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Theorem wlk1walk 28650
Description: A walk is a 1-walk "on the edge level" according to Aksoy et al. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
wlk1walk.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wlk1walk (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)
Proof of Theorem wlk1walk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkv 28623 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 eqid 2731 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3 eqid 2731 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
42, 3iswlk 28621 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))))))
5 fvex 6860 . . . . . . 7 (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V
65inex1 5279 . . . . . 6 ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∈ V
7 fzo0ss1 13612 . . . . . . . . . . . 12 (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
87sseli 3943 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9 wkslem1 28618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
109rspcv 3578 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
1211imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))) → if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))
13 elfzofz 13598 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
14 fz1fzo0m1 13630 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
15 wkslem1 28618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑘 − 1) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
1615rspcv 3578 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
1713, 14, 163syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
1817imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
19 df-ifp 1062 . . . . . . . . . . . 12 (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
20 elfzoelz 13582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℤ)
21 zcn 12513 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
22 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 − 1) = (𝑘 − 1))
23 npcan1 11589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
24 wkslem2 28619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 − 1) = (𝑘 − 1) ∧ ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℂ → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
2620, 21, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
27 df-ifp 1062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) ∨ (¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
28 sneq 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) → {(𝑃‘(𝑘 − 1))} = {(𝑃‘𝑘)})
2928eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)}))
30 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃‘𝑘) ∈ V
3130snid 4627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}
32 wlk1walk.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3332fveq1i 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))
3433eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
35 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
3634, 35bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
3731, 36mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
38 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
3931, 38mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))
4032fveq1i 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))
4139, 40eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
4237, 41anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
4342ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
4429, 43syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
4544imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
4645com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
48 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V
4930, 48prss 4785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))
5032eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (iEdg‘𝐺) = 𝐼
5150fveq1i 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑘))
5251eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
5352biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
5549, 54sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
5637, 55anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
5756ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
5829, 57syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))} → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
5958imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
6059com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
6160adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
6247, 61jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
6362com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
64 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ V
6564, 30prss 4785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
6650fveq1i 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))
6766eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
6867biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
6940eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))
7069, 38bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
7131, 70mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
7268, 71anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
7372ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7473adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7565, 74sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7675adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7776com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7877adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7967, 52anbi12i 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
8079biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
8180ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8365, 82sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8483adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8584com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8749, 86sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8887adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8978, 88jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
9089com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
9163, 90jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) ∨ (¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
9227, 91sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
9326, 92syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
9493com3r 87 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
9519, 94sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
9695com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
9796adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
9812, 18, 97mp2d 49 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
9998ancoms 459 . . . . . . 7 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
100 inelcm 4429 . . . . . . 7 (((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ≠ ∅)
10199, 100syl 17 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ≠ ∅)
102 hashge1 14299 . . . . . 6 ((((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∈ V ∧ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
1036, 101, 102sylancr 587 . . . . 5 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
104103ralrimiva 3139 . . . 4 (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
1051043ad2ant3 1135 . . 3 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
1064, 105syl6bi 252 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
1071, 106mpcom 38 1 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845  if-wif 1061   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  Vcvv 3446   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4287  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   ≤ cle 11199   − cmin 11394  ℤcz 12508  ...cfz 13434  ..^cfzo 13577  ♯chash 14240  Word cword 14414  Vtxcvtx 28010  iEdgciedg 28011  Walkscwlks 28607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-hash 14241  df-word 14415  df-wlks 28610
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