Theorem chincli 32067

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3472	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3472	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4941	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4775	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 233	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4734	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31938	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2857	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  {cpr 4586  ∩ cint 4906   C_ℋ cch 31536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-1cn 11261  ax-addcl 11263  ax-hilex 31606  ax-hfvadd 31607  ax-hv0cl 31610  ax-hfvmul 31612

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-map 8852  df-nn 12339  df-sh 31814  df-ch 31828

This theorem is used by:  chdmm1i  32084  chdmj1i  32088  chincl  32106  ledii  32143  lejdii  32145  lejdiri  32146  pjoml2i  32192  pjoml3i  32193  pjoml4i  32194  pjoml6i  32196  cmcmlem  32198  cmcm2i  32200  cmbr2i  32203  cmbr3i  32207  cmm1i  32213  fh3i  32230  fh4i  32231  cm2mi  32233  qlaxr3i  32243  osumcori  32250  osumcor2i  32251  spansnm0i  32257  5oai  32268  3oalem5  32273  3oalem6  32274  3oai  32275  pjssmii  32288  pjssge0ii  32289  pjcji  32291  pjocini  32305  mayetes3i  32336  pjssdif2i  32781  pjssdif1i  32782  pjin1i  32799  pjin3i  32801  pjclem1  32802  pjclem4  32806  pjci  32807  pjcmul1i  32808  pjcmul2i  32809  pj3si  32814  pj3cor1i  32816  stji1i  32849  stm1i  32850  stm1add3i  32854  jpi  32877  golem1  32878  golem2  32879  goeqi  32880  stcltrlem2  32884  mdslle1i  32924  mdslj1i  32926  mdslj2i  32927  mdsl1i  32928  mdsl2i  32929  mdsl2bi  32930  cvmdi  32931  mdslmd1lem1  32932  mdslmd1lem2  32933  mdslmd1i  32936  mdsldmd1i  32938  mdslmd3i  32939  mdslmd4i  32940  csmdsymi  32941  mdexchi  32942  hatomistici  32969  chrelat2i  32972  cvexchlem  32975  cvexchi  32976  sumdmdlem2  33026  mdcompli  33036  dmdcompli  33037  mddmdin0i  33038