Theorem isnzr2hash 20429

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. Analogous to isnzr2 20428. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2hash.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isnzr2hash	⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem isnzr2hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 20424	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4		isnzr2hash.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4, 1	ringidcl 20178	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6	4, 2	ring0cl 20180	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
7		1xr 11166	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 1 ∈ ℝ*)
9		prex 5370	. . . . . . . 8 ⊢ {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ∈ V
10		hashxrcl 14259	. . . . . . . 8 ⊢ ({(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ∈ V → (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
11	9, 10	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
12	4	fvexi 6831	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
13		hashxrcl 14259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
14	12, 13	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
15		1lt2 12286	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
16		hashprg 14297	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) = 2))
17	16	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) = 2)
18	15, 17	breqtrrid 5124	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 1 < (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}))
19		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵))
20		fvex 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
21		fvex 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
22	20, 21	prss 4767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ↔ {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ⊆ 𝐵)
23	19, 22	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ⊆ 𝐵)
24		hashss 14311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ⊆ 𝐵) → (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ≤ (♯‘𝐵))
25	12, 23, 24	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ≤ (♯‘𝐵))
26	8, 11, 14, 18, 25	xrltletrd 13055	. . . . . 6 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 1 < (♯‘𝐵))
27	26	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → 1 < (♯‘𝐵)))
28	5, 6, 27	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → 1 < (♯‘𝐵)))
29	28	imdistani 568	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))
30		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
31	4, 1, 2	ring1ne0 20212	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
32	30, 31	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
33	29, 32	impbii 209	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))
34	3, 33	bitri 275	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  {cpr 4573   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  1c1 11002  ℝ^*cxr 11140   < clt 11141   ≤ cle 11142  2c2 12175  ♯chash 14232  Basecbs 17115  0_gc0g 17338  1_rcur 20094  Ringcrg 20146  NzRingcnzr 20422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-dju 9789  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-hash 14233  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-nzr 20423

This theorem is referenced by:  0ringnnzr  20435  prmidl0  33407  qsidomlem1  33409  krull  33436  el0ldepsnzr  48499