MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thlle 21580
Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 11-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k 𝐾 = (toHLβ€˜π‘Š)
thlbas.c 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
thlle.i 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
thlle.l ≀ = (leβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
thlle ≀ = (leβ€˜πΎ)

Proof of Theorem thlle
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thlle.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΌ)
2 pleid 17317 . . . . 5 le = Slot (leβ€˜ndx)
3 plendxnocndx 17334 . . . . 5 (leβ€˜ndx) β‰  (ocβ€˜ndx)
42, 3setsnid 17147 . . . 4 (leβ€˜πΌ) = (leβ€˜(𝐼 sSet ⟨(ocβ€˜ndx), (ocvβ€˜π‘Š)⟩))
51, 4eqtri 2752 . . 3 ≀ = (leβ€˜(𝐼 sSet ⟨(ocβ€˜ndx), (ocvβ€˜π‘Š)⟩))
6 thlval.k . . . . 5 𝐾 = (toHLβ€˜π‘Š)
7 thlbas.c . . . . 5 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
8 thlle.i . . . . 5 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
9 eqid 2724 . . . . 5 (ocvβ€˜π‘Š) = (ocvβ€˜π‘Š)
106, 7, 8, 9thlval 21577 . . . 4 (π‘Š ∈ V β†’ 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(ocβ€˜ndx), (ocvβ€˜π‘Š)⟩))
1110fveq2d 6886 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐼 sSet ⟨(ocβ€˜ndx), (ocvβ€˜π‘Š)⟩)))
125, 11eqtr4id 2783 . 2 (π‘Š ∈ V β†’ ≀ = (leβ€˜πΎ))
132str0 17127 . . 3 βˆ… = (leβ€˜βˆ…)
147fvexi 6896 . . . . . 6 𝐢 ∈ V
158ipolerval 18493 . . . . . 6 (𝐢 ∈ V β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = (leβ€˜πΌ))
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = (leβ€˜πΌ)
171, 16eqtr4i 2755 . . . 4 ≀ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)}
18 opabn0 5544 . . . . . 6 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦))
19 vex 3470 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
20 vex 3470 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
2119, 20prss 4816 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ↔ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢)
22 elfvex 6920 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (ClSubSpβ€˜π‘Š) β†’ π‘Š ∈ V)
2322, 7eleq2s 2843 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ π‘Š ∈ V)
2423ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ π‘Š ∈ V)
2521, 24sylanbr 581 . . . . . . 7 (({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ π‘Š ∈ V)
2625exlimivv 1927 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ π‘Š ∈ V)
2718, 26sylbi 216 . . . . 5 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} β‰  βˆ… β†’ π‘Š ∈ V)
2827necon1bi 2961 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = βˆ…)
2917, 28eqtrid 2776 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ≀ = βˆ…)
30 fvprc 6874 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (toHLβ€˜π‘Š) = βˆ…)
316, 30eqtrid 2776 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐾 = βˆ…)
3231fveq2d 6886 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜βˆ…))
3313, 29, 323eqtr4a 2790 . 2 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ≀ = (leβ€˜πΎ))
3412, 33pm2.61i 182 1 ≀ = (leβ€˜πΎ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  {cpr 4623  βŸ¨cop 4627  {copab 5201  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   sSet csts 17101  ndxcnx 17131  lecple 17209  occoc 17210  toInccipo 18488  ocvcocv 21542  ClSubSpccss 21543  toHLcthl 21544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ocomp 17223  df-ipo 18489  df-thl 21547
This theorem is referenced by:  thlleval  21582
  Copyright terms: Public domain W3C validator