MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imastps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imastps 23619
Description: The image of a topological space under a function is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imastps.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imastps.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imastps.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imastps.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TopSp)
Assertion
Ref Expression
imastps (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ TopSp)

Proof of Theorem imastps
StepHypRef Expression
1 imastps.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
2 imastps.v . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
3 imastps.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
4 imastps.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TopSp)
5 eqid 2728 . . . 4 (TopOpenβ€˜π‘…) = (TopOpenβ€˜π‘…)
6 eqid 2728 . . . 4 (TopOpenβ€˜π‘ˆ) = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6imastopn 23618 . . 3 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘ˆ) = ((TopOpenβ€˜π‘…) qTop 𝐹))
8 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
98, 5istps 22830 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ TopSp ↔ (TopOpenβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
104, 9sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
112fveq2d 6896 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (TopOnβ€˜π‘‰) = (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
1210, 11eleqtrrd 2832 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜π‘‰))
13 qtoptopon 23602 . . . . 5 (((TopOpenβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜π‘‰) ∧ 𝐹:𝑉–onto→𝐡) β†’ ((TopOpenβ€˜π‘…) qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π΅))
1412, 3, 13syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜π‘…) qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π΅))
151, 2, 3, 4imasbas 17488 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1615fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOnβ€˜π΅) = (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘ˆ)))
1714, 16eleqtrd 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜π‘…) qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘ˆ)))
187, 17eqeltrd 2829 . 2 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘ˆ)))
19 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2019, 6istps 22830 . 2 (π‘ˆ ∈ TopSp ↔ (TopOpenβ€˜π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘ˆ)))
2118, 20sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ TopSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174  TopOpenctopn 17397   qTop cqtop 17479   β€œs cimas 17480  TopOnctopon 22806  TopSpctps 22828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-rest 17398  df-topn 17399  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829
This theorem is referenced by:  qustps  23620  xpstps  23708
  Copyright terms: Public domain W3C validator