Theorem r11 35250

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at 1_o. (Contributed by BTernaryTau, 24-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r11	⊢ (𝑅1‘1o) = 1o

Proof of Theorem r11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8397	. . 3 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	fveq2i 6837	. 2 ⊢ (𝑅1‘1o) = (𝑅1‘suc ∅)
3		r1funlim 9678	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
4	3	simpri 485	. . 3 ⊢ Lim dom 𝑅1
5		0ellim 6381	. . 3 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ∅ ∈ dom 𝑅1)
6		r1sucg 9681	. . 3 ⊢ (∅ ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝑅1‘suc ∅) = 𝒫 (𝑅1‘∅)
8		pw0 4768	. . 3 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
9		r10 9680	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
10	9	pweqi 4570	. . 3 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘∅) = 𝒫 ∅
11		df1o2 8404	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
12	8, 10, 11	3eqtr4i 2769	. 2 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘∅) = 1o
13	2, 7, 12	3eqtri 2763	1 ⊢ (𝑅1‘1o) = 1o

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4580  dom cdm 5624  Lim wlim 6318  suc csuc 6319  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  1_oc1o 8390  𝑅₁cr1 9674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-r1 9676

This theorem is referenced by:  r12  35251