MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imastps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imastps 23095
Description: The image of a topological space under a function is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imastps.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imastps.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imastps.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imastps.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TopSp)
Assertion
Ref Expression
imastps (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ TopSp)

Proof of Theorem imastps
StepHypRef Expression
1 imastps.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
2 imastps.v . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
3 imastps.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
4 imastps.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TopSp)
5 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜π‘…) = (TopOpenβ€˜π‘…)
6 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜π‘ˆ) = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6imastopn 23094 . . 3 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘ˆ) = ((TopOpenβ€˜π‘…) qTop 𝐹))
8 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
98, 5istps 22306 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ TopSp ↔ (TopOpenβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
104, 9sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
112fveq2d 6850 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (TopOnβ€˜π‘‰) = (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
1210, 11eleqtrrd 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜π‘‰))
13 qtoptopon 23078 . . . . 5 (((TopOpenβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜π‘‰) ∧ 𝐹:𝑉–onto→𝐡) β†’ ((TopOpenβ€˜π‘…) qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π΅))
1412, 3, 13syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜π‘…) qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π΅))
151, 2, 3, 4imasbas 17402 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1615fveq2d 6850 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOnβ€˜π΅) = (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘ˆ)))
1714, 16eleqtrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜π‘…) qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘ˆ)))
187, 17eqeltrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘ˆ)))
19 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2019, 6istps 22306 . 2 (π‘ˆ ∈ TopSp ↔ (TopOpenβ€˜π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘ˆ)))
2118, 20sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ TopSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€“ontoβ†’wfo 6498  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  TopOpenctopn 17311   qTop cqtop 17393   β€œs cimas 17394  TopOnctopon 22282  TopSpctps 22304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-rest 17312  df-topn 17313  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305
This theorem is referenced by:  qustps  23096  xpstps  23184
  Copyright terms: Public domain W3C validator