MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imastps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imastps 22329
Description: The image of a topological space under a function is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imastps.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imastps.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imastps.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imastps.r (𝜑𝑅 ∈ TopSp)
Assertion
Ref Expression
imastps (𝜑𝑈 ∈ TopSp)

Proof of Theorem imastps
StepHypRef Expression
1 imastps.u . . . 4 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imastps.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imastps.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imastps.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ TopSp)
5 eqid 2801 . . . 4 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6 eqid 2801 . . . 4 (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
71, 2, 3, 4, 5, 6imastopn 22328 . . 3 (𝜑 → (TopOpen‘𝑈) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
8 eqid 2801 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
98, 5istps 21542 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
104, 9sylib 221 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
112fveq2d 6653 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOn‘𝑉) = (TopOn‘(Base‘𝑅)))
1210, 11eleqtrrd 2896 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑉))
13 qtoptopon 22312 . . . . 5 (((TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑉) ∧ 𝐹:𝑉onto𝐵) → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝐵))
1412, 3, 13syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝐵))
151, 2, 3, 4imasbas 16780 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑈))
1615fveq2d 6653 . . . 4 (𝜑 → (TopOn‘𝐵) = (TopOn‘(Base‘𝑈)))
1714, 16eleqtrd 2895 . . 3 (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
187, 17eqeltrd 2893 . 2 (𝜑 → (TopOpen‘𝑈) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
19 eqid 2801 . . 3 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
2019, 6istps 21542 . 2 (𝑈 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑈) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
2118, 20sylibr 237 1 (𝜑𝑈 ∈ TopSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  ontowfo 6326  cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  TopOpenctopn 16690   qTop cqtop 16771  s cimas 16772  TopOnctopon 21518  TopSpctps 21540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-rest 16691  df-topn 16692  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541
This theorem is referenced by:  qustps  22330  xpstps  22418
  Copyright terms: Public domain W3C validator