Theorem wlkdlem2 29662

Description: Lemma 2 for wlkd 29665. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
wlkd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
wlkd.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
wlkd.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
wlkdlem2	⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝜑,𝑘

Proof of Theorem wlkdlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
2		fzo0end 13660	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
3		fveq2 6828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)))
4		fvoveq1 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)))
5	3, 4	preq12d 4693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))})
6		2fveq3 6833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
7	5, 6	sseq12d 3964	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
8	7	rspcv 3569	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
10		fvex 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ V
11		fvex 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ V
12	10, 11	prss 4771	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∧ (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
13		nncn 12140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
14		npcan1 11549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℂ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
16	15	fveq2d 6832	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
17	16	eleq1d 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
18	17	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
19	18	adantld 490	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (((𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∧ (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
20	12, 19	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
21	9, 20	syld 47	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
22	1, 21	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
23		fvex 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘𝑘) ∈ V
24		fvex 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V
25	23, 24	prss 4771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
26		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
27	25, 26	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
29	28	ralimdva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
30	1, 29	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
31	22, 30	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  {cpr 4577  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   − cmin 11351  ℕcn 12132  ..^cfzo 13556  ♯chash 14239  Word cword 14422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557

This theorem is referenced by:  wlkdlem3  29663