Theorem r12 35403

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at 2_o. (Contributed by BTernaryTau, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r12	⊢ (𝑅1‘2o) = 2o

Proof of Theorem r12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8442	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	fveq2i 6874	. 2 ⊢ (𝑅1‘2o) = (𝑅1‘suc 1o)
3		r1funlim 9726	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
4	3	simpri 490	. . 3 ⊢ Lim dom 𝑅1
5		1ellim 8471	. . 3 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → 1o ∈ dom 𝑅1)
6		r1sucg 9729	. . 3 ⊢ (1o ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 1o) = 𝒫 (𝑅1‘1o))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝑅1‘suc 1o) = 𝒫 (𝑅1‘1o)
8		pwpw0 4774	. . 3 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
9		r11 35402	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘1o) = 1o
10		df1o2 8448	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
11	9, 10	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘1o) = {∅}
12	11	pweqi 4574	. . 3 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘1o) = 𝒫 {∅}
13		df2o2 8450	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
14	8, 12, 13	3eqtr4i 2798	. 2 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘1o) = 2o
15	2, 7, 14	3eqtri 2792	1 ⊢ (𝑅1‘2o) = 2o

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558  {csn 4585  {cpr 4587  dom cdm 5652  Lim wlim 6351  suc csuc 6352  Fun wfun 6519  ‘cfv 6525  1_oc1o 8434  2_oc2o 8435  𝑅₁cr1 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-r1 9724

This theorem is referenced by: (None)