Theorem r10 9199

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at ∅. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r10	⊢ (𝑅1‘∅) = ∅

Proof of Theorem r10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r1 9195	. . 3 ⊢ 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
2	1	fveq1i 6673	. 2 ⊢ (𝑅1‘∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘∅)
3		0ex 5213	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	rdg0 8059	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘∅) = ∅
5	2, 4	eqtri 2846	1 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1537  Vcvv 3496  ∅c0 4293  𝒫 cpw 4541   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  reccrdg 8047  𝑅₁cr1 9193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-r1 9195

This theorem is referenced by:  r1fin  9204  r1tr  9207  r1pwss  9215  r1val1  9217  rankeq0b  9291  ackbij2lem2  9664  ackbij2lem3  9665  wunr1om  10143  r1wunlim  10161  tskr1om  10191  inar1  10199  r1tskina  10206  grur1a  10243  grothomex  10253  rankeq1o  33634  grur1cld  40575