Theorem r12 35705

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at 2_o. (Contributed by BTernaryTau, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r12	⊢ (𝑅1‘2o) = 2o

Proof of Theorem r12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8461	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	fveq2i 6880	. 2 ⊢ (𝑅1‘2o) = (𝑅1‘suc 1o)
3		r1dmlim 9756	. . 3 ⊢ Lim dom 𝑅1
4		1ellim 8490	. . 3 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → 1o ∈ dom 𝑅1)
5		r1sucg 9759	. . 3 ⊢ (1o ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 1o) = 𝒫 (𝑅1‘1o))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝑅1‘suc 1o) = 𝒫 (𝑅1‘1o)
7		pwpw0 4774	. . 3 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
8		r11 35704	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘1o) = 1o
9		df1o2 8467	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
10	8, 9	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘1o) = {∅}
11	10	pweqi 4573	. . 3 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘1o) = 𝒫 {∅}
12		df2o2 8469	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13	7, 11, 12	3eqtr4i 2794	. 2 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘1o) = 2o
14	2, 6, 13	3eqtri 2788	1 ⊢ (𝑅1‘2o) = 2o

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  {cpr 4586  dom cdm 5651  Lim wlim 6356  suc csuc 6357  ‘cfv 6531  1_oc1o 8453  2_oc2o 8454  𝑅₁cr1 9750

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-r1 9752

This theorem is used by: (None)