Theorem 3wlkdlem6 27938

Description: Lemma 6 for 3wlkd 27943. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
3wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem6	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))

Proof of Theorem 3wlkdlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4	1, 2, 3	3wlkdlem3 27934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5		3wlkd.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
6		preq12 4664	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
7	6	sseq1d 3997	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽)))
8	7	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽)))
9		preq12 4664	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
10	9	ad2ant2lr 746	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
11	10	sseq1d 3997	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
12		preq12 4664	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {𝐶, 𝐷})
13	12	sseq1d 3997	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
14	13	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
15	8, 11, 14	3anbi123d 1432	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿))))
16	5, 15	syl5ibrcom 249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿))))
17	4, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
18		fvex 6677	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
19		fvex 6677	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) ∈ V
20	18, 19	prss 4746	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐽)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽))
21		simpl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐽)) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽))
22	20, 21	sylbir 237	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽))
23		fvex 6677	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘2) ∈ V
24	19, 23	prss 4746	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐾)) ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾))
25		simpl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐾)) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾))
26	24, 25	sylbir 237	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾))
27		fvex 6677	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘3) ∈ V
28	23, 27	prss 4746	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿))
29		simpl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼‘𝐿)) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))
30	28, 29	sylbir 237	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))
31	22, 26, 30	3anim123i 1147	. . 3 ⊢ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿)))
32	17, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿)))
33		eleq1 2900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽)))
34	33	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽)))
35	34	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽)))
36		eleq1 2900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘1) = 𝐵 → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
37	36	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
38	37	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
39		eleq1 2900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘2) = 𝐶 → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))
40	39	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))
41	40	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))
42	35, 38, 41	3anbi123d 1432	. . . 4 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿))))
43	42	bicomd 225	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))))
44	4, 43	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))))
45	32, 44	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ⊆ wss 3935  {cpr 4562  ‘cfv 6349  0cc0 10531  1c1 10532  2c2 11686  3c3 11687  ⟨“cs3 14198  ⟨“cs4 14199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13917  df-s1 13944  df-s2 14204  df-s3 14205  df-s4 14206

This theorem is referenced by:  3wlkdlem7  27939