Theorem quslsm 33480

Description: Express the image by the quotient map in terms of direct sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslsm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
quslsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
quslsm.n	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
quslsm.s	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
quslsm	⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) = ({𝑋} ⊕ 𝑆))

Proof of Theorem quslsm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslsm.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgrcl 19098	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		quslsm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 19094	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
10	4, 7, 8, 9	eqgfval 19142	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ~QG 𝑆) = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)})
11	3, 6, 10	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑆) = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)})
12		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)
13		oveq2 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) → (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)))
14	13	eqeq1d 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) → ((𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗 ↔ (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)) = 𝑗))
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)) → ((𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗 ↔ (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)) = 𝑗))
16	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
17		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑖 ∈ V
18		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑗 ∈ V
19	17, 18	prss 4764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) ↔ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵)
20	19	bicomi 224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵))
21	20	simplbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 → 𝑖 ∈ 𝐵)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → 𝑖 ∈ 𝐵)
23		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	4, 8, 23, 7	grprinv 18957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → (𝑖(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑖)) = (0g‘𝐺))
25	16, 22, 24	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → (𝑖(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑖)) = (0g‘𝐺))
26	25	oveq1d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → ((𝑖(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑖))(+g‘𝐺)𝑗) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑗))
27	4, 7	grpinvcl 18954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑖) ∈ 𝐵)
28	16, 22, 27	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑖) ∈ 𝐵)
29	20	simprbi 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 → 𝑗 ∈ 𝐵)
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → 𝑗 ∈ 𝐵)
31	4, 8	grpass 18909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑖) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → ((𝑖(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑖))(+g‘𝐺)𝑗) = (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)))
32	16, 22, 28, 30, 31	syl13anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → ((𝑖(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑖))(+g‘𝐺)𝑗) = (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)))
33	4, 8, 23	grplid 18934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑗) = 𝑗)
34	16, 30, 33	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑗) = 𝑗)
35	26, 32, 34	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)) = 𝑗)
36	35	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆) → (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)) = 𝑗)
37	12, 15, 36	rspcedvd 3567	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆) → ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)
38		oveq2 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗 → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)) = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)) = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗))
40		simpll 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝜑)
41	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑖 ∈ 𝐵)
42	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
43	42	sselda 3922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝐵)
44	3	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
45		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ 𝐵)
46	4, 8, 23, 7	grplinv 18956	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑖) = (0g‘𝐺))
47	44, 45, 46	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑖) = (0g‘𝐺))
48	47	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑖)(+g‘𝐺)𝑘) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑘))
49	44, 45, 27	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑖) ∈ 𝐵)
50		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
51	4, 8	grpass 18909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖) ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑖)(+g‘𝐺)𝑘) = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)))
52	44, 49, 45, 50, 51	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑖)(+g‘𝐺)𝑘) = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)))
53	4, 8, 23	grplid 18934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑘)
54	44, 50, 53	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑘)
55	48, 52, 54	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)) = 𝑘)
56	40, 41, 43, 55	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)) = 𝑘)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)) = 𝑘)
58	39, 57	eqtr3d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) = 𝑘)
59		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑆)
60	58, 59	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)
61	60	r19.29an 3142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)
62	37, 61	impbida 801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → ((((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗))
63	62	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆) ↔ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)))
64	63	opabbidv 5152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)} = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)})
65	11, 64	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑆) = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)})
66	65	eceq2d 8680	. 2 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) = [𝑋]{⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)})
67		quslsm.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
68		eqid 2737	. . 3 ⊢ {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)} = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)}
69	3	grpmndd 18913	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
70		quslsm.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
71	4, 8, 67, 68, 69, 6, 70	lsmsnorb2 33467	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ⊕ 𝑆) = [𝑋]{⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)})
72	66, 71	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) = ({𝑋} ⊕ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570  {copab 5148  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  [cec 8634  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901  SubGrpcsubg 19087   ~_QG cqg 19089  LSSumclsm 19600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-ec 8638  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-subg 19090  df-eqg 19092  df-oppg 19312  df-lsm 19602

This theorem is referenced by:  qusbas2  33481  qus0g  33482  qusima  33483  nsgqus0  33485  nsgmgclem  33486  nsgqusf1olem1  33488  nsgqusf1olem2  33489  nsgqusf1olem3  33490