Theorem r12 35513

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at 2_o. (Contributed by BTernaryTau, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r12	⊢ (𝑅1‘2o) = 2o

Proof of Theorem r12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8463	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	fveq2i 6891	. 2 ⊢ (𝑅1‘2o) = (𝑅1‘suc 1o)
3		r1funlim 9748	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
4	3	simpri 491	. . 3 ⊢ Lim dom 𝑅1
5		1ellim 8492	. . 3 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → 1o ∈ dom 𝑅1)
6		r1sucg 9751	. . 3 ⊢ (1o ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 1o) = 𝒫 (𝑅1‘1o))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝑅1‘suc 1o) = 𝒫 (𝑅1‘1o)
8		pwpw0 4784	. . 3 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
9		r11 35512	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘1o) = 1o
10		df1o2 8469	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
11	9, 10	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘1o) = {∅}
12	11	pweqi 4583	. . 3 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘1o) = 𝒫 {∅}
13		df2o2 8471	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
14	8, 12, 13	3eqtr4i 2799	. 2 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘1o) = 2o
15	2, 7, 14	3eqtri 2793	1 ⊢ (𝑅1‘2o) = 2o

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567  {csn 4594  {cpr 4596  dom cdm 5666  Lim wlim 6368  suc csuc 6369  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  1_oc1o 8455  2_oc2o 8456  𝑅₁cr1 9744

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-r1 9746

This theorem is used by: (None)