MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thlle 21118
Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 11-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k 𝐾 = (toHLβ€˜π‘Š)
thlbas.c 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
thlle.i 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
thlle.l ≀ = (leβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
thlle ≀ = (leβ€˜πΎ)

Proof of Theorem thlle
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thlle.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΌ)
2 pleid 17253 . . . . 5 le = Slot (leβ€˜ndx)
3 plendxnocndx 17270 . . . . 5 (leβ€˜ndx) β‰  (ocβ€˜ndx)
42, 3setsnid 17086 . . . 4 (leβ€˜πΌ) = (leβ€˜(𝐼 sSet ⟨(ocβ€˜ndx), (ocvβ€˜π‘Š)⟩))
51, 4eqtri 2761 . . 3 ≀ = (leβ€˜(𝐼 sSet ⟨(ocβ€˜ndx), (ocvβ€˜π‘Š)⟩))
6 thlval.k . . . . 5 𝐾 = (toHLβ€˜π‘Š)
7 thlbas.c . . . . 5 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
8 thlle.i . . . . 5 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
9 eqid 2733 . . . . 5 (ocvβ€˜π‘Š) = (ocvβ€˜π‘Š)
106, 7, 8, 9thlval 21115 . . . 4 (π‘Š ∈ V β†’ 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(ocβ€˜ndx), (ocvβ€˜π‘Š)⟩))
1110fveq2d 6847 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐼 sSet ⟨(ocβ€˜ndx), (ocvβ€˜π‘Š)⟩)))
125, 11eqtr4id 2792 . 2 (π‘Š ∈ V β†’ ≀ = (leβ€˜πΎ))
132str0 17066 . . 3 βˆ… = (leβ€˜βˆ…)
147fvexi 6857 . . . . . 6 𝐢 ∈ V
158ipolerval 18426 . . . . . 6 (𝐢 ∈ V β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = (leβ€˜πΌ))
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = (leβ€˜πΌ)
171, 16eqtr4i 2764 . . . 4 ≀ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)}
18 opabn0 5511 . . . . . 6 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦))
19 vex 3448 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
20 vex 3448 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
2119, 20prss 4781 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ↔ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢)
22 elfvex 6881 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (ClSubSpβ€˜π‘Š) β†’ π‘Š ∈ V)
2322, 7eleq2s 2852 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐢 β†’ π‘Š ∈ V)
2423ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ π‘Š ∈ V)
2521, 24sylanbr 583 . . . . . . 7 (({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ π‘Š ∈ V)
2625exlimivv 1936 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ π‘Š ∈ V)
2718, 26sylbi 216 . . . . 5 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} β‰  βˆ… β†’ π‘Š ∈ V)
2827necon1bi 2969 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = βˆ…)
2917, 28eqtrid 2785 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ≀ = βˆ…)
30 fvprc 6835 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (toHLβ€˜π‘Š) = βˆ…)
316, 30eqtrid 2785 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐾 = βˆ…)
3231fveq2d 6847 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜βˆ…))
3313, 29, 323eqtr4a 2799 . 2 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ≀ = (leβ€˜πΎ))
3412, 33pm2.61i 182 1 ≀ = (leβ€˜πΎ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593  {copab 5168  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   sSet csts 17040  ndxcnx 17070  lecple 17145  occoc 17146  toInccipo 18421  ocvcocv 21080  ClSubSpccss 21081  toHLcthl 21082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ocomp 17159  df-ipo 18422  df-thl 21085
This theorem is referenced by:  thlleval  21120
  Copyright terms: Public domain W3C validator