Theorem chincli 31422

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3461	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3461	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4935	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4774	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4731	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31293	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2825	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {cpr 4581  ∩ cint 4899   C_ℋ cch 30891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-1cn 11086  ax-addcl 11088  ax-hilex 30961  ax-hfvadd 30962  ax-hv0cl 30965  ax-hfvmul 30967

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-map 8762  df-nn 12147  df-sh 31169  df-ch 31183

This theorem is referenced by:  chdmm1i  31439  chdmj1i  31443  chincl  31461  ledii  31498  lejdii  31500  lejdiri  31501  pjoml2i  31547  pjoml3i  31548  pjoml4i  31549  pjoml6i  31551  cmcmlem  31553  cmcm2i  31555  cmbr2i  31558  cmbr3i  31562  cmm1i  31568  fh3i  31585  fh4i  31586  cm2mi  31588  qlaxr3i  31598  osumcori  31605  osumcor2i  31606  spansnm0i  31612  5oai  31623  3oalem5  31628  3oalem6  31629  3oai  31630  pjssmii  31643  pjssge0ii  31644  pjcji  31646  pjocini  31660  mayetes3i  31691  pjssdif2i  32136  pjssdif1i  32137  pjin1i  32154  pjin3i  32156  pjclem1  32157  pjclem4  32161  pjci  32162  pjcmul1i  32163  pjcmul2i  32164  pj3si  32169  pj3cor1i  32171  stji1i  32204  stm1i  32205  stm1add3i  32209  jpi  32232  golem1  32233  golem2  32234  goeqi  32235  stcltrlem2  32239  mdslle1i  32279  mdslj1i  32281  mdslj2i  32282  mdsl1i  32283  mdsl2i  32284  mdsl2bi  32285  cvmdi  32286  mdslmd1lem1  32287  mdslmd1lem2  32288  mdslmd1i  32291  mdsldmd1i  32293  mdslmd3i  32294  mdslmd4i  32295  csmdsymi  32296  mdexchi  32297  hatomistici  32324  chrelat2i  32327  cvexchlem  32330  cvexchi  32331  sumdmdlem2  32381  mdcompli  32391  dmdcompli  32392  mddmdin0i  32393