Theorem r12 35355

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at 2_o. (Contributed by BTernaryTau, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r12	⊢ (𝑅1‘2o) = 2o

Proof of Theorem r12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8433	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	fveq2i 6866	. 2 ⊢ (𝑅1‘2o) = (𝑅1‘suc 1o)
3		r1funlim 9721	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
4	3	simpri 489	. . 3 ⊢ Lim dom 𝑅1
5		1ellim 8462	. . 3 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → 1o ∈ dom 𝑅1)
6		r1sucg 9724	. . 3 ⊢ (1o ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 1o) = 𝒫 (𝑅1‘1o))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝑅1‘suc 1o) = 𝒫 (𝑅1‘1o)
8		pwpw0 4770	. . 3 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
9		r11 35354	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘1o) = 1o
10		df1o2 8439	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
11	9, 10	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘1o) = {∅}
12	11	pweqi 4570	. . 3 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘1o) = 𝒫 {∅}
13		df2o2 8441	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
14	8, 12, 13	3eqtr4i 2794	. 2 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘1o) = 2o
15	2, 7, 14	3eqtri 2788	1 ⊢ (𝑅1‘2o) = 2o

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4581  {cpr 4583  dom cdm 5645  Lim wlim 6343  suc csuc 6344  Fun wfun 6511  ‘cfv 6517  1_oc1o 8425  2_oc2o 8426  𝑅₁cr1 9717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-r1 9719

This theorem is referenced by: (None)