Theorem chincli 29243

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3460	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3460	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4871	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 474	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4713	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 233	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4673	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 29114	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2887	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {cpr 4527  ∩ cint 4838   C_ℋ cch 28712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-1cn 10584  ax-addcl 10586  ax-hilex 28782  ax-hfvadd 28783  ax-hv0cl 28786  ax-hfvmul 28788

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-map 8391  df-nn 11626  df-sh 28990  df-ch 29004

This theorem is referenced by:  chdmm1i  29260  chdmj1i  29264  chincl  29282  ledii  29319  lejdii  29321  lejdiri  29322  pjoml2i  29368  pjoml3i  29369  pjoml4i  29370  pjoml6i  29372  cmcmlem  29374  cmcm2i  29376  cmbr2i  29379  cmbr3i  29383  cmm1i  29389  fh3i  29406  fh4i  29407  cm2mi  29409  qlaxr3i  29419  osumcori  29426  osumcor2i  29427  spansnm0i  29433  5oai  29444  3oalem5  29449  3oalem6  29450  3oai  29451  pjssmii  29464  pjssge0ii  29465  pjcji  29467  pjocini  29481  mayetes3i  29512  pjssdif2i  29957  pjssdif1i  29958  pjin1i  29975  pjin3i  29977  pjclem1  29978  pjclem4  29982  pjci  29983  pjcmul1i  29984  pjcmul2i  29985  pj3si  29990  pj3cor1i  29992  stji1i  30025  stm1i  30026  stm1add3i  30030  jpi  30053  golem1  30054  golem2  30055  goeqi  30056  stcltrlem2  30060  mdslle1i  30100  mdslj1i  30102  mdslj2i  30103  mdsl1i  30104  mdsl2i  30105  mdsl2bi  30106  cvmdi  30107  mdslmd1lem1  30108  mdslmd1lem2  30109  mdslmd1i  30112  mdsldmd1i  30114  mdslmd3i  30115  mdslmd4i  30116  csmdsymi  30117  mdexchi  30118  hatomistici  30145  chrelat2i  30148  cvexchlem  30151  cvexchi  30152  sumdmdlem2  30202  mdcompli  30212  dmdcompli  30213  mddmdin0i  30214