Theorem chincli 30691

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3494	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3494	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4985	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 472	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4822	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 229	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4780	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 472	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 30562	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2831	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  {cpr 4629  ∩ cint 4949   C_ℋ cch 30160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-addcl 11166  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hv0cl 30234  ax-hfvmul 30236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-map 8818  df-nn 12209  df-sh 30438  df-ch 30452

This theorem is referenced by:  chdmm1i  30708  chdmj1i  30712  chincl  30730  ledii  30767  lejdii  30769  lejdiri  30770  pjoml2i  30816  pjoml3i  30817  pjoml4i  30818  pjoml6i  30820  cmcmlem  30822  cmcm2i  30824  cmbr2i  30827  cmbr3i  30831  cmm1i  30837  fh3i  30854  fh4i  30855  cm2mi  30857  qlaxr3i  30867  osumcori  30874  osumcor2i  30875  spansnm0i  30881  5oai  30892  3oalem5  30897  3oalem6  30898  3oai  30899  pjssmii  30912  pjssge0ii  30913  pjcji  30915  pjocini  30929  mayetes3i  30960  pjssdif2i  31405  pjssdif1i  31406  pjin1i  31423  pjin3i  31425  pjclem1  31426  pjclem4  31430  pjci  31431  pjcmul1i  31432  pjcmul2i  31433  pj3si  31438  pj3cor1i  31440  stji1i  31473  stm1i  31474  stm1add3i  31478  jpi  31501  golem1  31502  golem2  31503  goeqi  31504  stcltrlem2  31508  mdslle1i  31548  mdslj1i  31550  mdslj2i  31551  mdsl1i  31552  mdsl2i  31553  mdsl2bi  31554  cvmdi  31555  mdslmd1lem1  31556  mdslmd1lem2  31557  mdslmd1i  31560  mdsldmd1i  31562  mdslmd3i  31563  mdslmd4i  31564  csmdsymi  31565  mdexchi  31566  hatomistici  31593  chrelat2i  31596  cvexchlem  31599  cvexchi  31600  sumdmdlem2  31650  mdcompli  31660  dmdcompli  31661  mddmdin0i  31662