Theorem quslsm 32547

Description: Express the image by the quotient map in terms of direct sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslsm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
quslsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
quslsm.n	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
quslsm.s	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
quslsm	⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) = ({𝑋} ⊕ 𝑆))

Proof of Theorem quslsm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslsm.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgrcl 19011	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		quslsm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 19007	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
8		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
10	4, 7, 8, 9	eqgfval 19056	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ~QG 𝑆) = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)})
11	3, 6, 10	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑆) = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)})
12		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)
13		oveq2 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) → (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)))
14	13	eqeq1d 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) → ((𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗 ↔ (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)) = 𝑗))
15	14	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)) → ((𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗 ↔ (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)) = 𝑗))
16	3	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
17		vex 3479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑖 ∈ V
18		vex 3479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑗 ∈ V
19	17, 18	prss 4824	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) ↔ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵)
20	19	bicomi 223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵))
21	20	simplbi 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 → 𝑖 ∈ 𝐵)
22	21	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → 𝑖 ∈ 𝐵)
23		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	4, 8, 23, 7	grprinv 18875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → (𝑖(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑖)) = (0g‘𝐺))
25	16, 22, 24	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → (𝑖(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑖)) = (0g‘𝐺))
26	25	oveq1d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → ((𝑖(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑖))(+g‘𝐺)𝑗) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑗))
27	4, 7	grpinvcl 18872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑖) ∈ 𝐵)
28	16, 22, 27	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑖) ∈ 𝐵)
29	20	simprbi 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 → 𝑗 ∈ 𝐵)
30	29	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → 𝑗 ∈ 𝐵)
31	4, 8	grpass 18828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑖) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → ((𝑖(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑖))(+g‘𝐺)𝑗) = (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)))
32	16, 22, 28, 30, 31	syl13anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → ((𝑖(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑖))(+g‘𝐺)𝑗) = (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)))
33	4, 8, 23	grplid 18852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑗) = 𝑗)
34	16, 30, 33	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑗) = 𝑗)
35	26, 32, 34	3eqtr3d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)) = 𝑗)
36	35	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆) → (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)) = 𝑗)
37	12, 15, 36	rspcedvd 3615	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆) → ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)
38		oveq2 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗 → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)) = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗))
39	38	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)) = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗))
40		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝜑)
41	22	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑖 ∈ 𝐵)
42	6	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
43	42	sselda 3983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝐵)
44	3	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
45		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ 𝐵)
46	4, 8, 23, 7	grplinv 18874	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑖) = (0g‘𝐺))
47	44, 45, 46	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑖) = (0g‘𝐺))
48	47	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑖)(+g‘𝐺)𝑘) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑘))
49	44, 45, 27	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑖) ∈ 𝐵)
50		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
51	4, 8	grpass 18828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖) ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑖)(+g‘𝐺)𝑘) = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)))
52	44, 49, 45, 50, 51	syl13anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑖)(+g‘𝐺)𝑘) = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)))
53	4, 8, 23	grplid 18852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑘)
54	44, 50, 53	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑘)
55	48, 52, 54	3eqtr3d 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)) = 𝑘)
56	40, 41, 43, 55	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)) = 𝑘)
57	56	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)) = 𝑘)
58	39, 57	eqtr3d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) = 𝑘)
59		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑆)
60	58, 59	eqeltrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)
61	60	r19.29an 3159	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)
62	37, 61	impbida 800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → ((((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗))
63	62	pm5.32da 580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆) ↔ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)))
64	63	opabbidv 5215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)} = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)})
65	11, 64	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑆) = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)})
66	65	eceq2d 8745	. 2 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) = [𝑋]{⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)})
67		quslsm.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
68		eqid 2733	. . 3 ⊢ {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)} = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)}
69	3	grpmndd 18832	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
70		quslsm.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
71	4, 8, 67, 68, 69, 6, 70	lsmsnorb2 32533	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ⊕ 𝑆) = [𝑋]{⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)})
72	66, 71	eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) = ({𝑋} ⊕ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631  {copab 5211  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  [cec 8701  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385  Grpcgrp 18819  inv_gcminusg 18820  SubGrpcsubg 19000   ~_QG cqg 19002  LSSumclsm 19502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-ec 8705  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-subg 19003  df-eqg 19005  df-oppg 19210  df-lsm 19504

This theorem is referenced by:  qusbas2  32548  qus0g  32549  qusima  32550  nsgqus0  32552  nsgmgclem  32553  nsgqusf1olem1  32555  nsgqusf1olem2  32556  nsgqusf1olem3  32557