Theorem structgrssvtx 29112

Description: The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structgrssvtx.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
structgrssvtx.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
structgrssvtx.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
structgrssvtx.s	⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
structgrssvtx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem structgrssvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structgrssvtx.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		structgrssvtx.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
3		structgrssvtx.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
4		structgrssvtx.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
5	1, 2, 3, 4	structgrssvtxlem 29111	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
6		opex 5409	. . . . 5 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V
7		opex 5409	. . . . 5 ⊢ ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ V
8	6, 7	prss 4764	. . . 4 ⊢ ((⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺) ↔ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
9		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
10	8, 9	sylbir 235	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
11	4, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
12	1, 5, 2, 11	basvtxval 29104	1 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  {cpr 4570  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490   Struct cstr 17105  ndxcnx 17152  Basecbs 17168  .efcedgf 29076  Vtxcvtx 29084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-hash 14282  df-struct 17106  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-edgf 29077  df-vtx 29086

This theorem is referenced by: (None)