Theorem 3wlkdlem6 30653

Description: Lemma 6 for 3wlkd 30658. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
3wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem6	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))

Proof of Theorem 3wlkdlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4	1, 2, 3	3wlkdlem3 30649	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5		3wlkd.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
6		preq12 4699	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
7	6	sseq1d 3965	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽)))
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽)))
9		preq12 4699	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
10	9	ad2ant2lr 761	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
11	10	sseq1d 3965	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
12		preq12 4699	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {𝐶, 𝐷})
13	12	sseq1d 3965	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
14	13	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
15	8, 11, 14	3anbi123d 1464	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿))))
16	5, 15	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿))))
17	4, 16	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
18		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
19		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) ∈ V
20	18, 19	prss 4784	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐽)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽))
21		simpl 488	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐽)) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽))
22	20, 21	sylbir 238	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽))
23		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘2) ∈ V
24	19, 23	prss 4784	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐾)) ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾))
25		simpl 488	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐾)) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾))
26	24, 25	sylbir 238	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾))
27		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘3) ∈ V
28	23, 27	prss 4784	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿))
29		simpl 488	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼‘𝐿)) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))
30	28, 29	sylbir 238	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))
31	22, 26, 30	3anim123i 1169	. . 3 ⊢ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼‘𝐿)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿)))
32	17, 31	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿)))
33		eleq1 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽)))
34	33	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽)))
35	34	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽)))
36		eleq1 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘1) = 𝐵 → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
37	36	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
38	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
39		eleq1 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘2) = 𝐶 → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))
40	39	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))
41	40	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))
42	35, 38, 41	3anbi123d 1464	. . . 4 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿))))
43	42	bicomd 226	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))))
44	4, 43	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼‘𝐿))))
45	32, 44	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼‘𝐿)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902  {cpr 4589  ‘cfv 6537  0cc0 11128  1c1 11129  2c2 12323  3c3 12324  ⟨“cs3 14917  ⟨“cs4 14918

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-concat 14640  df-s1 14667  df-s2 14923  df-s3 14924  df-s4 14925

This theorem is used by:  3wlkdlem7  30654