Theorem chincli 31479

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3503	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3503	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4982	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4820	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4777	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31350	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2838	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {cpr 4628  ∩ cint 4946   C_ℋ cch 30948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hv0cl 31022  ax-hfvmul 31024

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-map 8868  df-nn 12267  df-sh 31226  df-ch 31240

This theorem is referenced by:  chdmm1i  31496  chdmj1i  31500  chincl  31518  ledii  31555  lejdii  31557  lejdiri  31558  pjoml2i  31604  pjoml3i  31605  pjoml4i  31606  pjoml6i  31608  cmcmlem  31610  cmcm2i  31612  cmbr2i  31615  cmbr3i  31619  cmm1i  31625  fh3i  31642  fh4i  31643  cm2mi  31645  qlaxr3i  31655  osumcori  31662  osumcor2i  31663  spansnm0i  31669  5oai  31680  3oalem5  31685  3oalem6  31686  3oai  31687  pjssmii  31700  pjssge0ii  31701  pjcji  31703  pjocini  31717  mayetes3i  31748  pjssdif2i  32193  pjssdif1i  32194  pjin1i  32211  pjin3i  32213  pjclem1  32214  pjclem4  32218  pjci  32219  pjcmul1i  32220  pjcmul2i  32221  pj3si  32226  pj3cor1i  32228  stji1i  32261  stm1i  32262  stm1add3i  32266  jpi  32289  golem1  32290  golem2  32291  goeqi  32292  stcltrlem2  32296  mdslle1i  32336  mdslj1i  32338  mdslj2i  32339  mdsl1i  32340  mdsl2i  32341  mdsl2bi  32342  cvmdi  32343  mdslmd1lem1  32344  mdslmd1lem2  32345  mdslmd1i  32348  mdsldmd1i  32350  mdslmd3i  32351  mdslmd4i  32352  csmdsymi  32353  mdexchi  32354  hatomistici  32381  chrelat2i  32384  cvexchlem  32387  cvexchi  32388  sumdmdlem2  32438  mdcompli  32448  dmdcompli  32449  mddmdin0i  32450