MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3wlkdlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3wlkdlem6 29927
Description: Lemma 6 for 3wlkd 29932. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
3wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
Assertion
Ref Expression
3wlkdlem6 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))

Proof of Theorem 3wlkdlem6
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 3wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 3wlkd.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
41, 2, 33wlkdlem3 29923 . . . 4 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5 3wlkd.e . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
6 preq12 4734 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
76sseq1d 4008 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽)))
87adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽)))
9 preq12 4734 . . . . . . . 8 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
109ad2ant2lr 745 . . . . . . 7 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
1110sseq1d 4008 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
12 preq12 4734 . . . . . . . 8 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {𝐶, 𝐷})
1312sseq1d 4008 . . . . . . 7 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
1413adantl 481 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
158, 11, 143anbi123d 1432 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿))))
165, 15syl5ibrcom 246 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿))))
174, 16mpd 15 . . 3 (𝜑 → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿)))
18 fvex 6898 . . . . . 6 (𝑃‘0) ∈ V
19 fvex 6898 . . . . . 6 (𝑃‘1) ∈ V
2018, 19prss 4818 . . . . 5 (((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐽)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽))
21 simpl 482 . . . . 5 (((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐽)) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽))
2220, 21sylbir 234 . . . 4 ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽))
23 fvex 6898 . . . . . 6 (𝑃‘2) ∈ V
2419, 23prss 4818 . . . . 5 (((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐾)) ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾))
25 simpl 482 . . . . 5 (((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐾)) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾))
2624, 25sylbir 234 . . . 4 ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾))
27 fvex 6898 . . . . . 6 (𝑃‘3) ∈ V
2823, 27prss 4818 . . . . 5 (((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼𝐿)) ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿))
29 simpl 482 . . . . 5 (((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼𝐿)) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))
3028, 29sylbir 234 . . . 4 ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))
3122, 26, 303anim123i 1148 . . 3 (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿)))
3217, 31syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿)))
33 eleq1 2815 . . . . . . 7 ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼𝐽)))
3433adantr 480 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼𝐽)))
3534adantr 480 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼𝐽)))
36 eleq1 2815 . . . . . . 7 ((𝑃‘1) = 𝐵 → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾)))
3736adantl 481 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾)))
3837adantr 480 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾)))
39 eleq1 2815 . . . . . . 7 ((𝑃‘2) = 𝐶 → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
4039adantr 480 . . . . . 6 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
4140adantl 481 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
4235, 38, 413anbi123d 1432 . . . 4 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿))))
4342bicomd 222 . . 3 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))))
444, 43syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))))
4532, 44mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wss 3943  {cpr 4625  cfv 6537  0cc0 11112  1c1 11113  2c2 12271  3c3 12272  ⟨“cs3 14799  ⟨“cs4 14800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-s4 14807
This theorem is referenced by:  3wlkdlem7  29928
  Copyright terms: Public domain W3C validator