MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem4 26418
Description: Lemma for axlowdim 26434. Set up a particular constant function. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem4.1 𝐴 ∈ ℝ
axlowdimlem4.2 𝐵 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem4 {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ

Proof of Theorem axlowdimlem4
StepHypRef Expression
1 1ne2 11699 . . . 4 1 ≠ 2
2 1ex 10490 . . . . 5 1 ∈ V
3 2ex 11568 . . . . 5 2 ∈ V
4 axlowdimlem4.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
54elexi 3459 . . . . 5 𝐴 ∈ V
6 axlowdimlem4.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
76elexi 3459 . . . . 5 𝐵 ∈ V
82, 3, 5, 7fpr 6786 . . . 4 (1 ≠ 2 → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
91, 8ax-mp 5 . . 3 {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵}
10 fz12pr 12818 . . . 4 (1...2) = {1, 2}
1110feq2i 6381 . . 3 ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶{𝐴, 𝐵} ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
129, 11mpbir 232 . 2 {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶{𝐴, 𝐵}
134, 6pm3.2i 471 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)
145, 7prss 4666 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
1513, 14mpbi 231 . 2 {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ
16 fss 6402 . 2 (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶{𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ)
1712, 15, 16mp2an 688 1 {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  wcel 2083  wne 2986  wss 3865  {cpr 4480  cop 4484  wf 6228  (class class class)co 7023  cr 10389  1c1 10391  2c2 11546  ...cfz 12746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747
This theorem is referenced by:  axlowdimlem5  26419  axlowdimlem6  26420  axlowdimlem17  26431
  Copyright terms: Public domain W3C validator