Theorem quslsm 33383

Description: Express the image by the quotient map in terms of direct sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslsm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
quslsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
quslsm.n	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
quslsm.s	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
quslsm	⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) = ({𝑋} ⊕ 𝑆))

Proof of Theorem quslsm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslsm.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgrcl 19070	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		quslsm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 19066	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
8		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
10	4, 7, 8, 9	eqgfval 19115	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺 ~QG 𝑆) = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)})
11	3, 6, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑆) = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)})
12		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)
13		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) → (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)))
14	13	eqeq1d 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) → ((𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗 ↔ (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)) = 𝑗))
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)) → ((𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗 ↔ (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)) = 𝑗))
16	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
17		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑖 ∈ V
18		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑗 ∈ V
19	17, 18	prss 4787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) ↔ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵)
20	19	bicomi 224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵))
21	20	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 → 𝑖 ∈ 𝐵)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → 𝑖 ∈ 𝐵)
23		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	4, 8, 23, 7	grprinv 18929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → (𝑖(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑖)) = (0g‘𝐺))
25	16, 22, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → (𝑖(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑖)) = (0g‘𝐺))
26	25	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → ((𝑖(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑖))(+g‘𝐺)𝑗) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑗))
27	4, 7	grpinvcl 18926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑖) ∈ 𝐵)
28	16, 22, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑖) ∈ 𝐵)
29	20	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 → 𝑗 ∈ 𝐵)
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → 𝑗 ∈ 𝐵)
31	4, 8	grpass 18881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑖 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑖) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → ((𝑖(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑖))(+g‘𝐺)𝑗) = (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)))
32	16, 22, 28, 30, 31	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → ((𝑖(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑖))(+g‘𝐺)𝑗) = (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)))
33	4, 8, 23	grplid 18906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑗) = 𝑗)
34	16, 30, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑗) = 𝑗)
35	26, 32, 34	3eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)) = 𝑗)
36	35	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆) → (𝑖(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗)) = 𝑗)
37	12, 15, 36	rspcedvd 3593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆) → ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)
38		oveq2 7398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗 → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)) = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)) = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗))
40		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝜑)
41	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑖 ∈ 𝐵)
42	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
43	42	sselda 3949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝐵)
44	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
45		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑖 ∈ 𝐵)
46	4, 8, 23, 7	grplinv 18928	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑖 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑖) = (0g‘𝐺))
47	44, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑖) = (0g‘𝐺))
48	47	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑖)(+g‘𝐺)𝑘) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑘))
49	44, 45, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑖) ∈ 𝐵)
50		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝑘 ∈ 𝐵)
51	4, 8	grpass 18881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖) ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑖)(+g‘𝐺)𝑘) = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)))
52	44, 49, 45, 50, 51	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑖)(+g‘𝐺)𝑘) = (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)))
53	4, 8, 23	grplid 18906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑘)
54	44, 50, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑘)
55	48, 52, 54	3eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)) = 𝑘)
56	40, 41, 43, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)) = 𝑘)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)(𝑖(+g‘𝐺)𝑘)) = 𝑘)
58	39, 57	eqtr3d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) = 𝑘)
59		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑆)
60	58, 59	eqeltrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)
61	60	r19.29an 3138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗) → (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)
62	37, 61	impbida 800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵) → ((((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗))
63	62	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆) ↔ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)))
64	63	opabbidv 5176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑖)(+g‘𝐺)𝑗) ∈ 𝑆)} = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)})
65	11, 64	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑆) = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)})
66	65	eceq2d 8717	. 2 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) = [𝑋]{⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)})
67		quslsm.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
68		eqid 2730	. . 3 ⊢ {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)} = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)}
69	3	grpmndd 18885	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
70		quslsm.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
71	4, 8, 67, 68, 69, 6, 70	lsmsnorb2 33370	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ⊕ 𝑆) = [𝑋]{⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝑆 (𝑖(+g‘𝐺)𝑘) = 𝑗)})
72	66, 71	eqtr4d 2768	1 ⊢ (𝜑 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) = ({𝑋} ⊕ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  {csn 4592  {cpr 4594  {copab 5172  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  [cec 8672  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873  SubGrpcsubg 19059   ~_QG cqg 19061  LSSumclsm 19571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-ec 8676  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-eqg 19064  df-oppg 19285  df-lsm 19573

This theorem is referenced by:  qusbas2  33384  qus0g  33385  qusima  33386  nsgqus0  33388  nsgmgclem  33389  nsgqusf1olem1  33391  nsgqusf1olem2  33392  nsgqusf1olem3  33393