Theorem 3wlkdlem6 30101

Description: Lemma 6 for 3wlkd 30106. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
3wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem6	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))

Proof of Theorem 3wlkdlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4	1, 2, 3	3wlkdlem3 30097	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5		3wlkd.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
6		preq12 4702	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
7	6	sseq1d 3981	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽)))
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽)))
9		preq12 4702	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
10	9	ad2ant2lr 748	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
11	10	sseq1d 3981	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
12		preq12 4702	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {𝐶, 𝐷})
13	12	sseq1d 3981	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
15	8, 11, 14	3anbi123d 1438	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿))))
16	5, 15	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿))))
17	4, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
18		fvex 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
19		fvex 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) ∈ V
20	18, 19	prss 4787	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐽)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽))
21		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐽)) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽))
22	20, 21	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽))
23		fvex 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘2) ∈ V
24	19, 23	prss 4787	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐾)) ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾))
25		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐾)) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾))
26	24, 25	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾))
27		fvex 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘3) ∈ V
28	23, 27	prss 4787	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿))
29		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼‘𝐿)) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))
30	28, 29	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))
31	22, 26, 30	3anim123i 1151	. . 3 ⊢ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿)))
32	17, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿)))
33		eleq1 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽)))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽)))
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽)))
36		eleq1 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘1) = 𝐵 → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
37	36	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
39		eleq1 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘2) = 𝐶 → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))
41	40	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))
42	35, 38, 41	3anbi123d 1438	. . . 4 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿))))
43	42	bicomd 223	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))))
44	4, 43	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))))
45	32, 44	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3917  {cpr 4594  ‘cfv 6514  0cc0 11075  1c1 11076  2c2 12248  3c3 12249  ⟨“cs3 14815  ⟨“cs4 14816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-s4 14823

This theorem is referenced by:  3wlkdlem7  30102