MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnzr2hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnzr2hash 20037
Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. Analogous to isnzr2 20036. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2hash.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
isnzr2hash (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem isnzr2hash
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2 eqid 2824 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
31, 2isnzr 20032 . 2 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
4 isnzr2hash.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
54, 1ringidcl 19321 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
64, 2ring0cl 19322 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
7 1xr 10698 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 1 ∈ ℝ*)
9 prex 5320 . . . . . . . 8 {(1r𝑅), (0g𝑅)} ∈ V
10 hashxrcl 13723 . . . . . . . 8 ({(1r𝑅), (0g𝑅)} ∈ V → (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) ∈ ℝ*)
119, 10mp1i 13 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) ∈ ℝ*)
124fvexi 6675 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
13 hashxrcl 13723 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
1412, 13mp1i 13 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
15 1lt2 11805 . . . . . . . 8 1 < 2
16 hashprg 13761 . . . . . . . . 9 (((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) ↔ (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) = 2))
1716biimpa 480 . . . . . . . 8 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) = 2)
1815, 17breqtrrid 5090 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 1 < (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}))
19 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵))
20 fvex 6674 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) ∈ V
21 fvex 6674 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) ∈ V
2220, 21prss 4737 . . . . . . . . 9 (((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ↔ {(1r𝑅), (0g𝑅)} ⊆ 𝐵)
2319, 22sylib 221 . . . . . . . 8 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → {(1r𝑅), (0g𝑅)} ⊆ 𝐵)
24 hashss 13775 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ V ∧ {(1r𝑅), (0g𝑅)} ⊆ 𝐵) → (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) ≤ (♯‘𝐵))
2512, 23, 24sylancr 590 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) ≤ (♯‘𝐵))
268, 11, 14, 18, 25xrltletrd 12551 . . . . . 6 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 1 < (♯‘𝐵))
2726ex 416 . . . . 5 (((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) → 1 < (♯‘𝐵)))
285, 6, 27syl2anc 587 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) → 1 < (♯‘𝐵)))
2928imdistani 572 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))
30 simpl 486 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
314, 1, 2ring1ne0 19344 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
3230, 31jca 515 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
3329, 32impbii 212 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))
343, 33bitri 278 1 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  Vcvv 3480  wss 3919  {cpr 4552   class class class wbr 5052  cfv 6343  1c1 10536  *cxr 10672   < clt 10673  cle 10674  2c2 11689  chash 13695  Basecbs 16483  0gc0g 16713  1rcur 19251  Ringcrg 19297  NzRingcnzr 20030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-hash 13696  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-nzr 20031
This theorem is referenced by:  0ringnnzr  20042  qsidomlem1  31006  krull  31021  el0ldepsnzr  44802
  Copyright terms: Public domain W3C validator