Theorem imastps 23700

Description: The image of a topological space under a function is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imastps.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imastps.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imastps.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imastps.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopSp)

Assertion

Ref	Expression
imastps	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ TopSp)

Proof of Theorem imastps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imastps.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imastps.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imastps.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imastps.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopSp)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	imastopn 23699	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑈) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
8		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 5	istps 22913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
10	4, 9	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
11	2	fveq2d 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘𝑉) = (TopOn‘(Base‘𝑅)))
12	10, 11	eleqtrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑉))
13		qtoptopon 23683	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑉) ∧ 𝐹:𝑉–onto→𝐵) → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝐵))
14	12, 3, 13	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝐵))
15	1, 2, 3, 4	imasbas 17471	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
16	15	fveq2d 6840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘𝐵) = (TopOn‘(Base‘𝑈)))
17	14, 16	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
18	7, 17	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑈) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
19		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
20	19, 6	istps 22913	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑈) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
21	18, 20	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  –onto→wfo 6492  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  TopOpenctopn 17379   qTop cqtop 17462   “_s cimas 17463  TopOnctopon 22889  TopSpctps 22911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-rest 17380  df-topn 17381  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912

This theorem is referenced by:  qustps  23701  xpstps  23789