MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipolerval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipolerval 17762
Description: Relation of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ipoval.i 𝐼 = (toInc‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipolerval (𝐹𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)} = (le‘𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem ipolerval
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . . . 7 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹)
2 vex 3447 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
3 vex 3447 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
42, 3prss 4716 . . . . . . 7 ((𝑥𝐹𝑦𝐹) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹)
51, 4sylibr 237 . . . . . 6 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦) → (𝑥𝐹𝑦𝐹))
65ssopab2i 5405 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐹𝑦𝐹)}
7 df-xp 5529 . . . . 5 (𝐹 × 𝐹) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐹𝑦𝐹)}
86, 7sseqtrri 3955 . . . 4 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)} ⊆ (𝐹 × 𝐹)
9 sqxpexg 7461 . . . 4 (𝐹𝑉 → (𝐹 × 𝐹) ∈ V)
10 ssexg 5194 . . . 4 (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)} ⊆ (𝐹 × 𝐹) ∧ (𝐹 × 𝐹) ∈ V) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)} ∈ V)
118, 9, 10sylancr 590 . . 3 (𝐹𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)} ∈ V)
12 ipostr 17759 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥𝐹 {𝑦𝐹 ∣ (𝑦𝑥) = ∅})⟩}) Struct ⟨1, 11⟩
13 pleid 16663 . . . 4 le = Slot (le‘ndx)
14 snsspr1 4710 . . . . 5 {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩} ⊆ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥𝐹 {𝑦𝐹 ∣ (𝑦𝑥) = ∅})⟩}
15 ssun2 4103 . . . . 5 {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥𝐹 {𝑦𝐹 ∣ (𝑦𝑥) = ∅})⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥𝐹 {𝑦𝐹 ∣ (𝑦𝑥) = ∅})⟩})
1614, 15sstri 3927 . . . 4 {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥𝐹 {𝑦𝐹 ∣ (𝑦𝑥) = ∅})⟩})
1712, 13, 16strfv 16527 . . 3 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)} ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)} = (le‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥𝐹 {𝑦𝐹 ∣ (𝑦𝑥) = ∅})⟩})))
1811, 17syl 17 . 2 (𝐹𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)} = (le‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥𝐹 {𝑦𝐹 ∣ (𝑦𝑥) = ∅})⟩})))
19 ipoval.i . . . 4 𝐼 = (toInc‘𝐹)
20 eqid 2801 . . . 4 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}
2119, 20ipoval 17760 . . 3 (𝐹𝑉𝐼 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥𝐹 {𝑦𝐹 ∣ (𝑦𝑥) = ∅})⟩}))
2221fveq2d 6653 . 2 (𝐹𝑉 → (le‘𝐼) = (le‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥𝐹 {𝑦𝐹 ∣ (𝑦𝑥) = ∅})⟩})))
2318, 22eqtr4d 2839 1 (𝐹𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹𝑥𝑦)} = (le‘𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  {crab 3113  Vcvv 3444  cun 3882  cin 3883  wss 3884  c0 4246  {csn 4528  {cpr 4530  cop 4534   cuni 4803  {copab 5095  cmpt 5113   × cxp 5521  cfv 6328  1c1 10531  cdc 12090  ndxcnx 16476  Basecbs 16479  TopSetcts 16567  lecple 16568  occoc 16569  ordTopcordt 16768  toInccipo 17757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ocomp 16582  df-ipo 17758
This theorem is referenced by:  ipotset  17763  ipole  17764  thlle  20390
  Copyright terms: Public domain W3C validator