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Theorem wlk1walk 30219
Description: A walk is a 1-walk "on the edge level" according to Aksoy et al. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
wlk1walk.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wlk1walk (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)
Proof of Theorem wlk1walk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkv 30193 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 eqid 2761 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3 eqid 2761 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
42, 3iswlk 30191 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))))))
5 fvex 6898 . . . . . . 7 (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V
65inex1 5277 . . . . . 6 ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∈ V
7 fzo0ss1 13824 . . . . . . . . . . . 12 (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
87sseli 3927 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9 wkslem1 30188 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
109rspcv 3573 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
118, 10syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
1211imp 412 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))) → if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))
13 elfzofz 13810 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
14 fz1fzo0m1 13845 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
15 wkslem1 30188 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑘 − 1) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
1615rspcv 3573 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
1713, 14, 163syl 19 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
1817imp 412 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
19 df-ifp 1079 . . . . . . . . . . . 12 (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
20 elfzoelz 13793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℤ)
21 zcn 12698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
22 eqidd 2762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 − 1) = (𝑘 − 1))
23 npcan1 11741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
24 wkslem2 30189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 − 1) = (𝑘 − 1) ∧ ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
2522, 23, 24syl2anc 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℂ → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
2620, 21, 253syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
27 df-ifp 1079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) ∨ (¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
28 sneq 4594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) → {(𝑃‘(𝑘 − 1))} = {(𝑃‘𝑘)})
2928eqeq2d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)}))
30 fvex 6898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃‘𝑘) ∈ V
3130snid 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}
32 wlk1walk.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3332fveq1i 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))
3433eleq2i 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
35 eleq2 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
3634, 35bitrid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
3731, 36mpbiri 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
38 eleq2 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
3931, 38mpbiri 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))
4032fveq1i 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))
4139, 40eleqtrrdi 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
4237, 41anim12i 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
4342ex 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
4429, 43biimtrdi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
4544imp 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
4645com12 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
4746adantl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
48 fvex 6898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V
4930, 48prss 4781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))
5032eqcomi 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (iEdg‘𝐺) = 𝐼
5150fveq1i 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑘))
5251eleq2i 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
5352biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
5453adantr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
5549, 54sylbir 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
5637, 55anim12i 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
5756ex 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
5829, 57biimtrdi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))} → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
5958imp 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
6059com12 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
6160adantl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
6247, 61jaoi 871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
6362com12 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
64 fvex 6898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ V
6564, 30prss 4781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
6650fveq1i 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))
6766eleq2i 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
6867biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
6940eleq2i 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))
7069, 38bitrid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
7131, 70mpbiri 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
7268, 71anim12i 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
7372ex 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7473adantl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7565, 74sylbir 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7675adantl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7776com12 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7877adantl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7967, 52anbi12i 640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
8079biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
8180ex 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8281adantl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8365, 82sylbir 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8483adantl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8584com12 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8685adantr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8749, 86sylbir 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8887adantl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8978, 88jaoi 871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
9089com12 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
9163, 90jaoi 871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) ∨ (¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
9227, 91sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
9326, 92biimtrdi 256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
9493com3r 88 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
9519, 94sylbi 220 . . . . . . . . . . 11 (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
9695com12 33 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
9796adantr 486 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
9812, 18, 97mp2d 50 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
9998ancoms 464 . . . . . . 7 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
100 inelcm 4418 . . . . . . 7 (((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ≠ ∅)
10199, 100syl 18 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ≠ ∅)
102 hashge1 14533 . . . . . 6 ((((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∈ V ∧ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
1036, 101, 102sylancr 599 . . . . 5 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
104103ralrimiva 3155 . . . 4 (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
1051043ad2ant3 1153 . . 3 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
1064, 105biimtrdi 256 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
1071, 106mpcom 39 1 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861  if-wif 1078   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   ≤ cle 11344   − cmin 11541  ℤcz 12693  ...cfz 13639  ..^cfzo 13788  ♯chash 14474  Word cword 14658  Vtxcvtx 29574  iEdgciedg 29575  Walkscwlks 30177
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-wlks 30180
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