Theorem chincli 31849

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3480	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3480	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4952	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4791	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 233	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4748	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31720	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2863	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  {cpr 4596  ∩ cint 4917   C_ℋ cch 31318

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-1cn 11176  ax-addcl 11178  ax-hilex 31388  ax-hfvadd 31389  ax-hv0cl 31392  ax-hfvmul 31394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-map 8835  df-nn 12252  df-sh 31596  df-ch 31610

This theorem is used by:  chdmm1i  31866  chdmj1i  31870  chincl  31888  ledii  31925  lejdii  31927  lejdiri  31928  pjoml2i  31974  pjoml3i  31975  pjoml4i  31976  pjoml6i  31978  cmcmlem  31980  cmcm2i  31982  cmbr2i  31985  cmbr3i  31989  cmm1i  31995  fh3i  32012  fh4i  32013  cm2mi  32015  qlaxr3i  32025  osumcori  32032  osumcor2i  32033  spansnm0i  32039  5oai  32050  3oalem5  32055  3oalem6  32056  3oai  32057  pjssmii  32070  pjssge0ii  32071  pjcji  32073  pjocini  32087  mayetes3i  32118  pjssdif2i  32563  pjssdif1i  32564  pjin1i  32581  pjin3i  32583  pjclem1  32584  pjclem4  32588  pjci  32589  pjcmul1i  32590  pjcmul2i  32591  pj3si  32596  pj3cor1i  32598  stji1i  32631  stm1i  32632  stm1add3i  32636  jpi  32659  golem1  32660  golem2  32661  goeqi  32662  stcltrlem2  32666  mdslle1i  32706  mdslj1i  32708  mdslj2i  32709  mdsl1i  32710  mdsl2i  32711  mdsl2bi  32712  cvmdi  32713  mdslmd1lem1  32714  mdslmd1lem2  32715  mdslmd1i  32718  mdsldmd1i  32720  mdslmd3i  32721  mdslmd4i  32722  csmdsymi  32723  mdexchi  32724  hatomistici  32751  chrelat2i  32754  cvexchlem  32757  cvexchi  32758  sumdmdlem2  32808  mdcompli  32818  dmdcompli  32819  mddmdin0i  32820