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Theorem wlkdlem2 26808
Description: Lemma 2 for wlkd 26811. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
wlkd.f (𝜑𝐹 ∈ Word V)
wlkd.l (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
wlkd.e (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
wlkdlem2 (𝜑 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝜑,𝑘

Proof of Theorem wlkdlem2
StepHypRef Expression
1 wlkd.e . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
2 fzo0end 12761 . . . . 5 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
3 fveq2 6330 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃𝑘) = (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)))
4 fvoveq1 6814 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)))
53, 4preq12d 4412 . . . . . . 7 (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))})
6 fveq2 6330 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
76fveq2d 6334 . . . . . . 7 (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐼‘(𝐹𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
85, 7sseq12d 3783 . . . . . 6 (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
98rspcv 3456 . . . . 5 (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
102, 9syl 17 . . . 4 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
11 fvex 6340 . . . . . 6 (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ V
12 fvex 6340 . . . . . 6 (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ V
1311, 12prss 4486 . . . . 5 (((𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∧ (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
14 nncn 11228 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
15 npcan1 10655 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) ∈ ℂ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
1716fveq2d 6334 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
1817eleq1d 2835 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
1918biimpd 219 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
2019adantld 478 . . . . 5 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (((𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∧ (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
2113, 20syl5bir 233 . . . 4 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
2210, 21syld 47 . . 3 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
231, 22syl5com 31 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
24 fvex 6340 . . . . . . 7 (𝑃𝑘) ∈ V
25 fvex 6340 . . . . . . 7 (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V
2624, 25prss 4486 . . . . . 6 (((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
27 simpl 468 . . . . . 6 (((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
2826, 27sylbir 225 . . . . 5 ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) → (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
2928a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) → (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
3029ralimdva 3111 . . 3 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
311, 30mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
3223, 31jca 501 1 (𝜑 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  wss 3723  {cpr 4318  cfv 6029  (class class class)co 6791  cc 10134  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139  cmin 10466  cn 11220  ..^cfzo 12666  chash 13314  Word cword 13480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-fz 12527  df-fzo 12667
This theorem is referenced by:  wlkdlem3  26809
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