Theorem chincli 31441

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3482	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3482	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4958	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4796	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4753	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31312	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2831	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {cpr 4603  ∩ cint 4922   C_ℋ cch 30910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-1cn 11187  ax-addcl 11189  ax-hilex 30980  ax-hfvadd 30981  ax-hv0cl 30984  ax-hfvmul 30986

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-map 8842  df-nn 12241  df-sh 31188  df-ch 31202

This theorem is referenced by:  chdmm1i  31458  chdmj1i  31462  chincl  31480  ledii  31517  lejdii  31519  lejdiri  31520  pjoml2i  31566  pjoml3i  31567  pjoml4i  31568  pjoml6i  31570  cmcmlem  31572  cmcm2i  31574  cmbr2i  31577  cmbr3i  31581  cmm1i  31587  fh3i  31604  fh4i  31605  cm2mi  31607  qlaxr3i  31617  osumcori  31624  osumcor2i  31625  spansnm0i  31631  5oai  31642  3oalem5  31647  3oalem6  31648  3oai  31649  pjssmii  31662  pjssge0ii  31663  pjcji  31665  pjocini  31679  mayetes3i  31710  pjssdif2i  32155  pjssdif1i  32156  pjin1i  32173  pjin3i  32175  pjclem1  32176  pjclem4  32180  pjci  32181  pjcmul1i  32182  pjcmul2i  32183  pj3si  32188  pj3cor1i  32190  stji1i  32223  stm1i  32224  stm1add3i  32228  jpi  32251  golem1  32252  golem2  32253  goeqi  32254  stcltrlem2  32258  mdslle1i  32298  mdslj1i  32300  mdslj2i  32301  mdsl1i  32302  mdsl2i  32303  mdsl2bi  32304  cvmdi  32305  mdslmd1lem1  32306  mdslmd1lem2  32307  mdslmd1i  32310  mdsldmd1i  32312  mdslmd3i  32313  mdslmd4i  32314  csmdsymi  32315  mdexchi  32316  hatomistici  32343  chrelat2i  32346  cvexchlem  32349  cvexchi  32350  sumdmdlem2  32400  mdcompli  32410  dmdcompli  32411  mddmdin0i  32412