Theorem chincli 31535

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3463	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3463	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4937	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4776	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4734	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31406	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2833	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {cpr 4582  ∩ cint 4902   C_ℋ cch 31004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-1cn 11084  ax-addcl 11086  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hv0cl 31078  ax-hfvmul 31080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-map 8765  df-nn 12146  df-sh 31282  df-ch 31296

This theorem is referenced by:  chdmm1i  31552  chdmj1i  31556  chincl  31574  ledii  31611  lejdii  31613  lejdiri  31614  pjoml2i  31660  pjoml3i  31661  pjoml4i  31662  pjoml6i  31664  cmcmlem  31666  cmcm2i  31668  cmbr2i  31671  cmbr3i  31675  cmm1i  31681  fh3i  31698  fh4i  31699  cm2mi  31701  qlaxr3i  31711  osumcori  31718  osumcor2i  31719  spansnm0i  31725  5oai  31736  3oalem5  31741  3oalem6  31742  3oai  31743  pjssmii  31756  pjssge0ii  31757  pjcji  31759  pjocini  31773  mayetes3i  31804  pjssdif2i  32249  pjssdif1i  32250  pjin1i  32267  pjin3i  32269  pjclem1  32270  pjclem4  32274  pjci  32275  pjcmul1i  32276  pjcmul2i  32277  pj3si  32282  pj3cor1i  32284  stji1i  32317  stm1i  32318  stm1add3i  32322  jpi  32345  golem1  32346  golem2  32347  goeqi  32348  stcltrlem2  32352  mdslle1i  32392  mdslj1i  32394  mdslj2i  32395  mdsl1i  32396  mdsl2i  32397  mdsl2bi  32398  cvmdi  32399  mdslmd1lem1  32400  mdslmd1lem2  32401  mdslmd1i  32404  mdsldmd1i  32406  mdslmd3i  32407  mdslmd4i  32408  csmdsymi  32409  mdexchi  32410  hatomistici  32437  chrelat2i  32440  cvexchlem  32443  cvexchi  32444  sumdmdlem2  32494  mdcompli  32504  dmdcompli  32505  mddmdin0i  32506