Theorem chincli 31790

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3477	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3477	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4948	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4787	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 233	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4744	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31661	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2860	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {cpr 4592  ∩ cint 4913   C_ℋ cch 31259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-1cn 11159  ax-addcl 11161  ax-hilex 31329  ax-hfvadd 31330  ax-hv0cl 31333  ax-hfvmul 31335

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-map 8827  df-nn 12235  df-sh 31537  df-ch 31551

This theorem is referenced by:  chdmm1i  31807  chdmj1i  31811  chincl  31829  ledii  31866  lejdii  31868  lejdiri  31869  pjoml2i  31915  pjoml3i  31916  pjoml4i  31917  pjoml6i  31919  cmcmlem  31921  cmcm2i  31923  cmbr2i  31926  cmbr3i  31930  cmm1i  31936  fh3i  31953  fh4i  31954  cm2mi  31956  qlaxr3i  31966  osumcori  31973  osumcor2i  31974  spansnm0i  31980  5oai  31991  3oalem5  31996  3oalem6  31997  3oai  31998  pjssmii  32011  pjssge0ii  32012  pjcji  32014  pjocini  32028  mayetes3i  32059  pjssdif2i  32504  pjssdif1i  32505  pjin1i  32522  pjin3i  32524  pjclem1  32525  pjclem4  32529  pjci  32530  pjcmul1i  32531  pjcmul2i  32532  pj3si  32537  pj3cor1i  32539  stji1i  32572  stm1i  32573  stm1add3i  32577  jpi  32600  golem1  32601  golem2  32602  goeqi  32603  stcltrlem2  32607  mdslle1i  32647  mdslj1i  32649  mdslj2i  32650  mdsl1i  32651  mdsl2i  32652  mdsl2bi  32653  cvmdi  32654  mdslmd1lem1  32655  mdslmd1lem2  32656  mdslmd1i  32659  mdsldmd1i  32661  mdslmd3i  32662  mdslmd4i  32663  csmdsymi  32664  mdexchi  32665  hatomistici  32692  chrelat2i  32695  cvexchlem  32698  cvexchi  32699  sumdmdlem2  32749  mdcompli  32759  dmdcompli  32760  mddmdin0i  32761