š)
thlbas.c 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
thlle.i 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
thlle.l ≀ = (leβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
thlle ≀ = (leβ€˜πΎ)

Proof of Theorem thlle
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thlle.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΌ)
2 pleid 17308 . . . . 5 le = Slot (leβ€˜ndx)
3 plendxnocndx 17325 . . . . 5 (leβ€˜ndx) β‰  (ocβ€˜ndx)
42, 3setsnid 17138 . . . 4 (leβ€˜πΌ) = (leβ€˜(𝐼 sSet ⟨(ocβ€˜ndx), (ocvβ€˜π‘Š)⟩))
51, 4eqtri 2760 . . 3 ≀ = (leβ€˜(𝐼 sSet ⟨(ocβ€˜ndx), (ocvβ€˜π‘Š)⟩))
6 thlval.k . . . . 5 𝐾 = (toHLβ€˜π‘Š)
7 thlbas.c . . . . 5 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
8 thlle.i . . . . 5 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
9 eqid 2732 . . . . 5 (ocvβ€˜π‘Š) = (ocvβ€˜π‘Š)
106, 7, 8, 9thlval 21239 . . . 4 (π‘Š ∈ V β†’ 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(ocβ€˜ndx), (ocvβ€˜π‘Š)⟩))
1110fveq2d 6892 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐼 sSet ⟨(ocβ€˜ndx), (ocvβ€˜π‘Š)⟩)))
125, 11eqtr4id 2791 . 2 (π‘Š ∈ V β†’ ≀ = (leβ€˜πΎ))
132str0 17118 . . 3 βˆ… = (leβ€˜βˆ…)
147fvexi 6902 . . . . . 6 𝐢 ∈ V
158ipolerval 18481 . . . . . 6 (𝐢 ∈ V β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = (leβ€˜πΌ))
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = (leβ€˜πΌ)
171, 16eqtr4i 2763 . . . 4 ≀ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)}
18 opabn0 5552 . . . . . 6 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦))
19 vex 3478 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
20 vex 3478 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
2119, 20prss 4822 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ↔ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢)
22 elfvex 6926 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (ClSubSpβ€˜π‘Š) β†’ π‘Š ∈ V)
2322, 7eleq2s 2851 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ π‘Š ∈ V)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ π‘Š ∈ V)
2521, 24sylanbr 582 . . . . . . 7 (({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ π‘Š ∈ V)
2625exlimivv 1935 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ π‘Š ∈ V)
2718, 26sylbi 216 . . . . 5 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} β‰  βˆ… β†’ π‘Š ∈ V)
2827necon1bi 2969 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = βˆ…)
2917, 28eqtrid 2784 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ≀ = βˆ…)
30 fvprc 6880 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (toHLβ€˜π‘Š) = βˆ…)
316, 30eqtrid 2784 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐾 = βˆ…)
3231fveq2d 6892 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜βˆ…))
3313, 29, 323eqtr4a 2798 . 2 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ≀ = (leβ€˜πΎ))
3412, 33pm2.61i 182 1 ≀ = (leβ€˜πΎ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {cpr 4629  βŸ¨cop 4633  {copab 5209  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   sSet csts 17092  ndxcnx 17122  lecple 17200  occoc 17201  toInccipo 18476  ocvcocv 21204  ClSubSpccss 21205  toHLcthl 21206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ocomp 17214  df-ipo 18477  df-thl 21209
This theorem is referenced by:  thlleval  21244
  Copyright terms: Public domain W3C validator