MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem4 26039
Description: Lemma for axlowdim 26055. Set up a particular constant function. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem4.1 𝐴 ∈ ℝ
axlowdimlem4.2 𝐵 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem4 {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ

Proof of Theorem axlowdimlem4
StepHypRef Expression
1 1ne2 11507 . . . 4 1 ≠ 2
2 1ex 10321 . . . . 5 1 ∈ V
3 2ex 11376 . . . . 5 2 ∈ V
4 axlowdimlem4.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
54elexi 3407 . . . . 5 𝐴 ∈ V
6 axlowdimlem4.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
76elexi 3407 . . . . 5 𝐵 ∈ V
82, 3, 5, 7fpr 6645 . . . 4 (1 ≠ 2 → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
91, 8ax-mp 5 . . 3 {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵}
10 1z 11673 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
11 fzpr 12619 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
13 df-2 11364 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
1413oveq2i 6885 . . . . 5 (1...2) = (1...(1 + 1))
1513preq2i 4463 . . . . 5 {1, 2} = {1, (1 + 1)}
1612, 14, 153eqtr4i 2838 . . . 4 (1...2) = {1, 2}
1716feq2i 6248 . . 3 ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶{𝐴, 𝐵} ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
189, 17mpbir 222 . 2 {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶{𝐴, 𝐵}
194, 6pm3.2i 458 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)
205, 7prss 4541 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
2119, 20mpbi 221 . 2 {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ
22 fss 6269 . 2 (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶{𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ)
2318, 21, 22mp2an 675 1 {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wss 3769  {cpr 4372  cop 4376  wf 6097  (class class class)co 6874  cr 10220  1c1 10222   + caddc 10224  2c2 11356  cz 11643  ...cfz 12549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-2 11364  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-fz 12550
This theorem is referenced by:  axlowdimlem5  26040  axlowdimlem6  26041  axlowdimlem17  26052
  Copyright terms: Public domain W3C validator