Theorem r1sucg 9794

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1sucg	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))

Proof of Theorem r1sucg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgsucg 8444	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴)))
2		df-r1 9789	. . . 4 ⊢ 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
3	2	dmeqi 5907	. . 3 ⊢ dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
4	1, 3	eleq2s 2843	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴)))
5	2	fveq1i 6897	. 2 ⊢ (𝑅1‘suc 𝐴) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘suc 𝐴)
6		fvex 6909	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ V
7		pweq 4618	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑅1‘𝐴) → 𝒫 𝑥 = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
8		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥) = (𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)
9	6	pwex 5380	. . . . 5 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘𝐴) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 7004	. . . 4 ⊢ ((𝑅1‘𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
11	6, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴)
12	2	fveq1i 6897	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘𝐴) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴)
13	12	fveq2i 6899	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(𝑅1‘𝐴)) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴))
14	11, 13	eqtr3i 2755	. 2 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘𝐴) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥)‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘𝐴))
15	4, 5, 14	3eqtr4g 2790	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4604   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5678  suc csuc 6373  ‘cfv 6549  reccrdg 8430  𝑅₁cr1 9787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-r1 9789

This theorem is referenced by:  r1suc  9795  r1fin  9798  r1tr  9801  r1ordg  9803  r1pwss  9809  r1val1  9811  rankwflemb  9818  r1elwf  9821  rankr1ai  9823  rankr1bg  9828  pwwf  9832  unwf  9835  uniwf  9844  rankonidlem  9853  rankr1id  9887