Theorem r11 35282

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at 1_o. (Contributed by BTernaryTau, 24-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r11	⊢ (𝑅1‘1o) = 1o

Proof of Theorem r11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8402	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	fveq2i 6837	. 2 ⊢ (𝑅1‘1o) = (𝑅1‘suc ∅)
3		r1funlim 9688	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
4	3	simpri 486	. . 3 ⊢ Lim dom 𝑅1
5		0ellim 6381	. . 3 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ∅ ∈ dom 𝑅1)
6		r1sucg 9691	. . 3 ⊢ (∅ ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅)
8		pw0 4750	. . 3 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
9		r10 9690	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
10	9	pweqi 4552	. . 3 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘∅) = 𝒫 ∅
11		df1o2 8409	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
12	8, 10, 11	3eqtr4i 2773	. 2 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘∅) = 1o
13	2, 7, 12	3eqtri 2767	1 ⊢ (𝑅1‘1o) = 1o

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4536  {csn 4562  dom cdm 5625  Lim wlim 6318  suc csuc 6319  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  1_oc1o 8395  𝑅₁cr1 9684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-r1 9686

This theorem is referenced by:  r12  35283