Theorem chincli 31492

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3511	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3511	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 5006	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4845	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4802	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31363	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2841	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {cpr 4650  ∩ cint 4970   C_ℋ cch 30961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-1cn 11242  ax-addcl 11244  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hv0cl 31035  ax-hfvmul 31037

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-map 8886  df-nn 12294  df-sh 31239  df-ch 31253

This theorem is referenced by:  chdmm1i  31509  chdmj1i  31513  chincl  31531  ledii  31568  lejdii  31570  lejdiri  31571  pjoml2i  31617  pjoml3i  31618  pjoml4i  31619  pjoml6i  31621  cmcmlem  31623  cmcm2i  31625  cmbr2i  31628  cmbr3i  31632  cmm1i  31638  fh3i  31655  fh4i  31656  cm2mi  31658  qlaxr3i  31668  osumcori  31675  osumcor2i  31676  spansnm0i  31682  5oai  31693  3oalem5  31698  3oalem6  31699  3oai  31700  pjssmii  31713  pjssge0ii  31714  pjcji  31716  pjocini  31730  mayetes3i  31761  pjssdif2i  32206  pjssdif1i  32207  pjin1i  32224  pjin3i  32226  pjclem1  32227  pjclem4  32231  pjci  32232  pjcmul1i  32233  pjcmul2i  32234  pj3si  32239  pj3cor1i  32241  stji1i  32274  stm1i  32275  stm1add3i  32279  jpi  32302  golem1  32303  golem2  32304  goeqi  32305  stcltrlem2  32309  mdslle1i  32349  mdslj1i  32351  mdslj2i  32352  mdsl1i  32353  mdsl2i  32354  mdsl2bi  32355  cvmdi  32356  mdslmd1lem1  32357  mdslmd1lem2  32358  mdslmd1i  32361  mdsldmd1i  32363  mdslmd3i  32364  mdslmd4i  32365  csmdsymi  32366  mdexchi  32367  hatomistici  32394  chrelat2i  32397  cvexchlem  32400  cvexchi  32401  sumdmdlem2  32451  mdcompli  32461  dmdcompli  32462  mddmdin0i  32463