MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r10 8881
Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at . Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
r10 (𝑅1‘∅) = ∅

Proof of Theorem r10
StepHypRef Expression
1 df-r1 8877 . . 3 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
21fveq1i 6412 . 2 (𝑅1‘∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘∅)
3 0ex 4984 . . 3 ∅ ∈ V
43rdg0 7756 . 2 (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)‘∅) = ∅
52, 4eqtri 2821 1 (𝑅1‘∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1653  Vcvv 3385  c0 4115  𝒫 cpw 4349  cmpt 4922  cfv 6101  reccrdg 7744  𝑅1cr1 8875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-r1 8877
This theorem is referenced by:  r1fin  8886  r1tr  8889  r1pwss  8897  r1val1  8899  rankeq0b  8973  ackbij2lem2  9350  ackbij2lem3  9351  wunr1om  9829  r1wunlim  9847  tskr1om  9877  inar1  9885  r1tskina  9892  grur1a  9929  grothomex  9939  rankeq1o  32791
  Copyright terms: Public domain W3C validator