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Theorem wlk1walk 26826
Description: A walk is a 1-walk "on the edge level" according to Aksoy et al. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
wlk1walk.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wlk1walk (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem wlk1walk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkv 26799 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 eqid 2765 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3 eqid 2765 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
42, 3iswlk 26797 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖))))))
5 fvex 6388 . . . . . . 7 (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V
65inex1 4960 . . . . . 6 ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ∈ V
7 fzo0ss1 12706 . . . . . . . . . . . 12 (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
87sseli 3757 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9 wkslem1 26794 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖))) ↔ if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))))
109rspcv 3457 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖))) → if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖))) → if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))))
1211imp 395 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)))) → if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))))
13 elfzofz 12693 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
14 fz1fzo0m1 12724 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
15 wkslem1 26794 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑘 − 1) → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
1615rspcv 3457 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
1713, 14, 163syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
1817imp 395 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
19 df-ifp 1086 . . . . . . . . . . . 12 (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) ↔ (((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))))
20 elfzoelz 12678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℤ)
21 zcn 11629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
22 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 − 1) = (𝑘 − 1))
23 npcan1 10709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
24 wkslem2 26795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 − 1) = (𝑘 − 1) ∧ ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
2522, 23, 24syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℂ → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
2620, 21, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
27 df-ifp 1086 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) ∨ (¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
28 sneq 4344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) → {(𝑃‘(𝑘 − 1))} = {(𝑃𝑘)})
2928eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃𝑘)}))
30 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃𝑘) ∈ V
3130snid 4366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃𝑘) ∈ {(𝑃𝑘)}
32 wlk1walk.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3332fveq1i 6376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))
3433eleq2i 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
35 eleq2 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃𝑘)} → ((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃𝑘) ∈ {(𝑃𝑘)}))
3634, 35syl5bb 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃𝑘)} → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃𝑘) ∈ {(𝑃𝑘)}))
3731, 36mpbiri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
38 eleq2 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → ((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) ↔ (𝑃𝑘) ∈ {(𝑃𝑘)}))
3931, 38mpbiri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))
4032fveq1i 6376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼‘(𝐹𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))
4139, 40syl6eleqr 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
4237, 41anim12i 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃𝑘)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
4342ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃𝑘)} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
4429, 43syl6bi 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
4544imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
4645com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
4746adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
48 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V
4930, 48prss 4505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) ↔ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))
5032eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (iEdg‘𝐺) = 𝐼
5150fveq1i 6376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = (𝐼‘(𝐹𝑘))
5251eleq2i 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) ↔ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
5352biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) → (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
5549, 54sylbir 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) → (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
5637, 55anim12i 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃𝑘)} ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
5756ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃𝑘)} → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
5829, 57syl6bi 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))} → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
5958imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
6059com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
6160adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
6247, 61jaoi 883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
6362com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
64 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ V
6564, 30prss 4505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
6650fveq1i 6376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))
6766eleq2i 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
6867biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
6940eleq2i 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ↔ (𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))
7069, 38syl5bb 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ↔ (𝑃𝑘) ∈ {(𝑃𝑘)}))
7131, 70mpbiri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
7268, 71anim12i 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
7372ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
7473adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
7565, 74sylbir 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
7675adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
7776com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)} → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
7877adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
7967, 52anbi12i 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) ↔ ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
8079biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
8180ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → ((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
8281adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
8365, 82sylbir 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → ((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
8483adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
8584com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
8685adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
8749, 86sylbir 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
8887adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
8978, 88jaoi 883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
9089com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
9163, 90jaoi 883 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) ∨ (¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))) → ((((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
9227, 91sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
9326, 92syl6bi 244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
9493com3r 87 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)))) → (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
9519, 94sylbi 208 . . . . . . . . . . 11 (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
9695com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
9796adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)))) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑘))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
9812, 18, 97mp2d 49 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
9998ancoms 450 . . . . . . 7 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
100 inelcm 4193 . . . . . . 7 (((𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ≠ ∅)
10199, 100syl 17 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ≠ ∅)
102 hashge1 13380 . . . . . 6 ((((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ∈ V ∧ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
1036, 101, 102sylancr 581 . . . . 5 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
104103ralrimiva 3113 . . . 4 (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
1051043ad2ant3 1165 . . 3 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹𝑖)))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
1064, 105syl6bi 244 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
1071, 106mpcom 38 1 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  if-wif 1085  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732  c0 4079  {csn 4334  {cpr 4336   class class class wbr 4809  dom cdm 5277  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  cle 10329  cmin 10520  cz 11624  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13486  Vtxcvtx 26165  iEdgciedg 26166  Walkscwlks 26783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-ifp 1086  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13487  df-wlks 26786
This theorem is referenced by:  wlk1ewlk  26827
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