Theorem r12 35127

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at 2_o. (Contributed by BTernaryTau, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r12	⊢ (𝑅1‘2o) = 2o

Proof of Theorem r12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8392	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2	1	fveq2i 6831	. 2 ⊢ (𝑅1‘2o) = (𝑅1‘suc 1o)
3		r1funlim 9666	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
4	3	simpri 485	. . 3 ⊢ Lim dom 𝑅1
5		1ellim 8419	. . 3 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → 1o ∈ dom 𝑅1)
6		r1sucg 9669	. . 3 ⊢ (1o ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 1o) = 𝒫 (𝑅1‘1o))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝑅1‘suc 1o) = 𝒫 (𝑅1‘1o)
8		pwpw0 4764	. . 3 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
9		r11 35126	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘1o) = 1o
10		df1o2 8398	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
11	9, 10	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘1o) = {∅}
12	11	pweqi 4565	. . 3 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘1o) = 𝒫 {∅}
13		df2o2 8400	. . 3 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
14	8, 12, 13	3eqtr4i 2766	. 2 ⊢ 𝒫 (𝑅1‘1o) = 2o
15	2, 7, 14	3eqtri 2760	1 ⊢ (𝑅1‘2o) = 2o

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4549  {csn 4575  {cpr 4577  dom cdm 5619  Lim wlim 6312  suc csuc 6313  Fun wfun 6480  ‘cfv 6486  1_oc1o 8384  2_oc2o 8385  𝑅₁cr1 9662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-r1 9664

This theorem is referenced by: (None)