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Theorem 3wlkdlem6 28042
 Description: Lemma 6 for 3wlkd 28047. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
3wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
Assertion
Ref Expression
3wlkdlem6 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))

Proof of Theorem 3wlkdlem6
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 3wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 3wlkd.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
41, 2, 33wlkdlem3 28038 . . . 4 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5 3wlkd.e . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
6 preq12 4629 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
76sseq1d 3924 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽)))
87adantr 485 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽)))
9 preq12 4629 . . . . . . . 8 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
109ad2ant2lr 748 . . . . . . 7 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
1110sseq1d 3924 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
12 preq12 4629 . . . . . . . 8 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {𝐶, 𝐷})
1312sseq1d 3924 . . . . . . 7 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
1413adantl 486 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
158, 11, 143anbi123d 1434 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿))))
165, 15syl5ibrcom 250 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿))))
174, 16mpd 15 . . 3 (𝜑 → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿)))
18 fvex 6672 . . . . . 6 (𝑃‘0) ∈ V
19 fvex 6672 . . . . . 6 (𝑃‘1) ∈ V
2018, 19prss 4711 . . . . 5 (((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐽)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽))
21 simpl 487 . . . . 5 (((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐽)) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽))
2220, 21sylbir 238 . . . 4 ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽))
23 fvex 6672 . . . . . 6 (𝑃‘2) ∈ V
2419, 23prss 4711 . . . . 5 (((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐾)) ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾))
25 simpl 487 . . . . 5 (((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐾)) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾))
2624, 25sylbir 238 . . . 4 ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾))
27 fvex 6672 . . . . . 6 (𝑃‘3) ∈ V
2823, 27prss 4711 . . . . 5 (((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼𝐿)) ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿))
29 simpl 487 . . . . 5 (((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼𝐿)) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))
3028, 29sylbir 238 . . . 4 ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))
3122, 26, 303anim123i 1149 . . 3 (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿)))
3217, 31syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿)))
33 eleq1 2840 . . . . . . 7 ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼𝐽)))
3433adantr 485 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼𝐽)))
3534adantr 485 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼𝐽)))
36 eleq1 2840 . . . . . . 7 ((𝑃‘1) = 𝐵 → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾)))
3736adantl 486 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾)))
3837adantr 485 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾)))
39 eleq1 2840 . . . . . . 7 ((𝑃‘2) = 𝐶 → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
4039adantr 485 . . . . . 6 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
4140adantl 486 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
4235, 38, 413anbi123d 1434 . . . 4 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿))))
4342bicomd 226 . . 3 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))))
444, 43syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))))
4532, 44mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952   ⊆ wss 3859  {cpr 4525  ‘cfv 6336  0cc0 10568  1c1 10569  2c2 11722  3c3 11723  ⟨“cs3 14244  ⟨“cs4 14245 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-hash 13734  df-word 13907  df-concat 13963  df-s1 13990  df-s2 14250  df-s3 14251  df-s4 14252 This theorem is referenced by:  3wlkdlem7  28043
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