Theorem thlle 21613

Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 11-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
thlle.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
thlle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
thlle	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Proof of Theorem thlle

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thlle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐼)
2		pleid 17337	. . . . 5 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
3		plendxnocndx 17354	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
4	2, 3	setsnid 17185	. . . 4 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
5	1, 4	eqtri 2753	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
6		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
7		thlbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
8		thlle.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
9		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
10	6, 7, 8, 9	thlval 21611	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
11	10	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
12	5, 11	eqtr4id 2784	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
13	2	str0 17166	. . 3 ⊢ ∅ = (le‘∅)
14	7	fvexi 6875	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ V
15	8	ipolerval 18498	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼)
17	1, 16	eqtr4i 2756	. . . 4 ⊢ ≤ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}
18		opabn0 5516	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥∃𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦))
19		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
21	19, 20	prss 4787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶)
22		elfvex 6899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
23	22, 7	eleq2s 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑊 ∈ V)
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
25	21, 24	sylanbr 582	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
26	25	exlimivv 1932	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥∃𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
27	18, 26	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V)
28	27	necon1bi 2954	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = ∅)
29	17, 28	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ≤ = ∅)
30		fvprc 6853	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
31	6, 30	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
32	31	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘∅))
33	13, 29, 32	3eqtr4a 2791	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
34	12, 33	pm2.61i 182	1 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {cpr 4594  ⟨cop 4598  {copab 5172  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   sSet csts 17140  ndxcnx 17170  lecple 17234  occoc 17235  toInccipo 18493  ocvcocv 21576  ClSubSpccss 21577  toHLcthl 21578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ocomp 17248  df-ipo 18494  df-thl 21581

This theorem is referenced by:  thlleval  21614