Theorem chincli 31389

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3470	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3470	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4946	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4784	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4741	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31260	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2825	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {cpr 4591  ∩ cint 4910   C_ℋ cch 30858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-addcl 11128  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hv0cl 30932  ax-hfvmul 30934

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-map 8801  df-nn 12187  df-sh 31136  df-ch 31150

This theorem is referenced by:  chdmm1i  31406  chdmj1i  31410  chincl  31428  ledii  31465  lejdii  31467  lejdiri  31468  pjoml2i  31514  pjoml3i  31515  pjoml4i  31516  pjoml6i  31518  cmcmlem  31520  cmcm2i  31522  cmbr2i  31525  cmbr3i  31529  cmm1i  31535  fh3i  31552  fh4i  31553  cm2mi  31555  qlaxr3i  31565  osumcori  31572  osumcor2i  31573  spansnm0i  31579  5oai  31590  3oalem5  31595  3oalem6  31596  3oai  31597  pjssmii  31610  pjssge0ii  31611  pjcji  31613  pjocini  31627  mayetes3i  31658  pjssdif2i  32103  pjssdif1i  32104  pjin1i  32121  pjin3i  32123  pjclem1  32124  pjclem4  32128  pjci  32129  pjcmul1i  32130  pjcmul2i  32131  pj3si  32136  pj3cor1i  32138  stji1i  32171  stm1i  32172  stm1add3i  32176  jpi  32199  golem1  32200  golem2  32201  goeqi  32202  stcltrlem2  32206  mdslle1i  32246  mdslj1i  32248  mdslj2i  32249  mdsl1i  32250  mdsl2i  32251  mdsl2bi  32252  cvmdi  32253  mdslmd1lem1  32254  mdslmd1lem2  32255  mdslmd1i  32258  mdsldmd1i  32260  mdslmd3i  32261  mdslmd4i  32262  csmdsymi  32263  mdexchi  32264  hatomistici  32291  chrelat2i  32294  cvexchlem  32297  cvexchi  32298  sumdmdlem2  32348  mdcompli  32358  dmdcompli  32359  mddmdin0i  32360