Theorem r12 35810

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at 2_o. (Contributed by BTernaryTau, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r12	⊢ (𝑅1‘2o) = 2o

Proof of Theorem r12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8505	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	fveq2i 6911	. 2 ⊢ (𝑅1‘2o) = (𝑅1‘suc 1o)
3		r1dmlim 9799	. . 3 ⊢ Lim dom 𝑅1
4		1ellim 8534	. . 3 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → 1o ∈ dom 𝑅1)
5		r1sucg 9803	. . 3 ⊢ (1o ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 1o) = 𝒫 (𝑅1‘1o))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝑅1‘suc 1o) = 𝒫 (𝑅1‘1o)
7		pwpw0 4834	. . 3 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
8		r11 35809	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘1o) = 1o
9		df1o2 8511	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
10	8, 9	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘1o) = {∅}
11	10	pweqi 4576	. . 3 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘1o) = 𝒫 {∅}
12		df2o2 8513	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13	7, 11, 12	3eqtr4i 2796	. 2 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘1o) = 2o
14	2, 6, 13	3eqtri 2790	1 ⊢ (𝑅1‘2o) = 2o

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  {cpr 4590  dom cdm 5655  Lim wlim 6381  suc csuc 6382  ‘cfv 6558  1_oc1o 8497  2_oc2o 8498  𝑅₁cr1 9793

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-r1 9795

This theorem is used by: (None)