MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fun2dmnop0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fun2dmnop0 14487
Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. This stronger version of fun2dmnop 14488 (with the less restrictive requirement that (𝐺 ∖ {∅}) needs to be a function instead of 𝐺) is useful for proofs for extensible structures, see structn0fun 17119. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fun2dmnop.a 𝐴 ∈ V
fun2dmnop.b 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
fun2dmnop0 ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Proof of Theorem fun2dmnop0
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
2 dmexg 7907 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V → dom 𝐺 ∈ V)
32adantl 480 . . . . 5 (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → dom 𝐺 ∈ V)
4 fun2dmnop.a . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
5 fun2dmnop.b . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
64, 5prss 4819 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝐺𝐵 ∈ dom 𝐺) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺)
7 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝐺𝐵 ∈ dom 𝐺) → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
86, 7sylbir 234 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺𝐴 ∈ dom 𝐺)
983ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
109adantr 479 . . . . 5 (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
11 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝐺𝐵 ∈ dom 𝐺) → 𝐵 ∈ dom 𝐺)
126, 11sylbir 234 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺𝐵 ∈ dom 𝐺)
13123ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → 𝐵 ∈ dom 𝐺)
1413adantr 479 . . . . 5 (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐵 ∈ dom 𝐺)
15 simpl2 1189 . . . . 5 (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐴𝐵)
163, 10, 14, 15nehash2 14467 . . . 4 (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
17 fundmge2nop0 14485 . . . 4 ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
181, 16, 17syl2anc 582 . . 3 (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ V) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
1918ex 411 . 2 ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → (𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)))
20 prcnel 3487 . 2 𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
2119, 20pm2.61d1 180 1 ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084  wcel 2098  wne 2930  Vcvv 3463  cdif 3936  wss 3939  c0 4318  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5143   × cxp 5670  dom cdm 5672  Fun wfun 6537  cfv 6543  cle 11279  2c2 12297  chash 14321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-hash 14322
This theorem is referenced by:  fun2dmnop  14488  funvtxdm2val  28870  funiedgdm2val  28871
  Copyright terms: Public domain W3C validator