Theorem 3wlkdlem6 30323

Description: Lemma 6 for 3wlkd 30328. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
3wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem6	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))

Proof of Theorem 3wlkdlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4	1, 2, 3	3wlkdlem3 30319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5		3wlkd.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
6		preq12 4691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
7	6	sseq1d 3965	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽)))
8	7	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽)))
9		preq12 4691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
10	9	ad2ant2lr 758	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
11	10	sseq1d 3965	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
12		preq12 4691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {𝐶, 𝐷})
13	12	sseq1d 3965	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
14	13	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
15	8, 11, 14	3anbi123d 1456	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿))))
16	5, 15	syl5ibrcom 249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿))))
17	4, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
18		fvex 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
19		fvex 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) ∈ V
20	18, 19	prss 4775	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐽)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽))
21		simpl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐽)) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽))
22	20, 21	sylbir 237	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽))
23		fvex 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘2) ∈ V
24	19, 23	prss 4775	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐾)) ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾))
25		simpl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐾)) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾))
26	24, 25	sylbir 237	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾))
27		fvex 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘3) ∈ V
28	23, 27	prss 4775	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿))
29		simpl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼‘𝐿)) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))
30	28, 29	sylbir 237	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))
31	22, 26, 30	3anim123i 1163	. . 3 ⊢ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿)))
32	17, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿)))
33		eleq1 2849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽)))
34	33	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽)))
35	34	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽)))
36		eleq1 2849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘1) = 𝐵 → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
37	36	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
38	37	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
39		eleq1 2849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘2) = 𝐶 → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))
40	39	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))
41	40	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))
42	35, 38, 41	3anbi123d 1456	. . . 4 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿))))
43	42	bicomd 225	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))))
44	4, 43	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))))
45	32, 44	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3902  {cpr 4581  ‘cfv 6515  0cc0 11066  1c1 11067  2c2 12265  3c3 12266  ⟨“cs3 14848  ⟨“cs4 14849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-hash 14337  df-word 14520  df-concat 14577  df-s1 14603  df-s2 14854  df-s3 14855  df-s4 14856

This theorem is referenced by:  3wlkdlem7  30324