Theorem 3wlkdlem6 28430

Description: Lemma 6 for 3wlkd 28435. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
3wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem6	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))

Proof of Theorem 3wlkdlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4	1, 2, 3	3wlkdlem3 28426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5		3wlkd.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
6		preq12 4668	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
7	6	sseq1d 3948	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽)))
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽)))
9		preq12 4668	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
10	9	ad2ant2lr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
11	10	sseq1d 3948	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
12		preq12 4668	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {𝐶, 𝐷})
13	12	sseq1d 3948	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
15	8, 11, 14	3anbi123d 1434	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿))))
16	5, 15	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿))))
17	4, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
18		fvex 6769	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
19		fvex 6769	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) ∈ V
20	18, 19	prss 4750	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐽)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽))
21		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐽)) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽))
22	20, 21	sylbir 234	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽))
23		fvex 6769	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘2) ∈ V
24	19, 23	prss 4750	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐾)) ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾))
25		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐾)) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾))
26	24, 25	sylbir 234	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾))
27		fvex 6769	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘3) ∈ V
28	23, 27	prss 4750	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿))
29		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼‘𝐿)) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))
30	28, 29	sylbir 234	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))
31	22, 26, 30	3anim123i 1149	. . 3 ⊢ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿)))
32	17, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿)))
33		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽)))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽)))
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽)))
36		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘1) = 𝐵 → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
37	36	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
39		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘2) = 𝐶 → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))
41	40	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))
42	35, 38, 41	3anbi123d 1434	. . . 4 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿))))
43	42	bicomd 222	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))))
44	4, 43	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))))
45	32, 44	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ⊆ wss 3883  {cpr 4560  ‘cfv 6418  0cc0 10802  1c1 10803  2c2 11958  3c3 11959  ⟨“cs3 14483  ⟨“cs4 14484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-s4 14491

This theorem is referenced by:  3wlkdlem7  28431