Theorem isnzr2hash 20667

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. Analogous to isnzr2 20665. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2hash.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isnzr2hash	⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem isnzr2hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 20661	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4		isnzr2hash.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4, 1	ringidcl 20393	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6	4, 2	ring0cl 20395	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
7		1xr 11283	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 1 ∈ ℝ*)
9		prex 5411	. . . . . . . 8 ⊢ {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ∈ V
10		hashxrcl 14411	. . . . . . . 8 ⊢ ({(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ∈ V → (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
11	9, 10	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
12	4	fvexi 6899	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
13		hashxrcl 14411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
14	12, 13	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
15		1lt2 12428	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
16		hashprg 14449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) = 2))
17	16	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) = 2)
18	15, 17	breqtrrid 5151	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 1 < (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}))
19		fvex 6898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
20		fvex 6898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
21	19, 20	prss 4788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ↔ {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ⊆ 𝐵)
22	21	birani 509	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ⊆ 𝐵)
23		hashss 14463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ⊆ 𝐵) → (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ≤ (♯‘𝐵))
24	12, 22, 23	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ≤ (♯‘𝐵))
25	8, 11, 14, 18, 24	xrltletrd 13202	. . . . . 6 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 1 < (♯‘𝐵))
26	25	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → 1 < (♯‘𝐵)))
27	5, 6, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → 1 < (♯‘𝐵)))
28	27	imdistani 579	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))
29		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
30	4, 1, 2	ring1ne0 20428	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
31	29, 30	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
32	28, 31	impbii 212	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))
33	3, 32	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  {cpr 4593   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  1c1 11116  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258   ≤ cle 11259  2c2 12310  ♯chash 14384  Basecbs 17291  0_gc0g 17514  1_rcur 20307  Ringcrg 20359  NzRingcnzr 20659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-hash 14385  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-nzr 20660

This theorem is used by:  0ringnnzr  20673  prmidl0  21528  qsidomlem1  21530  krull  33825  el0ldepsnzr  49304