Theorem fun2dmnop0 14526

Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. This stronger version of fun2dmnop 14527 (with the less restrictive requirement that (𝐺 ∖ {∅}) needs to be a function instead of 𝐺) is useful for proofs for extensible structures, see structn0fun 17171. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fun2dmnop.a	⊢ 𝐴 ∈ V
fun2dmnop.b	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fun2dmnop0	⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Proof of Theorem fun2dmnop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . . 4 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
2		dmexg 7906	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → dom 𝐺 ∈ V)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → dom 𝐺 ∈ V)
4		fun2dmnop.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
5		fun2dmnop.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	4, 5	prss 4802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐺) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺)
7		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐺) → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
8	6, 7	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺 → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
9	8	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
11		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐺) → 𝐵 ∈ dom 𝐺)
12	6, 11	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺 → 𝐵 ∈ dom 𝐺)
13	12	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → 𝐵 ∈ dom 𝐺)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐵 ∈ dom 𝐺)
15		simpl2 1192	. . . . 5 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐴 ≠ 𝐵)
16	3, 10, 14, 15	nehash2 14496	. . . 4 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
17		fundmge2nop0 14524	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
18	1, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
19	18	ex 412	. 2 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → (𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
20		prcnel 3491	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
21	19, 20	pm2.61d1 180	1 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  Vcvv 3464   ∖ cdif 3930   ⊆ wss 3933  ∅c0 4315  {csn 4608  {cpr 4610   class class class wbr 5125   × cxp 5665  dom cdm 5667  Fun wfun 6536  ‘cfv 6542   ≤ cle 11279  2c2 12304  ♯chash 14352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-oadd 8493  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531  df-hash 14353

This theorem is referenced by:  fun2dmnop  14527  funvtxdm2val  28977  funiedgdm2val  28978