Theorem imastps 23713

Description: The image of a topological space under a function is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imastps.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imastps.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imastps.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imastps.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopSp)

Assertion

Ref	Expression
imastps	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ TopSp)

Proof of Theorem imastps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imastps.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imastps.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imastps.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imastps.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopSp)
5		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	imastopn 23712	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑈) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
8		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 5	istps 22924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
10	4, 9	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
11	2	fveq2d 6897	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘𝑉) = (TopOn‘(Base‘𝑅)))
12	10, 11	eleqtrrd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑉))
13		qtoptopon 23696	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑉) ∧ 𝐹:𝑉–onto→𝐵) → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝐵))
14	12, 3, 13	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝐵))
15	1, 2, 3, 4	imasbas 17522	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
16	15	fveq2d 6897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘𝐵) = (TopOn‘(Base‘𝑈)))
17	14, 16	eleqtrd 2828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
18	7, 17	eqeltrd 2826	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑈) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
19		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
20	19, 6	istps 22924	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑈) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
21	18, 20	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  –onto→wfo 6544  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  TopOpenctopn 17431   qTop cqtop 17513   “_s cimas 17514  TopOnctopon 22900  TopSpctps 22922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-fz 13533  df-struct 17144  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-rest 17432  df-topn 17433  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923

This theorem is referenced by:  qustps  23714  xpstps  23802