Theorem chincli 31547

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3465	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3465	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4939	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4778	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4736	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31418	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2834	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {cpr 4584  ∩ cint 4904   C_ℋ cch 31016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098  ax-hilex 31086  ax-hfvadd 31087  ax-hv0cl 31090  ax-hfvmul 31092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-map 8777  df-nn 12158  df-sh 31294  df-ch 31308

This theorem is referenced by:  chdmm1i  31564  chdmj1i  31568  chincl  31586  ledii  31623  lejdii  31625  lejdiri  31626  pjoml2i  31672  pjoml3i  31673  pjoml4i  31674  pjoml6i  31676  cmcmlem  31678  cmcm2i  31680  cmbr2i  31683  cmbr3i  31687  cmm1i  31693  fh3i  31710  fh4i  31711  cm2mi  31713  qlaxr3i  31723  osumcori  31730  osumcor2i  31731  spansnm0i  31737  5oai  31748  3oalem5  31753  3oalem6  31754  3oai  31755  pjssmii  31768  pjssge0ii  31769  pjcji  31771  pjocini  31785  mayetes3i  31816  pjssdif2i  32261  pjssdif1i  32262  pjin1i  32279  pjin3i  32281  pjclem1  32282  pjclem4  32286  pjci  32287  pjcmul1i  32288  pjcmul2i  32289  pj3si  32294  pj3cor1i  32296  stji1i  32329  stm1i  32330  stm1add3i  32334  jpi  32357  golem1  32358  golem2  32359  goeqi  32360  stcltrlem2  32364  mdslle1i  32404  mdslj1i  32406  mdslj2i  32407  mdsl1i  32408  mdsl2i  32409  mdsl2bi  32410  cvmdi  32411  mdslmd1lem1  32412  mdslmd1lem2  32413  mdslmd1i  32416  mdsldmd1i  32418  mdslmd3i  32419  mdslmd4i  32420  csmdsymi  32421  mdexchi  32422  hatomistici  32449  chrelat2i  32452  cvexchlem  32455  cvexchi  32456  sumdmdlem2  32506  mdcompli  32516  dmdcompli  32517  mddmdin0i  32518