HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chincli 29164
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ch0le.1 𝐴C
chjcl.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
chincli (𝐴𝐵) ∈ C

Proof of Theorem chincli
StepHypRef Expression
1 ch0le.1 . . . 4 𝐴C
21elexi 3511 . . 3 𝐴 ∈ V
3 chjcl.2 . . . 4 𝐵C
43elexi 3511 . . 3 𝐵 ∈ V
52, 4intpr 4900 . 2 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵)
61, 3pm3.2i 471 . . . . 5 (𝐴C𝐵C )
72, 4prss 4745 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ C )
86, 7mpbi 231 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ⊆ C
92prnz 4704 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
108, 9pm3.2i 471 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ⊆ C ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
1110chintcli 29035 . 2 {𝐴, 𝐵} ∈ C
125, 11eqeltrri 2907 1 (𝐴𝐵) ∈ C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  wcel 2105  wne 3013  cin 3932  wss 3933  c0 4288  {cpr 4559   cint 4867   C cch 28633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-1cn 10583  ax-addcl 10585  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hv0cl 28707  ax-hfvmul 28709
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-map 8397  df-nn 11627  df-sh 28911  df-ch 28925
This theorem is referenced by:  chdmm1i  29181  chdmj1i  29185  chincl  29203  ledii  29240  lejdii  29242  lejdiri  29243  pjoml2i  29289  pjoml3i  29290  pjoml4i  29291  pjoml6i  29293  cmcmlem  29295  cmcm2i  29297  cmbr2i  29300  cmbr3i  29304  cmm1i  29310  fh3i  29327  fh4i  29328  cm2mi  29330  qlaxr3i  29340  osumcori  29347  osumcor2i  29348  spansnm0i  29354  5oai  29365  3oalem5  29370  3oalem6  29371  3oai  29372  pjssmii  29385  pjssge0ii  29386  pjcji  29388  pjocini  29402  mayetes3i  29433  pjssdif2i  29878  pjssdif1i  29879  pjin1i  29896  pjin3i  29898  pjclem1  29899  pjclem4  29903  pjci  29904  pjcmul1i  29905  pjcmul2i  29906  pj3si  29911  pj3cor1i  29913  stji1i  29946  stm1i  29947  stm1add3i  29951  jpi  29974  golem1  29975  golem2  29976  goeqi  29977  stcltrlem2  29981  mdslle1i  30021  mdslj1i  30023  mdslj2i  30024  mdsl1i  30025  mdsl2i  30026  mdsl2bi  30027  cvmdi  30028  mdslmd1lem1  30029  mdslmd1lem2  30030  mdslmd1i  30033  mdsldmd1i  30035  mdslmd3i  30036  mdslmd4i  30037  csmdsymi  30038  mdexchi  30039  hatomistici  30066  chrelat2i  30069  cvexchlem  30072  cvexchi  30073  sumdmdlem2  30123  mdcompli  30133  dmdcompli  30134  mddmdin0i  30135
  Copyright terms: Public domain W3C validator