Theorem imastps 23619

Description: The image of a topological space under a function is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imastps.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imastps.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imastps.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imastps.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopSp)

Assertion

Ref	Expression
imastps	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ TopSp)

Proof of Theorem imastps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imastps.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imastps.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imastps.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imastps.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopSp)
5		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	imastopn 23618	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑈) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
8		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 5	istps 22830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
10	4, 9	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
11	2	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘𝑉) = (TopOn‘(Base‘𝑅)))
12	10, 11	eleqtrrd 2832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑉))
13		qtoptopon 23602	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑉) ∧ 𝐹:𝑉–onto→𝐵) → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝐵))
14	12, 3, 13	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝐵))
15	1, 2, 3, 4	imasbas 17488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
16	15	fveq2d 6896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘𝐵) = (TopOn‘(Base‘𝑈)))
17	14, 16	eleqtrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
18	7, 17	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑈) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
19		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
20	19, 6	istps 22830	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑈) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
21	18, 20	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  –onto→wfo 6541  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174  TopOpenctopn 17397   qTop cqtop 17479   “_s cimas 17480  TopOnctopon 22806  TopSpctps 22828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-rest 17398  df-topn 17399  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829

This theorem is referenced by:  qustps  23620  xpstps  23708