Theorem chincli 31949

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3475	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3475	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4945	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4784	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 233	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4741	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31820	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2859	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {cpr 4589  ∩ cint 4910   C_ℋ cch 31418

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-1cn 11186  ax-addcl 11188  ax-hilex 31488  ax-hfvadd 31489  ax-hv0cl 31492  ax-hfvmul 31494

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-map 8832  df-nn 12262  df-sh 31696  df-ch 31710

This theorem is used by:  chdmm1i  31966  chdmj1i  31970  chincl  31988  ledii  32025  lejdii  32027  lejdiri  32028  pjoml2i  32074  pjoml3i  32075  pjoml4i  32076  pjoml6i  32078  cmcmlem  32080  cmcm2i  32082  cmbr2i  32085  cmbr3i  32089  cmm1i  32095  fh3i  32112  fh4i  32113  cm2mi  32115  qlaxr3i  32125  osumcori  32132  osumcor2i  32133  spansnm0i  32139  5oai  32150  3oalem5  32155  3oalem6  32156  3oai  32157  pjssmii  32170  pjssge0ii  32171  pjcji  32173  pjocini  32187  mayetes3i  32218  pjssdif2i  32663  pjssdif1i  32664  pjin1i  32681  pjin3i  32683  pjclem1  32684  pjclem4  32688  pjci  32689  pjcmul1i  32690  pjcmul2i  32691  pj3si  32696  pj3cor1i  32698  stji1i  32731  stm1i  32732  stm1add3i  32736  jpi  32759  golem1  32760  golem2  32761  goeqi  32762  stcltrlem2  32766  mdslle1i  32806  mdslj1i  32808  mdslj2i  32809  mdsl1i  32810  mdsl2i  32811  mdsl2bi  32812  cvmdi  32813  mdslmd1lem1  32814  mdslmd1lem2  32815  mdslmd1i  32818  mdsldmd1i  32820  mdslmd3i  32821  mdslmd4i  32822  csmdsymi  32823  mdexchi  32824  hatomistici  32851  chrelat2i  32854  cvexchlem  32857  cvexchi  32858  sumdmdlem2  32908  mdcompli  32918  dmdcompli  32919  mddmdin0i  32920