Theorem thlle 21746

Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 11-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
thlle.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
thlle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
thlle	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Proof of Theorem thlle

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thlle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐼)
2		pleid 17396	. . . . 5 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
3		plendxnocndx 17413	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
4	2, 3	setsnid 17244	. . . 4 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
5	1, 4	eqtri 2785	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
6		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
7		thlbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
8		thlle.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
9		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
10	6, 7, 8, 9	thlval 21744	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
11	10	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
12	5, 11	eqtr4id 2816	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
13	2	str0 17225	. . 3 ⊢ ∅ = (le‘∅)
14	7	fvexi 6881	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ V
15	8	ipolerval 18564	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼)
17	1, 16	eqtr4i 2788	. . . 4 ⊢ ≤ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}
18		opabn0 5524	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥∃𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦))
19		vex 3458	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		vex 3458	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
21	19, 20	prss 4778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶)
22		elfvex 6902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
23	22, 7	eleq2s 2880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑊 ∈ V)
24	23	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
25	21, 24	sylanbr 591	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
26	25	exlimivv 1952	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥∃𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
27	18, 26	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V)
28	27	necon1bi 2985	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = ∅)
29	17, 28	eqtrid 2809	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ≤ = ∅)
30		fvprc 6859	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
31	6, 30	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
32	31	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘∅))
33	13, 29, 32	3eqtr4a 2823	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
34	12, 33	pm2.61i 183	1 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {cpr 4584  ⟨cop 4588  {copab 5162  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   sSet csts 17199  ndxcnx 17229  lecple 17293  occoc 17294  toInccipo 18559  ocvcocv 21709  ClSubSpccss 21710  toHLcthl 21711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ocomp 17307  df-ipo 18560  df-thl 21714

This theorem is referenced by:  thlleval  21747