Theorem chincli 31721

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3479	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3479	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4943	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4781	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 233	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4739	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31592	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2862	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  {cpr 4587  ∩ cint 4908   C_ℋ cch 31190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-1cn 11146  ax-addcl 11148  ax-hilex 31260  ax-hfvadd 31261  ax-hv0cl 31264  ax-hfvmul 31266

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-map 8814  df-nn 12225  df-sh 31468  df-ch 31482

This theorem is referenced by:  chdmm1i  31738  chdmj1i  31742  chincl  31760  ledii  31797  lejdii  31799  lejdiri  31800  pjoml2i  31846  pjoml3i  31847  pjoml4i  31848  pjoml6i  31850  cmcmlem  31852  cmcm2i  31854  cmbr2i  31857  cmbr3i  31861  cmm1i  31867  fh3i  31884  fh4i  31885  cm2mi  31887  qlaxr3i  31897  osumcori  31904  osumcor2i  31905  spansnm0i  31911  5oai  31922  3oalem5  31927  3oalem6  31928  3oai  31929  pjssmii  31942  pjssge0ii  31943  pjcji  31945  pjocini  31959  mayetes3i  31990  pjssdif2i  32435  pjssdif1i  32436  pjin1i  32453  pjin3i  32455  pjclem1  32456  pjclem4  32460  pjci  32461  pjcmul1i  32462  pjcmul2i  32463  pj3si  32468  pj3cor1i  32470  stji1i  32503  stm1i  32504  stm1add3i  32508  jpi  32531  golem1  32532  golem2  32533  goeqi  32534  stcltrlem2  32538  mdslle1i  32578  mdslj1i  32580  mdslj2i  32581  mdsl1i  32582  mdsl2i  32583  mdsl2bi  32584  cvmdi  32585  mdslmd1lem1  32586  mdslmd1lem2  32587  mdslmd1i  32590  mdsldmd1i  32592  mdslmd3i  32593  mdslmd4i  32594  csmdsymi  32595  mdexchi  32596  hatomistici  32623  chrelat2i  32626  cvexchlem  32629  cvexchi  32630  sumdmdlem2  32680  mdcompli  32690  dmdcompli  32691  mddmdin0i  32692