Theorem r12 35778

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at 2_o. (Contributed by BTernaryTau, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r12	⊢ (𝑅1‘2o) = 2o

Proof of Theorem r12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8480	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (𝑅1‘2o) = (𝑅1‘suc 1o)
3		r1dmlim 9775	. . 3 ⊢ Lim dom 𝑅1
4		1ellim 8509	. . 3 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → 1o ∈ dom 𝑅1)
5		r1sucg 9779	. . 3 ⊢ (1o ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 1o) = 𝒫 (𝑅1‘1o))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝑅1‘suc 1o) = 𝒫 (𝑅1‘1o)
7		pwpw0 4830	. . 3 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
8		r11 35777	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘1o) = 1o
9		df1o2 8486	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
10	8, 9	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘1o) = {∅}
11	10	pweqi 4572	. . 3 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘1o) = 𝒫 {∅}
12		df2o2 8488	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13	7, 11, 12	3eqtr4i 2793	. 2 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘1o) = 2o
14	2, 6, 13	3eqtri 2787	1 ⊢ (𝑅1‘2o) = 2o

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  {cpr 4586  dom cdm 5650  Lim wlim 6363  suc csuc 6364  ‘cfv 6538  1_oc1o 8472  2_oc2o 8473  𝑅₁cr1 9769

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-r1 9771

This theorem is used by: (None)