Theorem chincli 31217

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3488	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3488	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4979	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4818	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 229	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4776	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31088	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2824	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  {cpr 4625  ∩ cint 4943   C_ℋ cch 30686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-1cn 11167  ax-addcl 11169  ax-hilex 30756  ax-hfvadd 30757  ax-hv0cl 30760  ax-hfvmul 30762

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-map 8821  df-nn 12214  df-sh 30964  df-ch 30978

This theorem is referenced by:  chdmm1i  31234  chdmj1i  31238  chincl  31256  ledii  31293  lejdii  31295  lejdiri  31296  pjoml2i  31342  pjoml3i  31343  pjoml4i  31344  pjoml6i  31346  cmcmlem  31348  cmcm2i  31350  cmbr2i  31353  cmbr3i  31357  cmm1i  31363  fh3i  31380  fh4i  31381  cm2mi  31383  qlaxr3i  31393  osumcori  31400  osumcor2i  31401  spansnm0i  31407  5oai  31418  3oalem5  31423  3oalem6  31424  3oai  31425  pjssmii  31438  pjssge0ii  31439  pjcji  31441  pjocini  31455  mayetes3i  31486  pjssdif2i  31931  pjssdif1i  31932  pjin1i  31949  pjin3i  31951  pjclem1  31952  pjclem4  31956  pjci  31957  pjcmul1i  31958  pjcmul2i  31959  pj3si  31964  pj3cor1i  31966  stji1i  31999  stm1i  32000  stm1add3i  32004  jpi  32027  golem1  32028  golem2  32029  goeqi  32030  stcltrlem2  32034  mdslle1i  32074  mdslj1i  32076  mdslj2i  32077  mdsl1i  32078  mdsl2i  32079  mdsl2bi  32080  cvmdi  32081  mdslmd1lem1  32082  mdslmd1lem2  32083  mdslmd1i  32086  mdsldmd1i  32088  mdslmd3i  32089  mdslmd4i  32090  csmdsymi  32091  mdexchi  32092  hatomistici  32119  chrelat2i  32122  cvexchlem  32125  cvexchi  32126  sumdmdlem2  32176  mdcompli  32186  dmdcompli  32187  mddmdin0i  32188