MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thlle 21629
Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 11-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k 𝐾 = (toHLβ€˜π‘Š)
thlbas.c 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
thlle.i 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
thlle.l ≀ = (leβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
thlle ≀ = (leβ€˜πΎ)

Proof of Theorem thlle
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thlle.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΌ)
2 pleid 17347 . . . . 5 le = Slot (leβ€˜ndx)
3 plendxnocndx 17364 . . . . 5 (leβ€˜ndx) β‰  (ocβ€˜ndx)
42, 3setsnid 17177 . . . 4 (leβ€˜πΌ) = (leβ€˜(𝐼 sSet ⟨(ocβ€˜ndx), (ocvβ€˜π‘Š)⟩))
51, 4eqtri 2756 . . 3 ≀ = (leβ€˜(𝐼 sSet ⟨(ocβ€˜ndx), (ocvβ€˜π‘Š)⟩))
6 thlval.k . . . . 5 𝐾 = (toHLβ€˜π‘Š)
7 thlbas.c . . . . 5 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
8 thlle.i . . . . 5 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
9 eqid 2728 . . . . 5 (ocvβ€˜π‘Š) = (ocvβ€˜π‘Š)
106, 7, 8, 9thlval 21626 . . . 4 (π‘Š ∈ V β†’ 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(ocβ€˜ndx), (ocvβ€˜π‘Š)⟩))
1110fveq2d 6901 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐼 sSet ⟨(ocβ€˜ndx), (ocvβ€˜π‘Š)⟩)))
125, 11eqtr4id 2787 . 2 (π‘Š ∈ V β†’ ≀ = (leβ€˜πΎ))
132str0 17157 . . 3 βˆ… = (leβ€˜βˆ…)
147fvexi 6911 . . . . . 6 𝐢 ∈ V
158ipolerval 18523 . . . . . 6 (𝐢 ∈ V β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = (leβ€˜πΌ))
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = (leβ€˜πΌ)
171, 16eqtr4i 2759 . . . 4 ≀ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)}
18 opabn0 5555 . . . . . 6 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦))
19 vex 3475 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
20 vex 3475 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
2119, 20prss 4824 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ↔ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢)
22 elfvex 6935 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (ClSubSpβ€˜π‘Š) β†’ π‘Š ∈ V)
2322, 7eleq2s 2847 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ π‘Š ∈ V)
2423ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ π‘Š ∈ V)
2521, 24sylanbr 581 . . . . . . 7 (({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ π‘Š ∈ V)
2625exlimivv 1928 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ π‘Š ∈ V)
2718, 26sylbi 216 . . . . 5 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} β‰  βˆ… β†’ π‘Š ∈ V)
2827necon1bi 2966 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = βˆ…)
2917, 28eqtrid 2780 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ≀ = βˆ…)
30 fvprc 6889 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (toHLβ€˜π‘Š) = βˆ…)
316, 30eqtrid 2780 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐾 = βˆ…)
3231fveq2d 6901 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜βˆ…))
3313, 29, 323eqtr4a 2794 . 2 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ≀ = (leβ€˜πΎ))
3412, 33pm2.61i 182 1 ≀ = (leβ€˜πΎ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635  {copab 5210  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   sSet csts 17131  ndxcnx 17161  lecple 17239  occoc 17240  toInccipo 18518  ocvcocv 21591  ClSubSpccss 21592  toHLcthl 21593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ocomp 17253  df-ipo 18519  df-thl 21596
This theorem is referenced by:  thlleval  21631
  Copyright terms: Public domain W3C validator