MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrtoslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrtoslem1 20240
Description: Lemma for opsrtos 20242. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i (𝜑𝐼𝑉)
opsrso.r (𝜑𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w (𝜑𝑇 We 𝐼)
opsrtoslem.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrtoslem.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
opsrtoslem.q < = (lt‘𝑅)
opsrtoslem.c 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
opsrtoslem.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
opsrtoslem.ps (𝜓 ↔ ∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
opsrtoslem.l = (le‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
opsrtoslem1 (𝜑 = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐶   𝑤,,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, < ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   𝐵(𝑧,𝑤,)   𝐶()   𝐷()   𝑅()   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   < ()   𝑇()   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)

Proof of Theorem opsrtoslem1
StepHypRef Expression
1 opsrtoslem.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrso.o . . 3 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
3 opsrtoslem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
4 opsrtoslem.q . . 3 < = (lt‘𝑅)
5 opsrtoslem.c . . 3 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
6 opsrtoslem.d . . 3 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 opsrtoslem.l . . 3 = (le‘𝑂)
8 opsrso.t . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8opsrle 20232 . 2 (𝜑 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))})
10 unopab 5121 . . 3 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓)} ∪ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦)}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦))}
11 inopab 5677 . . . . 5 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵𝑦𝐵)}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝜓 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵))}
12 df-xp 5537 . . . . . 6 (𝐵 × 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵𝑦𝐵)}
1312ineq2i 4164 . . . . 5 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵𝑦𝐵)})
14 vex 3476 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
15 vex 3476 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
1614, 15prss 4729 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
1716anbi1i 625 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝜓) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓))
18 ancom 463 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝜓) ↔ (𝜓 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
1917, 18bitr3i 279 . . . . . 6 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓) ↔ (𝜓 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
2019opabbii 5109 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝜓 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵))}
2111, 13, 203eqtr4i 2853 . . . 4 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓)}
22 opabresid 5893 . . . . 5 ( I ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵𝑦 = 𝑥)}
23 equcom 2025 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑥)
2423anbi2i 624 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥𝐵𝑦 = 𝑥))
25 eleq1w 2893 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
2625biimpac 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵𝑥 = 𝑦) → 𝑦𝐵)
2726pm4.71i 562 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑥𝐵𝑥 = 𝑦) ∧ 𝑦𝐵))
2824, 27bitr3i 279 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥𝐵𝑥 = 𝑦) ∧ 𝑦𝐵))
29 an32 644 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝑥 = 𝑦) ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦))
3016anbi1i 625 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦))
3128, 29, 303bitri 299 . . . . . 6 ((𝑥𝐵𝑦 = 𝑥) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦))
3231opabbii 5109 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵𝑦 = 𝑥)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦)}
3322, 32eqtri 2843 . . . 4 ( I ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦)}
3421, 33uneq12i 4116 . . 3 (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓)} ∪ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦)})
35 opsrtoslem.ps . . . . . . 7 (𝜓 ↔ ∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
3635orbi1i 910 . . . . . 6 ((𝜓𝑥 = 𝑦) ↔ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))
3736anbi2i 624 . . . . 5 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (𝜓𝑥 = 𝑦)) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦)))
38 andi 1004 . . . . 5 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (𝜓𝑥 = 𝑦)) ↔ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦)))
3937, 38bitr3i 279 . . . 4 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦)) ↔ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦)))
4039opabbii 5109 . . 3 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦))}
4110, 34, 403eqtr4ri 2854 . 2 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵))
429, 41syl6eq 2871 1 (𝜑 = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  wrex 3126  {crab 3129  cun 3911  cin 3912  wss 3913  {cpr 4545   class class class wbr 5042  {copab 5104   I cid 5435   We wwe 5489   × cxp 5529  ccnv 5530  cres 5533  cima 5534  cfv 6331  (class class class)co 7133  m cmap 8384  Fincfn 8487  cn 11616  0cn0 11876  Basecbs 16462  lecple 16551  ltcplt 17530  Tosetctos 17622   mPwSer cmps 20107   <bag cltb 20110   ordPwSer copws 20111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-ltxr 10658  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-dec 12078  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ple 16564  df-psr 20112  df-opsr 20116
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  20241
  Copyright terms: Public domain W3C validator