Theorem opsrtoslem1 22364

Description: Lemma for opsrtos 22366. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrso.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
opsrtoslem.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrtoslem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
opsrtoslem.q	⊢ < = (lt‘𝑅)
opsrtoslem.c	⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
opsrtoslem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
opsrtoslem.ps	⊢ (𝜓 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
opsrtoslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opsrtoslem1	⊢ (𝜑 → ≤ = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐶   𝑤,ℎ,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,ℎ,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, < ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, ℎ)   𝐵(𝑧, 𝑤, ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, ℎ)   < (ℎ)   𝑇(ℎ)   ≤ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, ℎ)   𝑂(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, ℎ)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, ℎ)

Proof of Theorem opsrtoslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrtoslem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		opsrso.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
3		opsrtoslem.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		opsrtoslem.q	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝑅)
5		opsrtoslem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
6		opsrtoslem.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		opsrtoslem.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑂)
8		opsrso.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	opsrle 22356	. 2 ⊢ (𝜑 → ≤ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))})
10		unopab 5184	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓)} ∪ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦))}
11		inopab 5806	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝜓 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))}
12		df-xp 5656	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 × 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)}
13	12	ineq2i 4114	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)})
14		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
15		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
16	14, 15	prss 4780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
17	16	anbi1i 636	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓))
18		ancom 466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓) ↔ (𝜓 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
19	17, 18	bitr3i 280	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓) ↔ (𝜓 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
20	19	opabbii 5171	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝜓 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))}
21	11, 13, 20	3eqtr4i 2793	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓)}
22		opabresid 6041	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)}
23		equcom 2050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
24	23	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥))
25		eleq1w 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
26	25	biimpac 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27	26	pm4.71i 569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
28	24, 27	bitr3i 280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
29		an32 659	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦))
30	16	anbi1i 636	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦))
31	28, 29, 30	3bitri 300	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦))
32	31	opabbii 5171	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)}
33	22, 32	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)}
34	21, 33	uneq12i 4165	. . 3 ⊢ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓)} ∪ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)})
35		opsrtoslem.ps	. . . . . . 7 ⊢ (𝜓 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
36	35	orbi1i 927	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∨ 𝑥 = 𝑦) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))
37	36	anbi2i 635	. . . . 5 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (𝜓 ∨ 𝑥 = 𝑦)) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦)))
38		andi 1025	. . . . 5 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (𝜓 ∨ 𝑥 = 𝑦)) ↔ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)))
39	37, 38	bitr3i 280	. . . 4 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦)) ↔ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)))
40	39	opabbii 5171	. . 3 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦))}
41	10, 34, 40	3eqtr4ri 2794	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵))
42	9, 41	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝜑 → ≤ = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  {cpr 4585   class class class wbr 5102  {copab 5166   I cid 5544   We wwe 5602   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649   ↾ cres 5652   “ cima 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  lecple 17435  ltcplt 18482  Tosetctos 18588   mPwSer cmps 22212   <_bag cltb 22215   ordPwSer copws 22216

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-dec 12815  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ple 17448  df-psr 22217  df-opsr 22221

This theorem is used by:  opsrtoslem2  22365