Theorem r12 35270

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at 2_o. (Contributed by BTernaryTau, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r12	⊢ (𝑅1‘2o) = 2o

Proof of Theorem r12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8408	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	fveq2i 6845	. 2 ⊢ (𝑅1‘2o) = (𝑅1‘suc 1o)
3		r1funlim 9690	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
4	3	simpri 485	. . 3 ⊢ Lim dom 𝑅1
5		1ellim 8435	. . 3 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → 1o ∈ dom 𝑅1)
6		r1sucg 9693	. . 3 ⊢ (1o ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 1o) = 𝒫 (𝑅1‘1o))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝑅1‘suc 1o) = 𝒫 (𝑅1‘1o)
8		pwpw0 4771	. . 3 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
9		r11 35269	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘1o) = 1o
10		df1o2 8414	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
11	9, 10	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘1o) = {∅}
12	11	pweqi 4572	. . 3 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘1o) = 𝒫 {∅}
13		df2o2 8416	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
14	8, 12, 13	3eqtr4i 2770	. 2 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘1o) = 2o
15	2, 7, 14	3eqtri 2764	1 ⊢ (𝑅1‘2o) = 2o

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  {cpr 4584  dom cdm 5632  Lim wlim 6326  suc csuc 6327  Fun wfun 6494  ‘cfv 6500  1_oc1o 8400  2_oc2o 8401  𝑅₁cr1 9686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-r1 9688

This theorem is referenced by: (None)