Theorem r11 35822

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at 1_o. (Contributed by BTernaryTau, 24-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r11	⊢ (𝑅1‘1o) = 1o

Proof of Theorem r11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8507	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	fveq2i 6914	. 2 ⊢ (𝑅1‘1o) = (𝑅1‘suc ∅)
3		r1dmlim 9802	. . 3 ⊢ Lim dom 𝑅1
4		0ellim 6448	. . 3 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ∅ ∈ dom 𝑅1)
5		r1sucg 9806	. . 3 ⊢ (∅ ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅)
7		pw0 4833	. . 3 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
8		r10 9805	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
9	8	pweqi 4576	. . 3 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘∅) = 𝒫 ∅
10		df1o2 8514	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
11	7, 9, 10	3eqtr4i 2796	. 2 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘∅) = 1o
12	2, 6, 11	3eqtri 2790	1 ⊢ (𝑅1‘1o) = 1o

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  dom cdm 5656  Lim wlim 6384  suc csuc 6385  ‘cfv 6561  1_oc1o 8500  𝑅₁cr1 9796

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-r1 9798

This theorem is used by:  r12  35823