Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | prdsbas.p |
. . 3
β’ π = (πXsπ
) |
2 | | eqid 2733 |
. . 3
β’
(Baseβπ) =
(Baseβπ) |
3 | | prdsbas.i |
. . 3
β’ (π β dom π
= πΌ) |
4 | | prdsbas.s |
. . . 4
β’ (π β π β π) |
5 | | prdsbas.r |
. . . 4
β’ (π β π
β π) |
6 | | prdsbas.b |
. . . 4
β’ π΅ = (Baseβπ) |
7 | 1, 4, 5, 6, 3 | prdsbas 17344 |
. . 3
β’ (π β π΅ = Xπ₯ β πΌ (Baseβ(π
βπ₯))) |
8 | | eqid 2733 |
. . . 4
β’
(+gβπ) = (+gβπ) |
9 | 1, 4, 5, 6, 3, 8 | prdsplusg 17345 |
. . 3
β’ (π β (+gβπ) = (π β π΅, π β π΅ β¦ (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(+gβ(π
βπ₯))(πβπ₯))))) |
10 | | eqid 2733 |
. . . 4
β’
(.rβπ) = (.rβπ) |
11 | 1, 4, 5, 6, 3, 10 | prdsmulr 17346 |
. . 3
β’ (π β (.rβπ) = (π β π΅, π β π΅ β¦ (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(.rβ(π
βπ₯))(πβπ₯))))) |
12 | | eqid 2733 |
. . . 4
β’ (
Β·π βπ) = ( Β·π
βπ) |
13 | 1, 4, 5, 6, 3, 2, 12 | prdsvsca 17347 |
. . 3
β’ (π β (
Β·π βπ) = (π β (Baseβπ), π β π΅ β¦ (π₯ β πΌ β¦ (π( Β·π
β(π
βπ₯))(πβπ₯))))) |
14 | | eqidd 2734 |
. . 3
β’ (π β (π β π΅, π β π΅ β¦ (π Ξ£g (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(Β·πβ(π
βπ₯))(πβπ₯))))) = (π β π΅, π β π΅ β¦ (π Ξ£g (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(Β·πβ(π
βπ₯))(πβπ₯)))))) |
15 | | eqidd 2734 |
. . 3
β’ (π β
(βtβ(TopOpen β π
)) = (βtβ(TopOpen
β π
))) |
16 | | eqidd 2734 |
. . 3
β’ (π β {β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))} = {β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))}) |
17 | | eqidd 2734 |
. . 3
β’ (π β (π β π΅, π β π΅ β¦ sup((ran (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(distβ(π
βπ₯))(πβπ₯))) βͺ {0}), β*, < ))
= (π β π΅, π β π΅ β¦ sup((ran (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(distβ(π
βπ₯))(πβπ₯))) βͺ {0}), β*, <
))) |
18 | | eqidd 2734 |
. . 3
β’ (π β (π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯))) = (π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))) |
19 | | eqidd 2734 |
. . 3
β’ (π β (π β (π΅ Γ π΅), π β π΅ β¦ (π β ((2nd βπ)(π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))π), π β ((π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))βπ) β¦ (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(β¨((1st βπ)βπ₯), ((2nd βπ)βπ₯)β©(compβ(π
βπ₯))(πβπ₯))(πβπ₯))))) = (π β (π΅ Γ π΅), π β π΅ β¦ (π β ((2nd βπ)(π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))π), π β ((π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))βπ) β¦ (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(β¨((1st βπ)βπ₯), ((2nd βπ)βπ₯)β©(compβ(π
βπ₯))(πβπ₯))(πβπ₯)))))) |
20 | 1, 2, 3, 7, 9, 11,
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 4, 5 | prdsval 17342 |
. 2
β’ (π β π = (({β¨(Baseβndx), π΅β©,
β¨(+gβndx), (+gβπ)β©, β¨(.rβndx),
(.rβπ)β©} βͺ {β¨(Scalarβndx),
πβ©, β¨(
Β·π βndx), (
Β·π βπ)β©,
β¨(Β·πβndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ (π Ξ£g (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(Β·πβ(π
βπ₯))(πβπ₯)))))β©}) βͺ ({β¨(TopSetβndx),
(βtβ(TopOpen β π
))β©, β¨(leβndx), {β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))}β©, β¨(distβndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ sup((ran (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(distβ(π
βπ₯))(πβπ₯))) βͺ {0}), β*, <
))β©} βͺ {β¨(Hom βndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))β©, β¨(compβndx), (π β (π΅ Γ π΅), π β π΅ β¦ (π β ((2nd βπ)(π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))π), π β ((π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))βπ) β¦ (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(β¨((1st βπ)βπ₯), ((2nd βπ)βπ₯)β©(compβ(π
βπ₯))(πβπ₯))(πβπ₯)))))β©}))) |
21 | | prdsle.l |
. 2
β’ β€ =
(leβπ) |
22 | | pleid 17253 |
. 2
β’ le = Slot
(leβndx) |
23 | 6 | fvexi 6857 |
. . . . 5
β’ π΅ β V |
24 | 23, 23 | xpex 7688 |
. . . 4
β’ (π΅ Γ π΅) β V |
25 | | vex 3448 |
. . . . . . . 8
β’ π β V |
26 | | vex 3448 |
. . . . . . . 8
β’ π β V |
27 | 25, 26 | prss 4781 |
. . . . . . 7
β’ ((π β π΅ β§ π β π΅) β {π, π} β π΅) |
28 | 27 | anbi1i 625 |
. . . . . 6
β’ (((π β π΅ β§ π β π΅) β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯)) β ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))) |
29 | 28 | opabbii 5173 |
. . . . 5
β’
{β¨π, πβ© β£ ((π β π΅ β§ π β π΅) β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))} = {β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))} |
30 | | opabssxp 5725 |
. . . . 5
β’
{β¨π, πβ© β£ ((π β π΅ β§ π β π΅) β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))} β (π΅ Γ π΅) |
31 | 29, 30 | eqsstrri 3980 |
. . . 4
β’
{β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))} β (π΅ Γ π΅) |
32 | 24, 31 | ssexi 5280 |
. . 3
β’
{β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))} β V |
33 | 32 | a1i 11 |
. 2
β’ (π β {β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))} β V) |
34 | | snsstp2 4778 |
. . . 4
β’
{β¨(leβndx), {β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))}β©} β {β¨(TopSetβndx),
(βtβ(TopOpen β π
))β©, β¨(leβndx), {β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))}β©, β¨(distβndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ sup((ran (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(distβ(π
βπ₯))(πβπ₯))) βͺ {0}), β*, <
))β©} |
35 | | ssun1 4133 |
. . . 4
β’
{β¨(TopSetβndx), (βtβ(TopOpen β
π
))β©,
β¨(leβndx), {β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))}β©, β¨(distβndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ sup((ran (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(distβ(π
βπ₯))(πβπ₯))) βͺ {0}), β*, <
))β©} β ({β¨(TopSetβndx),
(βtβ(TopOpen β π
))β©, β¨(leβndx), {β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))}β©, β¨(distβndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ sup((ran (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(distβ(π
βπ₯))(πβπ₯))) βͺ {0}), β*, <
))β©} βͺ {β¨(Hom βndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))β©, β¨(compβndx), (π β (π΅ Γ π΅), π β π΅ β¦ (π β ((2nd βπ)(π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))π), π β ((π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))βπ) β¦ (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(β¨((1st βπ)βπ₯), ((2nd βπ)βπ₯)β©(compβ(π
βπ₯))(πβπ₯))(πβπ₯)))))β©}) |
36 | 34, 35 | sstri 3954 |
. . 3
β’
{β¨(leβndx), {β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))}β©} β
({β¨(TopSetβndx), (βtβ(TopOpen β π
))β©, β¨(leβndx),
{β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))}β©, β¨(distβndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ sup((ran (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(distβ(π
βπ₯))(πβπ₯))) βͺ {0}), β*, <
))β©} βͺ {β¨(Hom βndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))β©, β¨(compβndx), (π β (π΅ Γ π΅), π β π΅ β¦ (π β ((2nd βπ)(π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))π), π β ((π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))βπ) β¦ (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(β¨((1st βπ)βπ₯), ((2nd βπ)βπ₯)β©(compβ(π
βπ₯))(πβπ₯))(πβπ₯)))))β©}) |
37 | | ssun2 4134 |
. . 3
β’
({β¨(TopSetβndx), (βtβ(TopOpen β
π
))β©,
β¨(leβndx), {β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))}β©, β¨(distβndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ sup((ran (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(distβ(π
βπ₯))(πβπ₯))) βͺ {0}), β*, <
))β©} βͺ {β¨(Hom βndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))β©, β¨(compβndx), (π β (π΅ Γ π΅), π β π΅ β¦ (π β ((2nd βπ)(π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))π), π β ((π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))βπ) β¦ (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(β¨((1st βπ)βπ₯), ((2nd βπ)βπ₯)β©(compβ(π
βπ₯))(πβπ₯))(πβπ₯)))))β©}) β
(({β¨(Baseβndx), π΅β©, β¨(+gβndx),
(+gβπ)β©, β¨(.rβndx),
(.rβπ)β©} βͺ {β¨(Scalarβndx),
πβ©, β¨(
Β·π βndx), (
Β·π βπ)β©,
β¨(Β·πβndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ (π Ξ£g (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(Β·πβ(π
βπ₯))(πβπ₯)))))β©}) βͺ ({β¨(TopSetβndx),
(βtβ(TopOpen β π
))β©, β¨(leβndx), {β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))}β©, β¨(distβndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ sup((ran (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(distβ(π
βπ₯))(πβπ₯))) βͺ {0}), β*, <
))β©} βͺ {β¨(Hom βndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))β©, β¨(compβndx), (π β (π΅ Γ π΅), π β π΅ β¦ (π β ((2nd βπ)(π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))π), π β ((π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))βπ) β¦ (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(β¨((1st βπ)βπ₯), ((2nd βπ)βπ₯)β©(compβ(π
βπ₯))(πβπ₯))(πβπ₯)))))β©})) |
38 | 36, 37 | sstri 3954 |
. 2
β’
{β¨(leβndx), {β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))}β©} β (({β¨(Baseβndx),
π΅β©,
β¨(+gβndx), (+gβπ)β©, β¨(.rβndx),
(.rβπ)β©} βͺ {β¨(Scalarβndx),
πβ©, β¨(
Β·π βndx), (
Β·π βπ)β©,
β¨(Β·πβndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ (π Ξ£g (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(Β·πβ(π
βπ₯))(πβπ₯)))))β©}) βͺ ({β¨(TopSetβndx),
(βtβ(TopOpen β π
))β©, β¨(leβndx), {β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))}β©, β¨(distβndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ sup((ran (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(distβ(π
βπ₯))(πβπ₯))) βͺ {0}), β*, <
))β©} βͺ {β¨(Hom βndx), (π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))β©, β¨(compβndx), (π β (π΅ Γ π΅), π β π΅ β¦ (π β ((2nd βπ)(π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))π), π β ((π β π΅, π β π΅ β¦ Xπ₯ β πΌ ((πβπ₯)(Hom β(π
βπ₯))(πβπ₯)))βπ) β¦ (π₯ β πΌ β¦ ((πβπ₯)(β¨((1st βπ)βπ₯), ((2nd βπ)βπ₯)β©(compβ(π
βπ₯))(πβπ₯))(πβπ₯)))))β©})) |
39 | 20, 21, 22, 33, 38 | prdsbaslem 17340 |
1
β’ (π β β€ = {β¨π, πβ© β£ ({π, π} β π΅ β§ βπ₯ β πΌ (πβπ₯)(leβ(π
βπ₯))(πβπ₯))}) |