Theorem chincli 31556

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3455	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3455	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4919	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4758	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 231	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4716	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31427	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2837	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  {cpr 4564  ∩ cint 4884   C_ℋ cch 31025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-1cn 11094  ax-addcl 11096  ax-hilex 31095  ax-hfvadd 31096  ax-hv0cl 31099  ax-hfvmul 31101

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-map 8772  df-nn 12173  df-sh 31303  df-ch 31317

This theorem is referenced by:  chdmm1i  31573  chdmj1i  31577  chincl  31595  ledii  31632  lejdii  31634  lejdiri  31635  pjoml2i  31681  pjoml3i  31682  pjoml4i  31683  pjoml6i  31685  cmcmlem  31687  cmcm2i  31689  cmbr2i  31692  cmbr3i  31696  cmm1i  31702  fh3i  31719  fh4i  31720  cm2mi  31722  qlaxr3i  31732  osumcori  31739  osumcor2i  31740  spansnm0i  31746  5oai  31757  3oalem5  31762  3oalem6  31763  3oai  31764  pjssmii  31777  pjssge0ii  31778  pjcji  31780  pjocini  31794  mayetes3i  31825  pjssdif2i  32270  pjssdif1i  32271  pjin1i  32288  pjin3i  32290  pjclem1  32291  pjclem4  32295  pjci  32296  pjcmul1i  32297  pjcmul2i  32298  pj3si  32303  pj3cor1i  32305  stji1i  32338  stm1i  32339  stm1add3i  32343  jpi  32366  golem1  32367  golem2  32368  goeqi  32369  stcltrlem2  32373  mdslle1i  32413  mdslj1i  32415  mdslj2i  32416  mdsl1i  32417  mdsl2i  32418  mdsl2bi  32419  cvmdi  32420  mdslmd1lem1  32421  mdslmd1lem2  32422  mdslmd1i  32425  mdsldmd1i  32427  mdslmd3i  32428  mdslmd4i  32429  csmdsymi  32430  mdexchi  32431  hatomistici  32458  chrelat2i  32461  cvexchlem  32464  cvexchi  32465  sumdmdlem2  32515  mdcompli  32525  dmdcompli  32526  mddmdin0i  32527