Proof of Theorem wlkdlem2
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | wlkd.e | . . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) | 
| 2 |  | fzo0end 13798 | . . . . 5
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈
(0..^(♯‘𝐹))) | 
| 3 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1))) | 
| 4 |  | fvoveq1 7455 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))) | 
| 5 | 3, 4 | preq12d 4740 | . . . . . . 7
⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}) | 
| 6 |  | 2fveq3 6910 | . . . . . . 7
⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) | 
| 7 | 5, 6 | sseq12d 4016 | . . . . . 6
⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) | 
| 8 | 7 | rspcv 3617 | . . . . 5
⊢
(((♯‘𝐹)
− 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) | 
| 9 | 2, 8 | syl 17 | . . . 4
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) | 
| 10 |  | fvex 6918 | . . . . . 6
⊢ (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈
V | 
| 11 |  | fvex 6918 | . . . . . 6
⊢ (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈
V | 
| 12 | 10, 11 | prss 4819 | . . . . 5
⊢ (((𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∧ (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) | 
| 13 |  | nncn 12275 | . . . . . . . . . 10
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ) | 
| 14 |  | npcan1 11689 | . . . . . . . . . 10
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℂ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹)) | 
| 15 | 13, 14 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹)) | 
| 16 | 15 | fveq2d 6909 | . . . . . . . 8
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) | 
| 17 | 16 | eleq1d 2825 | . . . . . . 7
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → ((𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) | 
| 18 | 17 | biimpd 229 | . . . . . 6
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → ((𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) | 
| 19 | 18 | adantld 490 | . . . . 5
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → (((𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∧ (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) | 
| 20 | 12, 19 | biimtrrid 243 | . . . 4
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) | 
| 21 | 9, 20 | syld 47 | . . 3
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) | 
| 22 | 1, 21 | syl5com 31 | . 2
⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) | 
| 23 |  | fvex 6918 | . . . . . . 7
⊢ (𝑃‘𝑘) ∈ V | 
| 24 |  | fvex 6918 | . . . . . . 7
⊢ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V | 
| 25 | 23, 24 | prss 4819 | . . . . . 6
⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) | 
| 26 |  | simpl 482 | . . . . . 6
⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) | 
| 27 | 25, 26 | sylbir 235 | . . . . 5
⊢ ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) | 
| 28 | 27 | a1i 11 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) | 
| 29 | 28 | ralimdva 3166 | . . 3
⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈
(0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) | 
| 30 | 1, 29 | mpd 15 | . 2
⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) | 
| 31 | 22, 30 | jca 511 | 1
⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ∧ ∀𝑘 ∈
(0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) |