Theorem chincli 31396

Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chincli	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	elexi 3473	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	elexi 3473	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	2, 4	intpr 4949	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵)
6	1, 3	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )
7	2, 4	prss 4787	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ )
8	6, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ
9	2	prnz 4744	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
10	8, 9	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ Cℋ ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
11	10	chintcli 31267	. 2 ⊢ ∩ {𝐴, 𝐵} ∈ Cℋ
12	5, 11	eqeltrri 2826	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {cpr 4594  ∩ cint 4913   C_ℋ cch 30865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addcl 11135  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hv0cl 30939  ax-hfvmul 30941

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-map 8804  df-nn 12194  df-sh 31143  df-ch 31157

This theorem is referenced by:  chdmm1i  31413  chdmj1i  31417  chincl  31435  ledii  31472  lejdii  31474  lejdiri  31475  pjoml2i  31521  pjoml3i  31522  pjoml4i  31523  pjoml6i  31525  cmcmlem  31527  cmcm2i  31529  cmbr2i  31532  cmbr3i  31536  cmm1i  31542  fh3i  31559  fh4i  31560  cm2mi  31562  qlaxr3i  31572  osumcori  31579  osumcor2i  31580  spansnm0i  31586  5oai  31597  3oalem5  31602  3oalem6  31603  3oai  31604  pjssmii  31617  pjssge0ii  31618  pjcji  31620  pjocini  31634  mayetes3i  31665  pjssdif2i  32110  pjssdif1i  32111  pjin1i  32128  pjin3i  32130  pjclem1  32131  pjclem4  32135  pjci  32136  pjcmul1i  32137  pjcmul2i  32138  pj3si  32143  pj3cor1i  32145  stji1i  32178  stm1i  32179  stm1add3i  32183  jpi  32206  golem1  32207  golem2  32208  goeqi  32209  stcltrlem2  32213  mdslle1i  32253  mdslj1i  32255  mdslj2i  32256  mdsl1i  32257  mdsl2i  32258  mdsl2bi  32259  cvmdi  32260  mdslmd1lem1  32261  mdslmd1lem2  32262  mdslmd1i  32265  mdsldmd1i  32267  mdslmd3i  32268  mdslmd4i  32269  csmdsymi  32270  mdexchi  32271  hatomistici  32298  chrelat2i  32301  cvexchlem  32304  cvexchi  32305  sumdmdlem2  32355  mdcompli  32365  dmdcompli  32366  mddmdin0i  32367