Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thlle 20405
 Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
thlle.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
thlle.l = (le‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
thlle = (le‘𝐾)

Proof of Theorem thlle
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5 𝐾 = (toHL‘𝑊)
2 thlbas.c . . . . 5 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3 thlle.i . . . . 5 𝐼 = (toInc‘𝐶)
4 eqid 2826 . . . . 5 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
51, 2, 3, 4thlval 20403 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
65fveq2d 6438 . . 3 (𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
7 thlle.l . . . 4 = (le‘𝐼)
8 pleid 16408 . . . . 5 le = Slot (le‘ndx)
9 10re 11841 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
10 1nn0 11637 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
11 0nn0 11636 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
12 1nn 11364 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
13 0lt1 10875 . . . . . . . 8 0 < 1
1410, 11, 12, 13declt 11851 . . . . . . 7 10 < 11
159, 14ltneii 10470 . . . . . 6 10 ≠ 11
16 plendx 16407 . . . . . . 7 (le‘ndx) = 10
17 ocndx 16414 . . . . . . 7 (oc‘ndx) = 11
1816, 17neeq12i 3066 . . . . . 6 ((le‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ 10 ≠ 11)
1915, 18mpbir 223 . . . . 5 (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
208, 19setsnid 16279 . . . 4 (le‘𝐼) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
217, 20eqtri 2850 . . 3 = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
226, 21syl6reqr 2881 . 2 (𝑊 ∈ V → = (le‘𝐾))
238str0 16275 . . 3 ∅ = (le‘∅)
242fvexi 6448 . . . . . 6 𝐶 ∈ V
253ipolerval 17510 . . . . . 6 (𝐶 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = (le‘𝐼))
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = (le‘𝐼)
277, 26eqtr4i 2853 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)}
28 opabn0 5233 . . . . . 6 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦))
29 vex 3418 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
30 vex 3418 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
3129, 30prss 4570 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐶𝑦𝐶) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶)
32 elfvex 6468 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
3332, 2eleq2s 2925 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐶𝑊 ∈ V)
3433ad2antrr 719 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐶𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
3531, 34sylanbr 579 . . . . . . 7 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
3635exlimivv 2033 . . . . . 6 (∃𝑥𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
3728, 36sylbi 209 . . . . 5 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V)
3837necon1bi 3028 . . . 4 𝑊 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = ∅)
3927, 38syl5eq 2874 . . 3 𝑊 ∈ V → = ∅)
40 fvprc 6427 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
411, 40syl5eq 2874 . . . 4 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
4241fveq2d 6438 . . 3 𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘∅))
4323, 39, 423eqtr4a 2888 . 2 𝑊 ∈ V → = (le‘𝐾))
4422, 43pm2.61i 177 1 = (le‘𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 386   = wceq 1658  ∃wex 1880   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  Vcvv 3415   ⊆ wss 3799  ∅c0 4145  {cpr 4400  ⟨cop 4404  {copab 4936  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  0cc0 10253  1c1 10254  ;cdc 11822  ndxcnx 16220   sSet csts 16221  lecple 16313  occoc 16314  toInccipo 17505  ocvcocv 20368  ClSubSpccss 20369  toHLcthl 20370 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ocomp 16327  df-ipo 17506  df-thl 20373 This theorem is referenced by:  thlleval  20406
 Copyright terms: Public domain W3C validator