Theorem axlowdimlem4 27313

Description: Lemma for axlowdim 27329. Set up a particular constant function. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axlowdimlem4.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
axlowdimlem4.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem4	⊢ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ

Proof of Theorem axlowdimlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne2 12181	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 2
2		1ex 10971	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
3		2ex 12050	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
4		axlowdimlem4.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
5	4	elexi 3451	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
6		axlowdimlem4.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
7	6	elexi 3451	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
8	2, 3, 5, 7	fpr 7026	. . . 4 ⊢ (1 ≠ 2 → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
9	1, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵}
10		fz12pr 13313	. . . 4 ⊢ (1...2) = {1, 2}
11	10	feq2i 6592	. . 3 ⊢ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶{𝐴, 𝐵} ↔ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:{1, 2}⟶{𝐴, 𝐵})
12	9, 11	mpbir 230	. 2 ⊢ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶{𝐴, 𝐵}
13	4, 6	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)
14	5, 7	prss 4753	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
15	13, 14	mpbi 229	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ
16		fss 6617	. 2 ⊢ (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶{𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ)
17	12, 15, 16	mp2an 689	1 ⊢ {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3887  {cpr 4563  ⟨cop 4567  ⟶wf 6429  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872  2c2 12028  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  axlowdimlem5  27314  axlowdimlem6  27315  axlowdimlem17  27326