MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structgrssvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structgrssvtx 26972
Description: The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
structgrssvtx.g (𝜑𝐺 Struct 𝑋)
structgrssvtx.v (𝜑𝑉𝑌)
structgrssvtx.e (𝜑𝐸𝑍)
structgrssvtx.s (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
structgrssvtx (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem structgrssvtx
StepHypRef Expression
1 structgrssvtx.g . 2 (𝜑𝐺 Struct 𝑋)
2 structgrssvtx.v . . 3 (𝜑𝑉𝑌)
3 structgrssvtx.e . . 3 (𝜑𝐸𝑍)
4 structgrssvtx.s . . 3 (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
51, 2, 3, 4structgrssvtxlem 26971 . 2 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
6 opex 5323 . . . . 5 ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V
7 opex 5323 . . . . 5 ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ V
86, 7prss 4709 . . . 4 ((⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺) ↔ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
9 simpl 486 . . . 4 ((⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺 ∧ ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
108, 9sylbir 238 . . 3 ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
114, 10syl 17 . 2 (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
121, 5, 2, 11basvtxval 26964 1 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3844  {cpr 4519  cop 4523   class class class wbr 5031  cfv 6340   Struct cstr 16585  ndxcnx 16586  Basecbs 16589  .efcedgf 26937  Vtxcvtx 26944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-oadd 8138  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-dju 9406  df-card 9444  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-7 11787  df-8 11788  df-9 11789  df-n0 11980  df-xnn0 12052  df-z 12066  df-dec 12183  df-uz 12328  df-fz 12985  df-hash 13786  df-struct 16591  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-edgf 26938  df-vtx 26946
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator