MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkdlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkdlem2 27380
Description: Lemma 2 for wlkd 27383. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
wlkd.f (𝜑𝐹 ∈ Word V)
wlkd.l (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
wlkd.e (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
wlkdlem2 (𝜑 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝜑,𝑘

Proof of Theorem wlkdlem2
StepHypRef Expression
1 wlkd.e . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
2 fzo0end 13122 . . . . 5 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
3 fveq2 6666 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃𝑘) = (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)))
4 fvoveq1 7174 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)))
53, 4preq12d 4675 . . . . . . 7 (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))})
6 2fveq3 6671 . . . . . . 7 (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐼‘(𝐹𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
75, 6sseq12d 4003 . . . . . 6 (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
87rspcv 3621 . . . . 5 (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
92, 8syl 17 . . . 4 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
10 fvex 6679 . . . . . 6 (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ V
11 fvex 6679 . . . . . 6 (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ V
1210, 11prss 4751 . . . . 5 (((𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∧ (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
13 nncn 11638 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
14 npcan1 11057 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) ∈ ℂ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
1615fveq2d 6670 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
1716eleq1d 2901 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
1817biimpd 230 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
1918adantld 491 . . . . 5 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (((𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∧ (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
2012, 19syl5bir 244 . . . 4 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
219, 20syld 47 . . 3 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
221, 21syl5com 31 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
23 fvex 6679 . . . . . . 7 (𝑃𝑘) ∈ V
24 fvex 6679 . . . . . . 7 (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V
2523, 24prss 4751 . . . . . 6 (((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
26 simpl 483 . . . . . 6 (((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
2725, 26sylbir 236 . . . . 5 ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) → (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
2827a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) → (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
2928ralimdva 3181 . . 3 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
301, 29mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
3122, 30jca 512 1 (𝜑 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2106  wral 3142  Vcvv 3499  wss 3939  {cpr 4565  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  cmin 10862  cn 11630  ..^cfzo 13026  chash 13683  Word cword 13854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027
This theorem is referenced by:  wlkdlem3  27381
  Copyright terms: Public domain W3C validator