Theorem r1sucg 9768

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1sucg	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))

Proof of Theorem r1sucg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgsucg 8427	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴)))
2		df-r1 9763	. . . 4 ⊢ 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
3	2	dmeqi 5905	. . 3 ⊢ dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
4	1, 3	eleq2s 2849	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴)))
5	2	fveq1i 6893	. 2 ⊢ (𝑅1‘suc 𝐴) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘suc 𝐴)
6		fvex 6905	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ V
7		pweq 4617	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑅1‘𝐴) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
8		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥) = (𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)
9	6	pwex 5379	. . . . 5 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘𝐴) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6999	. . . 4 ⊢ ((𝑅1‘𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
11	6, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴)
12	2	fveq1i 6893	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘𝐴) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴)
13	12	fveq2i 6895	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(𝑅1‘𝐴)) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴))
14	11, 13	eqtr3i 2760	. 2 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘𝐴) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴))
15	4, 5, 14	3eqtr4g 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  suc csuc 6367  ‘cfv 6544  reccrdg 8413  𝑅₁cr1 9761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-r1 9763

This theorem is referenced by:  r1suc  9769  r1fin  9772  r1tr  9775  r1ordg  9777  r1pwss  9783  r1val1  9785  rankwflemb  9792  r1elwf  9795  rankr1ai  9797  rankr1bg  9802  pwwf  9806  unwf  9809  uniwf  9818  rankonidlem  9827  rankr1id  9861