Theorem r1sucg 9807

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1sucg	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))

Proof of Theorem r1sucg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgsucg 8462	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴)))
2		df-r1 9802	. . . 4 ⊢ 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
3	2	dmeqi 5918	. . 3 ⊢ dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
4	1, 3	eleq2s 2857	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴)))
5	2	fveq1i 6908	. 2 ⊢ (𝑅1‘suc 𝐴) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘suc 𝐴)
6		fvex 6920	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ V
7		pweq 4619	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑅1‘𝐴) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
8		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥) = (𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)
9	6	pwex 5386	. . . . 5 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘𝐴) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 7016	. . . 4 ⊢ ((𝑅1‘𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
11	6, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴)
12	2	fveq1i 6908	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘𝐴) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴)
13	12	fveq2i 6910	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(𝑅1‘𝐴)) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴))
14	11, 13	eqtr3i 2765	. 2 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘𝐴) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴))
15	4, 5, 14	3eqtr4g 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  suc csuc 6388  ‘cfv 6563  reccrdg 8448  𝑅₁cr1 9800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-r1 9802

This theorem is referenced by:  r1suc  9808  r1fin  9811  r1tr  9814  r1ordg  9816  r1pwss  9822  r1val1  9824  rankwflemb  9831  r1elwf  9834  rankr1ai  9836  rankr1bg  9841  pwwf  9845  unwf  9848  uniwf  9857  rankonidlem  9866  rankr1id  9900