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Theorem 3wlkdlem6 27501
Description: Lemma 6 for 3wlkd 27506. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
3wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
Assertion
Ref Expression
3wlkdlem6 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))

Proof of Theorem 3wlkdlem6
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 3wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 3wlkd.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
41, 2, 33wlkdlem3 27497 . . . 4 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5 3wlkd.e . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
6 preq12 4457 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
76sseq1d 3826 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽)))
87adantr 473 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽)))
9 preq12 4457 . . . . . . . 8 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
109ad2ant2lr 755 . . . . . . 7 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
1110sseq1d 3826 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
12 preq12 4457 . . . . . . . 8 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {𝐶, 𝐷})
1312sseq1d 3826 . . . . . . 7 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
1413adantl 474 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
158, 11, 143anbi123d 1561 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿))))
165, 15syl5ibrcom 239 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿))))
174, 16mpd 15 . . 3 (𝜑 → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿)))
18 fvex 6422 . . . . . 6 (𝑃‘0) ∈ V
19 fvex 6422 . . . . . 6 (𝑃‘1) ∈ V
2018, 19prss 4537 . . . . 5 (((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐽)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽))
21 simpl 475 . . . . 5 (((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐽)) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽))
2220, 21sylbir 227 . . . 4 ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽))
23 fvex 6422 . . . . . 6 (𝑃‘2) ∈ V
2419, 23prss 4537 . . . . 5 (((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐾)) ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾))
25 simpl 475 . . . . 5 (((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐾)) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾))
2624, 25sylbir 227 . . . 4 ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾))
27 fvex 6422 . . . . . 6 (𝑃‘3) ∈ V
2823, 27prss 4537 . . . . 5 (((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼𝐿)) ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿))
29 simpl 475 . . . . 5 (((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼𝐿)) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))
3028, 29sylbir 227 . . . 4 ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))
3122, 26, 303anim123i 1191 . . 3 (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿)))
3217, 31syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿)))
33 eleq1 2864 . . . . . . 7 ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼𝐽)))
3433adantr 473 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼𝐽)))
3534adantr 473 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼𝐽)))
36 eleq1 2864 . . . . . . 7 ((𝑃‘1) = 𝐵 → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾)))
3736adantl 474 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾)))
3837adantr 473 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾)))
39 eleq1 2864 . . . . . . 7 ((𝑃‘2) = 𝐶 → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
4039adantr 473 . . . . . 6 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
4140adantl 474 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
4235, 38, 413anbi123d 1561 . . . 4 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿))))
4342bicomd 215 . . 3 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))))
444, 43syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))))
4532, 44mpbird 249 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  wss 3767  {cpr 4368  cfv 6099  0cc0 10222  1c1 10223  2c2 11364  3c3 11365  ⟨“cs3 13924  ⟨“cs4 13925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-hash 13367  df-word 13531  df-concat 13587  df-s1 13612  df-s2 13930  df-s3 13931  df-s4 13932
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