Theorem r10 9774

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at ∅. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r10	⊢ (𝑅1‘∅) = ∅

Proof of Theorem r10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r1 9770	. . 3 ⊢ 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
2	1	fveq1i 6873	. 2 ⊢ (𝑅1‘∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘∅)
3		0ex 5274	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	rdg0 8429	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘∅) = ∅
5	2, 4	eqtri 2757	1 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1539  Vcvv 3457  ∅c0 4306  𝒫 cpw 4573   ↦ cmpt 5198  ‘cfv 6527  reccrdg 8417  𝑅₁cr1 9768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pr 5399  ax-un 7723

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7402  df-om 7856  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-r1 9770

This theorem is referenced by:  r1fin  9779  r1tr  9782  r1pwss  9790  r1val1  9792  rankeq0b  9866  ackbij2lem2  10245  ackbij2lem3  10246  wunr1om  10725  r1wunlim  10743  tskr1om  10773  inar1  10781  r1tskina  10788  grur1a  10825  grothomex  10835  rankeq1o  36110  grur1cld  44182