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Theorem wlk1walk 28934
Description: A walk is a 1-walk "on the edge level" according to Aksoy et al. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
wlk1walk.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
wlk1walk (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))1 ≀ (β™―β€˜((πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∩ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   𝑃,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝐼(π‘˜)

Proof of Theorem wlk1walk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkv 28907 . 2 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 eqid 2732 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
3 eqid 2732 . . . 4 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
42, 3iswlk 28905 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = {(π‘ƒβ€˜π‘–)}, {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–))))))
5 fvex 6904 . . . . . . 7 (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ V
65inex1 5317 . . . . . 6 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∩ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ∈ V
7 fzo0ss1 13664 . . . . . . . . . . . 12 (1..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ))
87sseli 3978 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
9 wkslem1 28902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘˜ β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = {(π‘ƒβ€˜π‘–)}, {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) ↔ if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
109rspcv 3608 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = {(π‘ƒβ€˜π‘–)}, {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = {(π‘ƒβ€˜π‘–)}, {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
1211imp 407 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = {(π‘ƒβ€˜π‘–)}, {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))) β†’ if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
13 elfzofz 13650 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜πΉ)))
14 fz1fzo0m1 13682 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...(β™―β€˜πΉ)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
15 wkslem1 28902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = {(π‘ƒβ€˜π‘–)}, {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) ↔ if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))))
1615rspcv 3608 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = {(π‘ƒβ€˜π‘–)}, {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))))
1713, 14, 163syl 18 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = {(π‘ƒβ€˜π‘–)}, {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))))
1817imp 407 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = {(π‘ƒβ€˜π‘–)}, {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))) β†’ if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))))
19 df-ifp 1062 . . . . . . . . . . . 12 (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ (((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) ∨ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
20 elfzoelz 13634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
21 zcn 12565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
22 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„‚ β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = (π‘˜ βˆ’ 1))
23 npcan1 11641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„‚ β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) + 1) = π‘˜)
24 wkslem2 28903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘˜ βˆ’ 1) = (π‘˜ βˆ’ 1) ∧ ((π‘˜ βˆ’ 1) + 1) = π‘˜) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) ↔ if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))))
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„‚ β†’ (if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) ↔ if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))))
2620, 21, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) ↔ if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))))
27 df-ifp 1062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) ↔ (((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}) ∨ (Β¬ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))))
28 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) β†’ {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))} = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)})
2928eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))} ↔ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}))
30 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ V
3130snid 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}
32 wlk1walk.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3332fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))
3433eleq2i 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))
35 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}))
3634, 35bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}))
3731, 36mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))
38 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}))
3931, 38mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
4032fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))
4139, 40eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
4237, 41anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
4342ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
4429, 43syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))} β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
4544imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
4645com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) β†’ (((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
48 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ V
4930, 48prss 4823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∧ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
5032eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (iEdgβ€˜πΊ) = 𝐼
5150fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))
5251eleq2i 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
5352biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∧ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
5549, 54sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
5637, 55anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
5756ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
5829, 57syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))} β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
5958imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}) β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
6059com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
6160adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
6247, 61jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) ∨ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ (((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
6362com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}) β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) ∨ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
64 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ V
6564, 30prss 4823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) ↔ {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))
6650fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))
6766eleq2i 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))
6867biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))
6940eleq2i 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
7069, 38bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}))
7131, 70mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
7268, 71anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
7372ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
7473adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
7565, 74sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
7675adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Β¬ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
7776com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)} β†’ ((Β¬ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
7877adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) β†’ ((Β¬ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
7967, 52anbi12i 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
8079biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
8180ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
8365, 82sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
8483adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Β¬ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
8584com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((Β¬ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∧ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((Β¬ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
8749, 86sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ ((Β¬ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
8887adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((Β¬ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
8978, 88jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) ∨ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((Β¬ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
9089com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Β¬ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) ∨ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
9163, 90jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}) ∨ (Β¬ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))) β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) ∨ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
9227, 91sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜π‘˜)} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) ∨ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
9326, 92syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) ∨ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
9493com3r 87 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}) ∨ (Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))) β†’ (π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
9519, 94sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
9695com12 32 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
9796adantr 481 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = {(π‘ƒβ€˜π‘–)}, {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (if-((π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))}, {(π‘ƒβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)), (π‘ƒβ€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
9812, 18, 97mp2d 49 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = {(π‘ƒβ€˜π‘–)}, {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
9998ancoms 459 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = {(π‘ƒβ€˜π‘–)}, {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∧ π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
100 inelcm 4464 . . . . . . 7 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∩ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β‰  βˆ…)
10199, 100syl 17 . . . . . 6 ((βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = {(π‘ƒβ€˜π‘–)}, {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∧ π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∩ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β‰  βˆ…)
102 hashge1 14351 . . . . . 6 ((((πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∩ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ∈ V ∧ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∩ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) β‰  βˆ…) β†’ 1 ≀ (β™―β€˜((πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∩ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
1036, 101, 102sylancr 587 . . . . 5 ((βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = {(π‘ƒβ€˜π‘–)}, {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∧ π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 1 ≀ (β™―β€˜((πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∩ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
104103ralrimiva 3146 . . . 4 (βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = {(π‘ƒβ€˜π‘–)}, {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))1 ≀ (β™―β€˜((πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∩ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
1051043ad2ant3 1135 . . 3 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)), ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) = {(π‘ƒβ€˜π‘–)}, {(π‘ƒβ€˜π‘–), (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1))} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜(πΉβ€˜π‘–)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))1 ≀ (β™―β€˜((πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∩ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
1064, 105syl6bi 252 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))1 ≀ (β™―β€˜((πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∩ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
1071, 106mpcom 38 1 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))1 ≀ (β™―β€˜((πΌβ€˜(πΉβ€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ∩ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845  if-wif 1061   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  β„€cz 12560  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629  β™―chash 14292  Word cword 14466  Vtxcvtx 28294  iEdgciedg 28295  Walkscwlks 28891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-wlks 28894
This theorem is referenced by:  wlk1ewlk  28935
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