Theorem imastps 23549

Description: The image of a topological space under a function is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imastps.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imastps.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imastps.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imastps.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopSp)

Assertion

Ref	Expression
imastps	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ TopSp)

Proof of Theorem imastps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imastps.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imastps.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imastps.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imastps.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopSp)
5		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	imastopn 23548	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑈) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
8		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 5	istps 22760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
10	4, 9	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
11	2	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘𝑉) = (TopOn‘(Base‘𝑅)))
12	10, 11	eleqtrrd 2828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑉))
13		qtoptopon 23532	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑉) ∧ 𝐹:𝑉–onto→𝐵) → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝐵))
14	12, 3, 13	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝐵))
15	1, 2, 3, 4	imasbas 17459	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
16	15	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘𝐵) = (TopOn‘(Base‘𝑈)))
17	14, 16	eleqtrd 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
18	7, 17	eqeltrd 2825	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑈) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
19		eqid 2724	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
20	19, 6	istps 22760	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑈) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
21	18, 20	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  –onto→wfo 6532  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  TopOpenctopn 17368   qTop cqtop 17450   “_s cimas 17451  TopOnctopon 22736  TopSpctps 22758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-rest 17369  df-topn 17370  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759

This theorem is referenced by:  qustps  23550  xpstps  23638