MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isnzr2hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isnzr2hash 20411
Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. Analogous to isnzr2 20410. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2hash.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
isnzr2hash (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem isnzr2hash
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2 eqid 2724 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
31, 2isnzr 20406 . 2 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
4 isnzr2hash.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
54, 1ringidcl 20155 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
64, 2ring0cl 20156 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
7 1xr 11270 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 1 ∈ ℝ*)
9 prex 5422 . . . . . . . 8 {(1r𝑅), (0g𝑅)} ∈ V
10 hashxrcl 14314 . . . . . . . 8 ({(1r𝑅), (0g𝑅)} ∈ V → (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) ∈ ℝ*)
119, 10mp1i 13 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) ∈ ℝ*)
124fvexi 6895 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
13 hashxrcl 14314 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
1412, 13mp1i 13 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
15 1lt2 12380 . . . . . . . 8 1 < 2
16 hashprg 14352 . . . . . . . . 9 (((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) ↔ (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) = 2))
1716biimpa 476 . . . . . . . 8 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) = 2)
1815, 17breqtrrid 5176 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 1 < (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}))
19 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵))
20 fvex 6894 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) ∈ V
21 fvex 6894 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) ∈ V
2220, 21prss 4815 . . . . . . . . 9 (((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ↔ {(1r𝑅), (0g𝑅)} ⊆ 𝐵)
2319, 22sylib 217 . . . . . . . 8 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → {(1r𝑅), (0g𝑅)} ⊆ 𝐵)
24 hashss 14366 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ V ∧ {(1r𝑅), (0g𝑅)} ⊆ 𝐵) → (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) ≤ (♯‘𝐵))
2512, 23, 24sylancr 586 . . . . . . 7 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (♯‘{(1r𝑅), (0g𝑅)}) ≤ (♯‘𝐵))
268, 11, 14, 18, 25xrltletrd 13137 . . . . . 6 ((((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 1 < (♯‘𝐵))
2726ex 412 . . . . 5 (((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) → 1 < (♯‘𝐵)))
285, 6, 27syl2anc 583 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) → 1 < (♯‘𝐵)))
2928imdistani 568 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))
30 simpl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
314, 1, 2ring1ne0 20188 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
3230, 31jca 511 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
3329, 32impbii 208 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))
343, 33bitri 275 1 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  Vcvv 3466  wss 3940  {cpr 4622   class class class wbr 5138  cfv 6533  1c1 11107  *cxr 11244   < clt 11245  cle 11246  2c2 12264  chash 14287  Basecbs 17143  0gc0g 17384  1rcur 20076  Ringcrg 20128  NzRingcnzr 20404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-hash 14288  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-nzr 20405
This theorem is referenced by:  0ringnnzr  20415  prmidl0  33038  qsidomlem1  33040  krull  33063  el0ldepsnzr  47336
  Copyright terms: Public domain W3C validator