Theorem r10 9721

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at ∅. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r10	⊢ (𝑅1‘∅) = ∅

Proof of Theorem r10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r1 9717	. . 3 ⊢ 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
2	1	fveq1i 6859	. 2 ⊢ (𝑅1‘∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘∅)
3		0ex 5262	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	rdg0 8389	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘∅) = ∅
5	2, 4	eqtri 2752	1 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1540  Vcvv 3447  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  reccrdg 8377  𝑅₁cr1 9715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-r1 9717

This theorem is referenced by:  r1fin  9726  r1tr  9729  r1pwss  9737  r1val1  9739  rankeq0b  9813  ackbij2lem2  10192  ackbij2lem3  10193  wunr1om  10672  r1wunlim  10690  tskr1om  10720  inar1  10728  r1tskina  10735  grur1a  10772  grothomex  10782  rankeq1o  36159  grur1cld  44221