HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chincli 30444
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ch0le.1 𝐴C
chjcl.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
chincli (𝐴𝐵) ∈ C

Proof of Theorem chincli
StepHypRef Expression
1 ch0le.1 . . . 4 𝐴C
21elexi 3463 . . 3 𝐴 ∈ V
3 chjcl.2 . . . 4 𝐵C
43elexi 3463 . . 3 𝐵 ∈ V
52, 4intpr 4944 . 2 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵)
61, 3pm3.2i 472 . . . . 5 (𝐴C𝐵C )
72, 4prss 4781 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ C )
86, 7mpbi 229 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ⊆ C
92prnz 4739 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
108, 9pm3.2i 472 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ⊆ C ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
1110chintcli 30315 . 2 {𝐴, 𝐵} ∈ C
125, 11eqeltrri 2831 1 (𝐴𝐵) ∈ C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397  wcel 2107  wne 2940  cin 3910  wss 3911  c0 4283  {cpr 4589   cint 4908   C cch 29913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-1cn 11114  ax-addcl 11116  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hv0cl 29987  ax-hfvmul 29989
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-map 8770  df-nn 12159  df-sh 30191  df-ch 30205
This theorem is referenced by:  chdmm1i  30461  chdmj1i  30465  chincl  30483  ledii  30520  lejdii  30522  lejdiri  30523  pjoml2i  30569  pjoml3i  30570  pjoml4i  30571  pjoml6i  30573  cmcmlem  30575  cmcm2i  30577  cmbr2i  30580  cmbr3i  30584  cmm1i  30590  fh3i  30607  fh4i  30608  cm2mi  30610  qlaxr3i  30620  osumcori  30627  osumcor2i  30628  spansnm0i  30634  5oai  30645  3oalem5  30650  3oalem6  30651  3oai  30652  pjssmii  30665  pjssge0ii  30666  pjcji  30668  pjocini  30682  mayetes3i  30713  pjssdif2i  31158  pjssdif1i  31159  pjin1i  31176  pjin3i  31178  pjclem1  31179  pjclem4  31183  pjci  31184  pjcmul1i  31185  pjcmul2i  31186  pj3si  31191  pj3cor1i  31193  stji1i  31226  stm1i  31227  stm1add3i  31231  jpi  31254  golem1  31255  golem2  31256  goeqi  31257  stcltrlem2  31261  mdslle1i  31301  mdslj1i  31303  mdslj2i  31304  mdsl1i  31305  mdsl2i  31306  mdsl2bi  31307  cvmdi  31308  mdslmd1lem1  31309  mdslmd1lem2  31310  mdslmd1i  31313  mdsldmd1i  31315  mdslmd3i  31316  mdslmd4i  31317  csmdsymi  31318  mdexchi  31319  hatomistici  31346  chrelat2i  31349  cvexchlem  31352  cvexchi  31353  sumdmdlem2  31403  mdcompli  31413  dmdcompli  31414  mddmdin0i  31415
  Copyright terms: Public domain W3C validator