Theorem structgrssvtx 29489

Description: The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structgrssvtx.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
structgrssvtx.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
structgrssvtx.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
structgrssvtx.s	⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
structgrssvtx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem structgrssvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structgrssvtx.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		structgrssvtx.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
3		structgrssvtx.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
4		structgrssvtx.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
5	1, 2, 3, 4	structgrssvtxlem 29488	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
6		opex 5443	. . . . 5 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V
7		opex 5443	. . . . 5 ⊢ ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ V
8	6, 7	prss 4784	. . . 4 ⊢ ((⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺) ↔ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
9		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
10	8, 9	sylbir 238	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
11	4, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
12	1, 5, 2, 11	basvtxval 29481	1 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  {cpr 4589  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537   Struct cstr 17244  ndxcnx 17291  Basecbs 17307  .efcedgf 29453  Vtxcvtx 29461

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-hash 14399  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-edgf 29454  df-vtx 29463

This theorem is used by: (None)