MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1ord2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1ord2 9819
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Proposition 9.10(2) of [TakeutiZaring] p. 77. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ord2 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))

Proof of Theorem r1ord2
StepHypRef Expression
1 r1tr 9814 . 2 Tr (𝑅1𝐵)
2 r1ord 9818 . 2 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵)))
3 trss 5276 . 2 (Tr (𝑅1𝐵) → ((𝑅1𝐴) ∈ (𝑅1𝐵) → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
41, 2, 3mpsylsyld 69 1 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵 → (𝑅1𝐴) ⊆ (𝑅1𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wss 3963  Tr wtr 5265  Oncon0 6386  cfv 6563  𝑅1cr1 9800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-r1 9802
This theorem is referenced by:  tz9.12lem3  9827  dfac12lem2  10183  smobeth  10624  wunex3  10779  inatsk  10816
  Copyright terms: Public domain W3C validator