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Theorem wlk1walk 29712
Description: A walk is a 1-walk "on the edge level" according to Aksoy et al. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
wlk1walk.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wlk1walk (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)
Proof of Theorem wlk1walk
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkv 29686 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2 eqid 2736 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3 eqid 2736 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
42, 3iswlk 29684 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))))))
5 fvex 6847 . . . . . . 7 (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∈ V
65inex1 5262 . . . . . 6 ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∈ V
7 fzo0ss1 13605 . . . . . . . . . . . 12 (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
87sseli 3929 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9 wkslem1 29681 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
109rspcv 3572 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
1211imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))) → if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))
13 elfzofz 13591 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
14 fz1fzo0m1 13626 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
15 wkslem1 29681 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑘 − 1) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
1615rspcv 3572 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
1713, 14, 163syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
1817imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))) → if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))))
19 df-ifp 1063 . . . . . . . . . . . 12 (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
20 elfzoelz 13575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℤ)
21 zcn 12493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
22 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 − 1) = (𝑘 − 1))
23 npcan1 11562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
24 wkslem2 29682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 − 1) = (𝑘 − 1) ∧ ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℂ → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
2620, 21, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
27 df-ifp 1063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) ∨ (¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))))
28 sneq 4590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) → {(𝑃‘(𝑘 − 1))} = {(𝑃‘𝑘)})
2928eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)}))
30 fvex 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃‘𝑘) ∈ V
3130snid 4619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}
32 wlk1walk.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3332fveq1i 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))
3433eleq2i 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
35 eleq2 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
3634, 35bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
3731, 36mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
38 eleq2 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
3931, 38mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))
4032fveq1i 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))
4139, 40eleqtrrdi 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
4237, 41anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
4342ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
4429, 43biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))} → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
4544imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
4645com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
48 fvex 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V
4930, 48prss 4776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))
5032eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (iEdg‘𝐺) = 𝐼
5150fveq1i 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑘))
5251eleq2i 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
5352biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
5549, 54sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
5637, 55anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
5756ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘𝑘)} → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
5829, 57biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))} → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
5958imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
6059com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
6247, 61jaoi 857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
6362com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
64 fvex 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ V
6564, 30prss 4776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) ↔ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
6650fveq1i 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))
6766eleq2i 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
6867biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))
6940eleq2i 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))
7069, 38bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ {(𝑃‘𝑘)}))
7131, 70mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
7268, 71anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
7372ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7565, 74sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7675adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7776com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7877adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
7967, 52anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
8079biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
8180ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8281adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃‘(𝑘 − 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8365, 82sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8584com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘𝑘) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8749, 86sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8887adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
8978, 88jaoi 857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
9089com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
9163, 90jaoi 857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}) ∨ (¬ (𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘) ∧ {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
9227, 91sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘𝑘), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘𝑘)} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
9326, 92biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
9493com3r 87 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}) ∨ (¬ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
9519, 94sylbi 217 . . . . . . . . . . 11 (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
9695com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
9796adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → (if-((𝑃‘(𝑘 − 1)) = (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) = {(𝑃‘(𝑘 − 1))}, {(𝑃‘(𝑘 − 1)), (𝑃‘((𝑘 − 1) + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘(𝑘 − 1)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
9812, 18, 97mp2d 49 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
9998ancoms 458 . . . . . . 7 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
100 inelcm 4417 . . . . . . 7 (((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ≠ ∅)
10199, 100syl 17 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ≠ ∅)
102 hashge1 14312 . . . . . 6 ((((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∈ V ∧ ((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
1036, 101, 102sylancr 587 . . . . 5 ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → 1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
104103ralrimiva 3128 . . . 4 (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
1051043ad2ant3 1135 . . 3 ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑖)))) → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
1064, 105biimtrdi 253 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
1071, 106mpcom 38 1 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝐹))1 ≤ (♯‘((𝐼‘(𝐹‘(𝑘 − 1))) ∩ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847  if-wif 1062   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3440   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {csn 4580  {cpr 4582   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℤcz 12488  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253  Word cword 14436  Vtxcvtx 29069  iEdgciedg 29070  Walkscwlks 29670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-wlks 29673
This theorem is referenced by:  wlk1ewlk  29713
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