Theorem chincli 31609

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3475	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3475	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4939	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 474	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4777	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 232	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4735	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31480	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2858	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {cpr 4583  ∩ cint 4904   C_ℋ cch 31078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-1cn 11128  ax-addcl 11130  ax-hilex 31148  ax-hfvadd 31149  ax-hv0cl 31152  ax-hfvmul 31154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-map 8805  df-nn 12208  df-sh 31356  df-ch 31370

This theorem is referenced by:  chdmm1i  31626  chdmj1i  31630  chincl  31648  ledii  31685  lejdii  31687  lejdiri  31688  pjoml2i  31734  pjoml3i  31735  pjoml4i  31736  pjoml6i  31738  cmcmlem  31740  cmcm2i  31742  cmbr2i  31745  cmbr3i  31749  cmm1i  31755  fh3i  31772  fh4i  31773  cm2mi  31775  qlaxr3i  31785  osumcori  31792  osumcor2i  31793  spansnm0i  31799  5oai  31810  3oalem5  31815  3oalem6  31816  3oai  31817  pjssmii  31830  pjssge0ii  31831  pjcji  31833  pjocini  31847  mayetes3i  31878  pjssdif2i  32323  pjssdif1i  32324  pjin1i  32341  pjin3i  32343  pjclem1  32344  pjclem4  32348  pjci  32349  pjcmul1i  32350  pjcmul2i  32351  pj3si  32356  pj3cor1i  32358  stji1i  32391  stm1i  32392  stm1add3i  32396  jpi  32419  golem1  32420  golem2  32421  goeqi  32422  stcltrlem2  32426  mdslle1i  32466  mdslj1i  32468  mdslj2i  32469  mdsl1i  32470  mdsl2i  32471  mdsl2bi  32472  cvmdi  32473  mdslmd1lem1  32474  mdslmd1lem2  32475  mdslmd1i  32478  mdsldmd1i  32480  mdslmd3i  32481  mdslmd4i  32482  csmdsymi  32483  mdexchi  32484  hatomistici  32511  chrelat2i  32514  cvexchlem  32517  cvexchi  32518  sumdmdlem2  32568  mdcompli  32578  dmdcompli  32579  mddmdin0i  32580