MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnzr2hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnzr2hash 20536
Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. Analogous to isnzr2 20535. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2hash.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
isnzr2hash (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem isnzr2hash
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2 eqid 2735 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
31, 2isnzr 20531 . 2 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
4 isnzr2hash.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
54, 1ringidcl 20280 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
64, 2ring0cl 20281 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
7 1xr 11318 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 1 ∈ ℝ*)
9 prex 5443 . . . . . . . 8 {(1r𝑅), (0g𝑅)} ∈ V
10 hashxrcl 14393 . . . . . . . 8 ({(1r𝑅), (0g𝑅)} ∈ V → (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) ∈ ℝ*)
119, 10mp1i 13 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) ∈ ℝ*)
124fvexi 6921 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
13 hashxrcl 14393 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
1412, 13mp1i 13 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
15 1lt2 12435 . . . . . . . 8 1 < 2
16 hashprg 14431 . . . . . . . . 9 (((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) ↔ (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) = 2))
1716biimpa 476 . . . . . . . 8 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) = 2)
1815, 17breqtrrid 5186 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 1 < (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}))
19 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵))
20 fvex 6920 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) ∈ V
21 fvex 6920 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) ∈ V
2220, 21prss 4825 . . . . . . . . 9 (((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ↔ {(1r𝑅), (0g𝑅)} ⊆ 𝐵)
2319, 22sylib 218 . . . . . . . 8 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → {(1r𝑅), (0g𝑅)} ⊆ 𝐵)
24 hashss 14445 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ V ∧ {(1r𝑅), (0g𝑅)} ⊆ 𝐵) → (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) ≤ (♯‘𝐵))
2512, 23, 24sylancr 587 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) ≤ (♯‘𝐵))
268, 11, 14, 18, 25xrltletrd 13200 . . . . . 6 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 1 < (♯‘𝐵))
2726ex 412 . . . . 5 (((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) → 1 < (♯‘𝐵)))
285, 6, 27syl2anc 584 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) → 1 < (♯‘𝐵)))
2928imdistani 568 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))
30 simpl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
314, 1, 2ring1ne0 20313 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
3230, 31jca 511 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
3329, 32impbii 209 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))
343, 33bitri 275 1 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  wss 3963  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cfv 6563  1c1 11154  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  2c2 12319  chash 14366  Basecbs 17245  0gc0g 17486  1rcur 20199  Ringcrg 20251  NzRingcnzr 20529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20530
This theorem is referenced by:  0ringnnzr  20542  prmidl0  33458  qsidomlem1  33460  krull  33487  el0ldepsnzr  48313
  Copyright terms: Public domain W3C validator