Proof of Theorem wlkdlem2
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | wlkd.e |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) |
2 | | fzo0end 13479 |
. . . . 5
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈
(0..^(♯‘𝐹))) |
3 | | fveq2 6774 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1))) |
4 | | fvoveq1 7298 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))) |
5 | 3, 4 | preq12d 4677 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))}) |
6 | | 2fveq3 6779 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) |
7 | 5, 6 | sseq12d 3954 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 = ((♯‘𝐹) − 1) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) |
8 | 7 | rspcv 3557 |
. . . . 5
⊢
(((♯‘𝐹)
− 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) |
9 | 2, 8 | syl 17 |
. . . 4
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) |
10 | | fvex 6787 |
. . . . . 6
⊢ (𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈
V |
11 | | fvex 6787 |
. . . . . 6
⊢ (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈
V |
12 | 10, 11 | prss 4753 |
. . . . 5
⊢ (((𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∧ (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ↔ {(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) |
13 | | nncn 11981 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ) |
14 | | npcan1 11400 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℂ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹)) |
15 | 13, 14 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹)) |
16 | 15 | fveq2d 6778 |
. . . . . . . 8
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) |
17 | 16 | eleq1d 2823 |
. . . . . . 7
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → ((𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) |
18 | 17 | biimpd 228 |
. . . . . 6
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → ((𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) |
19 | 18 | adantld 491 |
. . . . 5
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → (((𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) ∧ (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) |
20 | 12, 19 | syl5bir 242 |
. . . 4
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → ({(𝑃‘((♯‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((♯‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) |
21 | 9, 20 | syld 47 |
. . 3
⊢
((♯‘𝐹)
∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) |
22 | 1, 21 | syl5com 31 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))) |
23 | | fvex 6787 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑃‘𝑘) ∈ V |
24 | | fvex 6787 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V |
25 | 23, 24 | prss 4753 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) |
26 | | simpl 483 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) |
27 | 25, 26 | sylbir 234 |
. . . . 5
⊢ ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) |
28 | 27 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) |
29 | 28 | ralimdva 3108 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈
(0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) |
30 | 1, 29 | mpd 15 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) |
31 | 22, 30 | jca 512 |
1
⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))) ∧ ∀𝑘 ∈
(0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) |