Theorem chincli 31531

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3452	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3452	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4924	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4763	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4721	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31402	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2833	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {cpr 4569  ∩ cint 4889   C_ℋ cch 31000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hv0cl 31074  ax-hfvmul 31076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-map 8775  df-nn 12175  df-sh 31278  df-ch 31292

This theorem is referenced by:  chdmm1i  31548  chdmj1i  31552  chincl  31570  ledii  31607  lejdii  31609  lejdiri  31610  pjoml2i  31656  pjoml3i  31657  pjoml4i  31658  pjoml6i  31660  cmcmlem  31662  cmcm2i  31664  cmbr2i  31667  cmbr3i  31671  cmm1i  31677  fh3i  31694  fh4i  31695  cm2mi  31697  qlaxr3i  31707  osumcori  31714  osumcor2i  31715  spansnm0i  31721  5oai  31732  3oalem5  31737  3oalem6  31738  3oai  31739  pjssmii  31752  pjssge0ii  31753  pjcji  31755  pjocini  31769  mayetes3i  31800  pjssdif2i  32245  pjssdif1i  32246  pjin1i  32263  pjin3i  32265  pjclem1  32266  pjclem4  32270  pjci  32271  pjcmul1i  32272  pjcmul2i  32273  pj3si  32278  pj3cor1i  32280  stji1i  32313  stm1i  32314  stm1add3i  32318  jpi  32341  golem1  32342  golem2  32343  goeqi  32344  stcltrlem2  32348  mdslle1i  32388  mdslj1i  32390  mdslj2i  32391  mdsl1i  32392  mdsl2i  32393  mdsl2bi  32394  cvmdi  32395  mdslmd1lem1  32396  mdslmd1lem2  32397  mdslmd1i  32400  mdsldmd1i  32402  mdslmd3i  32403  mdslmd4i  32404  csmdsymi  32405  mdexchi  32406  hatomistici  32433  chrelat2i  32436  cvexchlem  32439  cvexchi  32440  sumdmdlem2  32490  mdcompli  32500  dmdcompli  32501  mddmdin0i  32502