Theorem chincli 31546

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3453	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3453	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4925	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4764	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4722	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31417	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2834	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {cpr 4570  ∩ cint 4890   C_ℋ cch 31015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089  ax-hilex 31085  ax-hfvadd 31086  ax-hv0cl 31089  ax-hfvmul 31091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-map 8768  df-nn 12166  df-sh 31293  df-ch 31307

This theorem is referenced by:  chdmm1i  31563  chdmj1i  31567  chincl  31585  ledii  31622  lejdii  31624  lejdiri  31625  pjoml2i  31671  pjoml3i  31672  pjoml4i  31673  pjoml6i  31675  cmcmlem  31677  cmcm2i  31679  cmbr2i  31682  cmbr3i  31686  cmm1i  31692  fh3i  31709  fh4i  31710  cm2mi  31712  qlaxr3i  31722  osumcori  31729  osumcor2i  31730  spansnm0i  31736  5oai  31747  3oalem5  31752  3oalem6  31753  3oai  31754  pjssmii  31767  pjssge0ii  31768  pjcji  31770  pjocini  31784  mayetes3i  31815  pjssdif2i  32260  pjssdif1i  32261  pjin1i  32278  pjin3i  32280  pjclem1  32281  pjclem4  32285  pjci  32286  pjcmul1i  32287  pjcmul2i  32288  pj3si  32293  pj3cor1i  32295  stji1i  32328  stm1i  32329  stm1add3i  32333  jpi  32356  golem1  32357  golem2  32358  goeqi  32359  stcltrlem2  32363  mdslle1i  32403  mdslj1i  32405  mdslj2i  32406  mdsl1i  32407  mdsl2i  32408  mdsl2bi  32409  cvmdi  32410  mdslmd1lem1  32411  mdslmd1lem2  32412  mdslmd1i  32415  mdsldmd1i  32417  mdslmd3i  32418  mdslmd4i  32419  csmdsymi  32420  mdexchi  32421  hatomistici  32448  chrelat2i  32451  cvexchlem  32454  cvexchi  32455  sumdmdlem2  32505  mdcompli  32515  dmdcompli  32516  mddmdin0i  32517