Theorem opsrtoslem1 21996

Description: Lemma for opsrtos 21998. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrso.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
opsrtoslem.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrtoslem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
opsrtoslem.q	⊢ < = (lt‘𝑅)
opsrtoslem.c	⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
opsrtoslem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
opsrtoslem.ps	⊢ (𝜓 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
opsrtoslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opsrtoslem1	⊢ (𝜑 → ≤ = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐶   𝑤,ℎ,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,ℎ,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, < ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   𝐵(𝑧,𝑤,ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   < (ℎ)   𝑇(ℎ)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)

Proof of Theorem opsrtoslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrtoslem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		opsrso.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
3		opsrtoslem.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		opsrtoslem.q	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝑅)
5		opsrtoslem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
6		opsrtoslem.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		opsrtoslem.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑂)
8		opsrso.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	opsrle 21988	. 2 ⊢ (𝜑 → ≤ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))})
10		unopab 5173	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓)} ∪ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦))}
11		inopab 5774	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝜓 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))}
12		df-xp 5625	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 × 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)}
13	12	ineq2i 4166	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)})
14		vex 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
15		vex 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
16	14, 15	prss 4771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
17	16	anbi1i 624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓))
18		ancom 460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓) ↔ (𝜓 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
19	17, 18	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓) ↔ (𝜓 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
20	19	opabbii 5160	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝜓 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))}
21	11, 13, 20	3eqtr4i 2764	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓)}
22		opabresid 6004	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)}
23		equcom 2019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
24	23	anbi2i 623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥))
25		eleq1w 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
26	25	biimpac 478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27	26	pm4.71i 559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
28	24, 27	bitr3i 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
29		an32 646	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦))
30	16	anbi1i 624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦))
31	28, 29, 30	3bitri 297	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦))
32	31	opabbii 5160	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)}
33	22, 32	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)}
34	21, 33	uneq12i 4115	. . 3 ⊢ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓)} ∪ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)})
35		opsrtoslem.ps	. . . . . . 7 ⊢ (𝜓 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
36	35	orbi1i 913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∨ 𝑥 = 𝑦) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))
37	36	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (𝜓 ∨ 𝑥 = 𝑦)) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦)))
38		andi 1009	. . . . 5 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (𝜓 ∨ 𝑥 = 𝑦)) ↔ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)))
39	37, 38	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦)) ↔ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)))
40	39	opabbii 5160	. . 3 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦))}
41	10, 34, 40	3eqtr4ri 2765	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵))
42	9, 41	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝜑 → ≤ = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  {cpr 4577   class class class wbr 5093  {copab 5155   I cid 5513   We wwe 5571   × cxp 5617  ^◡ccnv 5618   ↾ cres 5621   “ cima 5622  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756  Fincfn 8875  ℕcn 12131  ℕ₀cn0 12387  Basecbs 17126  lecple 17174  ltcplt 18220  Tosetctos 18326   mPwSer cmps 21847   <_bag cltb 21850   ordPwSer copws 21851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-ltxr 11157  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-dec 12595  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ple 17187  df-psr 21852  df-opsr 21856

This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  21997