Theorem imastps 24040

Description: The image of a topological space under a function is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imastps.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imastps.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imastps.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imastps.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopSp)

Assertion

Ref	Expression
imastps	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ TopSp)

Proof of Theorem imastps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imastps.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imastps.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imastps.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imastps.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopSp)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	imastopn 24039	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑈) = ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹))
8		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 5	istps 23252	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
10	4, 9	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
11	2	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘𝑉) = (TopOn‘(Base‘𝑅)))
12	10, 11	eleqtrrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑉))
13		qtoptopon 24023	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑉) ∧ 𝐹:𝑉–onto→𝐵) → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝐵))
14	12, 3, 13	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝐵))
15	1, 2, 3, 4	imasbas 17684	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
16	15	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘𝐵) = (TopOn‘(Base‘𝑈)))
17	14, 16	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘𝑅) qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
18	7, 17	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝑈) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
19		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
20	19, 6	istps 23252	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑈) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑈)))
21	18, 20	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ TopSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  TopOpenctopn 17592   qTop cqtop 17675   “_s cimas 17676  TopOnctopon 23228  TopSpctps 23250

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-rest 17593  df-topn 17594  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251

This theorem is used by:  qustps  24041  xpstps  24129