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Theorem 3wlkdlem6 29151
Description: Lemma 6 for 3wlkd 29156. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
3wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
Assertion
Ref Expression
3wlkdlem6 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))

Proof of Theorem 3wlkdlem6
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 3wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 3wlkd.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
41, 2, 33wlkdlem3 29147 . . . 4 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5 3wlkd.e . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
6 preq12 4697 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
76sseq1d 3976 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽)))
87adantr 482 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽)))
9 preq12 4697 . . . . . . . 8 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
109ad2ant2lr 747 . . . . . . 7 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
1110sseq1d 3976 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
12 preq12 4697 . . . . . . . 8 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {𝐶, 𝐷})
1312sseq1d 3976 . . . . . . 7 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
1413adantl 483 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
158, 11, 143anbi123d 1437 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿))))
165, 15syl5ibrcom 247 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿))))
174, 16mpd 15 . . 3 (𝜑 → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿)))
18 fvex 6856 . . . . . 6 (𝑃‘0) ∈ V
19 fvex 6856 . . . . . 6 (𝑃‘1) ∈ V
2018, 19prss 4781 . . . . 5 (((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐽)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽))
21 simpl 484 . . . . 5 (((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐽)) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽))
2220, 21sylbir 234 . . . 4 ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽))
23 fvex 6856 . . . . . 6 (𝑃‘2) ∈ V
2419, 23prss 4781 . . . . 5 (((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐾)) ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾))
25 simpl 484 . . . . 5 (((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐾)) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾))
2624, 25sylbir 234 . . . 4 ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾))
27 fvex 6856 . . . . . 6 (𝑃‘3) ∈ V
2823, 27prss 4781 . . . . 5 (((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼𝐿)) ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿))
29 simpl 484 . . . . 5 (((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼𝐿)) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))
3028, 29sylbir 234 . . . 4 ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))
3122, 26, 303anim123i 1152 . . 3 (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿)))
3217, 31syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿)))
33 eleq1 2822 . . . . . . 7 ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼𝐽)))
3433adantr 482 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼𝐽)))
3534adantr 482 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼𝐽)))
36 eleq1 2822 . . . . . . 7 ((𝑃‘1) = 𝐵 → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾)))
3736adantl 483 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾)))
3837adantr 482 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾)))
39 eleq1 2822 . . . . . . 7 ((𝑃‘2) = 𝐶 → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
4039adantr 482 . . . . . 6 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
4140adantl 483 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
4235, 38, 413anbi123d 1437 . . . 4 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿))))
4342bicomd 222 . . 3 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))))
444, 43syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))))
4532, 44mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wss 3911  {cpr 4589  cfv 6497  0cc0 11056  1c1 11057  2c2 12213  3c3 12214  ⟨“cs3 14737  ⟨“cs4 14738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-s1 14490  df-s2 14743  df-s3 14744  df-s4 14745
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