MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrtoslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrtoslem1 22006
Description: Lemma for opsrtos 22008. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i (𝜑𝐼𝑉)
opsrso.r (𝜑𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w (𝜑𝑇 We 𝐼)
opsrtoslem.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrtoslem.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
opsrtoslem.q < = (lt‘𝑅)
opsrtoslem.c 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
opsrtoslem.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
opsrtoslem.ps (𝜓 ↔ ∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
opsrtoslem.l = (le‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
opsrtoslem1 (𝜑 = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐶   𝑤,,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, < ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   𝐵(𝑧,𝑤,)   𝐶()   𝐷()   𝑅()   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   < ()   𝑇()   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)

Proof of Theorem opsrtoslem1
StepHypRef Expression
1 opsrtoslem.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrso.o . . 3 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
3 opsrtoslem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
4 opsrtoslem.q . . 3 < = (lt‘𝑅)
5 opsrtoslem.c . . 3 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
6 opsrtoslem.d . . 3 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 opsrtoslem.l . . 3 = (le‘𝑂)
8 opsrso.t . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8opsrle 21992 . 2 (𝜑 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))})
10 unopab 5234 . . 3 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓)} ∪ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦)}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦))}
11 inopab 5835 . . . . 5 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵𝑦𝐵)}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝜓 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵))}
12 df-xp 5688 . . . . . 6 (𝐵 × 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵𝑦𝐵)}
1312ineq2i 4211 . . . . 5 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵𝑦𝐵)})
14 vex 3477 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
15 vex 3477 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
1614, 15prss 4828 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
1716anbi1i 622 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝜓) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓))
18 ancom 459 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝜓) ↔ (𝜓 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
1917, 18bitr3i 276 . . . . . 6 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓) ↔ (𝜓 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
2019opabbii 5219 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝜓 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵))}
2111, 13, 203eqtr4i 2766 . . . 4 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓)}
22 opabresid 6058 . . . . 5 ( I ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵𝑦 = 𝑥)}
23 equcom 2013 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑥)
2423anbi2i 621 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥𝐵𝑦 = 𝑥))
25 eleq1w 2812 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
2625biimpac 477 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵𝑥 = 𝑦) → 𝑦𝐵)
2726pm4.71i 558 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑥𝐵𝑥 = 𝑦) ∧ 𝑦𝐵))
2824, 27bitr3i 276 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥𝐵𝑥 = 𝑦) ∧ 𝑦𝐵))
29 an32 644 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝑥 = 𝑦) ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦))
3016anbi1i 622 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦))
3128, 29, 303bitri 296 . . . . . 6 ((𝑥𝐵𝑦 = 𝑥) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦))
3231opabbii 5219 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵𝑦 = 𝑥)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦)}
3322, 32eqtri 2756 . . . 4 ( I ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦)}
3421, 33uneq12i 4162 . . 3 (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓)} ∪ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦)})
35 opsrtoslem.ps . . . . . . 7 (𝜓 ↔ ∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
3635orbi1i 911 . . . . . 6 ((𝜓𝑥 = 𝑦) ↔ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))
3736anbi2i 621 . . . . 5 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (𝜓𝑥 = 𝑦)) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦)))
38 andi 1005 . . . . 5 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (𝜓𝑥 = 𝑦)) ↔ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦)))
3937, 38bitr3i 276 . . . 4 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦)) ↔ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦)))
4039opabbii 5219 . . 3 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵𝑥 = 𝑦))}
4110, 34, 403eqtr4ri 2767 . 2 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵))
429, 41eqtrdi 2784 1 (𝜑 = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  wrex 3067  {crab 3430  cun 3947  cin 3948  wss 3949  {cpr 4634   class class class wbr 5152  {copab 5214   I cid 5579   We wwe 5636   × cxp 5680  ccnv 5681  cres 5684  cima 5685  cfv 6553  (class class class)co 7426  m cmap 8851  Fincfn 8970  cn 12250  0cn0 12510  Basecbs 17187  lecple 17247  ltcplt 18307  Tosetctos 18415   mPwSer cmps 21844   <bag cltb 21847   ordPwSer copws 21848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-dec 12716  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ple 17260  df-psr 21849  df-opsr 21853
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  22007
  Copyright terms: Public domain W3C validator