Theorem thlle 20405

Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
thlle.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
thlle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
thlle	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Proof of Theorem thlle

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
2		thlbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3		thlle.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
4		eqid 2826	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	thlval 20403	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
6	5	fveq2d 6438	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
7		thlle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐼)
8		pleid 16408	. . . . 5 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
9		10re 11841	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℝ
10		1nn0 11637	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		0nn0 11636	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		1nn 11364	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
13		0lt1 10875	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
14	10, 11, 12, 13	declt 11851	. . . . . . 7 ⊢ ;10 < ;11
15	9, 14	ltneii 10470	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ ;11
16		plendx 16407	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) = ;10
17		ocndx 16414	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
18	16, 17	neeq12i 3066	. . . . . 6 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;11)
19	15, 18	mpbir 223	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
20	8, 19	setsnid 16279	. . . 4 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
21	7, 20	eqtri 2850	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
22	6, 21	syl6reqr 2881	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
23	8	str0 16275	. . 3 ⊢ ∅ = (le‘∅)
24	2	fvexi 6448	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ V
25	3	ipolerval 17510	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼)
27	7, 26	eqtr4i 2853	. . . 4 ⊢ ≤ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}
28		opabn0 5233	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥∃𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦))
29		vex 3418	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
30		vex 3418	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
31	29, 30	prss 4570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶)
32		elfvex 6468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
33	32, 2	eleq2s 2925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑊 ∈ V)
34	33	ad2antrr 719	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
35	31, 34	sylanbr 579	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
36	35	exlimivv 2033	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥∃𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
37	28, 36	sylbi 209	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V)
38	37	necon1bi 3028	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = ∅)
39	27, 38	syl5eq 2874	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ≤ = ∅)
40		fvprc 6427	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
41	1, 40	syl5eq 2874	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
42	41	fveq2d 6438	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘∅))
43	23, 39, 42	3eqtr4a 2888	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
44	22, 43	pm2.61i 177	1 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 386   = wceq 1658  ∃wex 1880   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  Vcvv 3415   ⊆ wss 3799  ∅c0 4145  {cpr 4400  ⟨cop 4404  {copab 4936  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  0cc0 10253  1c1 10254  ;cdc 11822  ndxcnx 16220   sSet csts 16221  lecple 16313  occoc 16314  toInccipo 17505  ocvcocv 20368  ClSubSpccss 20369  toHLcthl 20370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ocomp 16327  df-ipo 17506  df-thl 20373

This theorem is referenced by:  thlleval  20406