MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipolerval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipolerval 18481
Description: Relation of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ipoval.i 𝐼 = (toIncβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipolerval (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = (leβ€˜πΌ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐼,𝑦   π‘₯,𝑉,𝑦

Proof of Theorem ipolerval
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . 7 (({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹)
2 vex 3478 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
3 vex 3478 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
42, 3prss 4822 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ↔ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹)
51, 4sylibr 233 . . . . . 6 (({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹))
65ssopab2i 5549 . . . . 5 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} βŠ† {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)}
7 df-xp 5681 . . . . 5 (𝐹 Γ— 𝐹) = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)}
86, 7sseqtrri 4018 . . . 4 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} βŠ† (𝐹 Γ— 𝐹)
9 sqxpexg 7738 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹 Γ— 𝐹) ∈ V)
10 ssexg 5322 . . . 4 (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} βŠ† (𝐹 Γ— 𝐹) ∧ (𝐹 Γ— 𝐹) ∈ V) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} ∈ V)
118, 9, 10sylancr 587 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} ∈ V)
12 ipostr 18478 . . . 4 ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (ordTopβ€˜{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)})⟩} βˆͺ {⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)}⟩, ⟨(ocβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐹 ↦ βˆͺ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ π‘₯) = βˆ…})⟩}) Struct ⟨1, 11⟩
13 pleid 17308 . . . 4 le = Slot (leβ€˜ndx)
14 snsspr1 4816 . . . . 5 {⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)}⟩} βŠ† {⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)}⟩, ⟨(ocβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐹 ↦ βˆͺ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ π‘₯) = βˆ…})⟩}
15 ssun2 4172 . . . . 5 {⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)}⟩, ⟨(ocβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐹 ↦ βˆͺ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ π‘₯) = βˆ…})⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (ordTopβ€˜{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)})⟩} βˆͺ {⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)}⟩, ⟨(ocβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐹 ↦ βˆͺ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ π‘₯) = βˆ…})⟩})
1614, 15sstri 3990 . . . 4 {⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)}⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (ordTopβ€˜{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)})⟩} βˆͺ {⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)}⟩, ⟨(ocβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐹 ↦ βˆͺ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ π‘₯) = βˆ…})⟩})
1712, 13, 16strfv 17133 . . 3 ({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} ∈ V β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = (leβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (ordTopβ€˜{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)})⟩} βˆͺ {⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)}⟩, ⟨(ocβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐹 ↦ βˆͺ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ π‘₯) = βˆ…})⟩})))
1811, 17syl 17 . 2 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = (leβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (ordTopβ€˜{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)})⟩} βˆͺ {⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)}⟩, ⟨(ocβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐹 ↦ βˆͺ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ π‘₯) = βˆ…})⟩})))
19 ipoval.i . . . 4 𝐼 = (toIncβ€˜πΉ)
20 eqid 2732 . . . 4 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)}
2119, 20ipoval 18479 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (ordTopβ€˜{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)})⟩} βˆͺ {⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)}⟩, ⟨(ocβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐹 ↦ βˆͺ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ π‘₯) = βˆ…})⟩}))
2221fveq2d 6892 . 2 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (leβ€˜πΌ) = (leβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (ordTopβ€˜{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)})⟩} βˆͺ {⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)}⟩, ⟨(ocβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐹 ↦ βˆͺ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ π‘₯) = βˆ…})⟩})))
2318, 22eqtr4d 2775 1 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦)} = (leβ€˜πΌ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627  {cpr 4629  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907  {copab 5209   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β€˜cfv 6540  1c1 11107  cdc 12673  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  TopSetcts 17199  lecple 17200  occoc 17201  ordTopcordt 17441  toInccipo 18476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ocomp 17214  df-ipo 18477
This theorem is referenced by:  ipotset  18482  ipole  18483  thlle  21242  thlleOLD  21243
  Copyright terms: Public domain W3C validator