Theorem chincli 29723

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3441	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3441	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4910	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4750	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 229	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4710	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 29594	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2836	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {cpr 4560  ∩ cint 4876   C_ℋ cch 29192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hv0cl 29266  ax-hfvmul 29268

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-map 8575  df-nn 11904  df-sh 29470  df-ch 29484

This theorem is referenced by:  chdmm1i  29740  chdmj1i  29744  chincl  29762  ledii  29799  lejdii  29801  lejdiri  29802  pjoml2i  29848  pjoml3i  29849  pjoml4i  29850  pjoml6i  29852  cmcmlem  29854  cmcm2i  29856  cmbr2i  29859  cmbr3i  29863  cmm1i  29869  fh3i  29886  fh4i  29887  cm2mi  29889  qlaxr3i  29899  osumcori  29906  osumcor2i  29907  spansnm0i  29913  5oai  29924  3oalem5  29929  3oalem6  29930  3oai  29931  pjssmii  29944  pjssge0ii  29945  pjcji  29947  pjocini  29961  mayetes3i  29992  pjssdif2i  30437  pjssdif1i  30438  pjin1i  30455  pjin3i  30457  pjclem1  30458  pjclem4  30462  pjci  30463  pjcmul1i  30464  pjcmul2i  30465  pj3si  30470  pj3cor1i  30472  stji1i  30505  stm1i  30506  stm1add3i  30510  jpi  30533  golem1  30534  golem2  30535  goeqi  30536  stcltrlem2  30540  mdslle1i  30580  mdslj1i  30582  mdslj2i  30583  mdsl1i  30584  mdsl2i  30585  mdsl2bi  30586  cvmdi  30587  mdslmd1lem1  30588  mdslmd1lem2  30589  mdslmd1i  30592  mdsldmd1i  30594  mdslmd3i  30595  mdslmd4i  30596  csmdsymi  30597  mdexchi  30598  hatomistici  30625  chrelat2i  30628  cvexchlem  30631  cvexchi  30632  sumdmdlem2  30682  mdcompli  30692  dmdcompli  30693  mddmdin0i  30694