Theorem fun2dmnop0 14385

Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. This stronger version of fun2dmnop 14386 (with the less restrictive requirement that (𝐺 ∖ {∅}) needs to be a function instead of 𝐺) is useful for proofs for extensible structures, see structn0fun 17015. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fun2dmnop.a	⊢ 𝐴 ∈ V
fun2dmnop.b	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fun2dmnop0	⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Proof of Theorem fun2dmnop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . . 4 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
2		dmexg 7836	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → dom 𝐺 ∈ V)
3	2	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → dom 𝐺 ∈ V)
4		fun2dmnop.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
5		fun2dmnop.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	4, 5	prss 4778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐺) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺)
7		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐺) → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
8	6, 7	sylbir 234	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺 → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
9	8	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
11		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐺) → 𝐵 ∈ dom 𝐺)
12	6, 11	sylbir 234	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺 → 𝐵 ∈ dom 𝐺)
13	12	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → 𝐵 ∈ dom 𝐺)
14	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐵 ∈ dom 𝐺)
15		simpl2 1192	. . . . 5 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐴 ≠ 𝐵)
16	3, 10, 14, 15	nehash2 14365	. . . 4 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
17		fundmge2nop0 14383	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
18	1, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
19	18	ex 413	. 2 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → (𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
20		prcnel 3466	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
21	19, 20	pm2.61d1 180	1 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  Vcvv 3443   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908  ∅c0 4280  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103   × cxp 5629  dom cdm 5631  Fun wfun 6487  ‘cfv 6493   ≤ cle 11186  2c2 12204  ♯chash 14222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-oadd 8412  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9833  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12410  df-xnn0 12482  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-hash 14223

This theorem is referenced by:  fun2dmnop  14386  funvtxdm2val  27850  funiedgdm2val  27851