Theorem ipolerval 18485

Description: Relation of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ipoval.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipolerval	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem ipolerval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 484	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹)
2		vex 3479	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vex 3479	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
4	2, 3	prss 4824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹)
5	1, 4	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹))
6	5	ssopab2i 5551	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)}
7		df-xp 5683	. . . . 5 ⊢ (𝐹 × 𝐹) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹)}
8	6, 7	sseqtrri 4020	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ⊆ (𝐹 × 𝐹)
9		sqxpexg 7742	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 × 𝐹) ∈ V)
10		ssexg 5324	. . . 4 ⊢ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ⊆ (𝐹 × 𝐹) ∧ (𝐹 × 𝐹) ∈ V) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ∈ V)
11	8, 9, 10	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ∈ V)
12		ipostr 18482	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩}) Struct ⟨1, ;11⟩
13		pleid 17312	. . . 4 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
14		snsspr1 4818	. . . . 5 ⊢ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩} ⊆ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩}
15		ssun2 4174	. . . . 5 ⊢ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩})
16	14, 15	sstri 3992	. . . 4 ⊢ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩})
17	12, 13, 16	strfv 17137	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩})))
18	11, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩})))
19		ipoval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
20		eqid 2733	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}
21	19, 20	ipoval 18483	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐼 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩}))
22	21	fveq2d 6896	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (le‘𝐼) = (le‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (ordTop‘{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)})⟩} ∪ {⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}⟩, ⟨(oc‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ ∪ {𝑦 ∈ 𝐹 ∣ (𝑦 ∩ 𝑥) = ∅})⟩})))
23	18, 22	eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   ∪ cun 3947   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631  ⟨cop 4635  ∪ cuni 4909  {copab 5211   ↦ cmpt 5232   × cxp 5675  ‘cfv 6544  1c1 11111  ;cdc 12677  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  TopSetcts 17203  lecple 17204  occoc 17205  ordTopcordt 17445  toInccipo 18480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ocomp 17218  df-ipo 18481

This theorem is referenced by:  ipotset  18486  ipole  18487  thlle  21251  thlleOLD  21252