Theorem wlkdlem2 28929

Description: Lemma 2 for wlkd 28932. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
wlkd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
wlkd.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
wlkd.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
wlkdlem2	⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝜑,𝑘

Proof of Theorem wlkdlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
2		fzo0end 13720	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
3		fveq2 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)))
4		fvoveq1 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)))
5	3, 4	preq12d 4744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))})
6		2fveq3 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
7	5, 6	sseq12d 4014	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
8	7	rspcv 3608	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
10		fvex 6901	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ V
11		fvex 6901	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ V
12	10, 11	prss 4822	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∧ (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
13		nncn 12216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
14		npcan1 11635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℂ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
16	15	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
17	16	eleq1d 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
18	17	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
19	18	adantld 491	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (((𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∧ (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
20	12, 19	biimtrrid 242	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
21	9, 20	syld 47	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
22	1, 21	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
23		fvex 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘𝑘) ∈ V
24		fvex 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V
25	23, 24	prss 4822	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
26		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
27	25, 26	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
29	28	ralimdva 3167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
30	1, 29	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
31	22, 30	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947  {cpr 4629  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   − cmin 11440  ℕcn 12208  ..^cfzo 13623  ♯chash 14286  Word cword 14460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624

This theorem is referenced by:  wlkdlem3  28930