Theorem isnzr2hash 20785

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. Analogous to isnzr2 20783. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2hash.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isnzr2hash	⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem isnzr2hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 20779	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4		isnzr2hash.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4, 1	ringidcl 20509	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6	4, 2	ring0cl 20511	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
7		1xr 11381	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 1 ∈ ℝ*)
9		prex 5400	. . . . . . . 8 ⊢ {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ∈ V
10		hashxrcl 14514	. . . . . . . 8 ⊢ ({(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ∈ V → (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
11	9, 10	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
12	4	fvexi 6910	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
13		hashxrcl 14514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
14	12, 13	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
15		1lt2 12528	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
16		hashprg 14552	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) = 2))
17	16	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) = 2)
18	15, 17	breqtrrid 5146	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 1 < (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}))
19		fvex 6909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
20		fvex 6909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
21	19, 20	prss 4779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ↔ {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ⊆ 𝐵)
22	21	birani 509	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ⊆ 𝐵)
23		hashss 14566	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ {(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)} ⊆ 𝐵) → (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ≤ (♯‘𝐵))
24	12, 22, 23	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (♯‘{(1r‘𝑅), (0g‘𝑅)}) ≤ (♯‘𝐵))
25	8, 11, 14, 18, 24	xrltletrd 13303	. . . . . 6 ⊢ ((((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 1 < (♯‘𝐵))
26	25	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → 1 < (♯‘𝐵)))
27	5, 6, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → 1 < (♯‘𝐵)))
28	27	imdistani 579	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))
29		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
30	4, 1, 2	ring1ne0 20545	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
31	29, 30	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
32	28, 31	impbii 212	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))
33	3, 32	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {cpr 4590   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  1c1 11214  ℝ^*cxr 11355   < clt 11356   ≤ cle 11357  2c2 12410  ♯chash 14487  Basecbs 17402  0_gc0g 17625  1_rcur 20422  Ringcrg 20474  NzRingcnzr 20777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-oadd 8494  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-dju 9995  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-hash 14488  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-plusg 17456  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-nzr 20778

This theorem is used by:  0ringnnzr  20791  prmidl0  21649  qsidomlem1  21651  krull  34059  el0ldepsnzr  49721