MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1sucg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1sucg 9187
Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1sucg (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))

Proof of Theorem r1sucg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rdgsucg 8050 . . 3 (𝐴 ∈ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴)))
2 df-r1 9182 . . . 4 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
32dmeqi 5767 . . 3 dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
41, 3eleq2s 2931 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴)))
52fveq1i 6665 . 2 (𝑅1‘suc 𝐴) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘suc 𝐴)
6 fvex 6677 . . . 4 (𝑅1𝐴) ∈ V
7 pweq 4540 . . . . 5 (𝑥 = (𝑅1𝐴) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝑅1𝐴))
8 eqid 2821 . . . . 5 (𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥) = (𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)
96pwex 5273 . . . . 5 𝒫 (𝑅1𝐴) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6762 . . . 4 ((𝑅1𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(𝑅1𝐴)) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
116, 10ax-mp 5 . . 3 ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(𝑅1𝐴)) = 𝒫 (𝑅1𝐴)
122fveq1i 6665 . . . 4 (𝑅1𝐴) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴)
1312fveq2i 6667 . . 3 ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(𝑅1𝐴)) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴))
1411, 13eqtr3i 2846 . 2 𝒫 (𝑅1𝐴) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴))
154, 5, 143eqtr4g 2881 1 (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3495  c0 4290  𝒫 cpw 4537  cmpt 5138  dom cdm 5549  suc csuc 6187  cfv 6349  reccrdg 8036  𝑅1cr1 9180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-r1 9182
This theorem is referenced by:  r1suc  9188  r1fin  9191  r1tr  9194  r1ordg  9196  r1pwss  9202  r1val1  9204  rankwflemb  9211  r1elwf  9214  rankr1ai  9216  rankr1bg  9221  pwwf  9225  unwf  9228  uniwf  9237  rankonidlem  9246  rankr1id  9280
  Copyright terms: Public domain W3C validator