Theorem rankelg 35662

Description: The membership relation is inherited by the rank function. Closed form of rankel 9831. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rankelg	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))

Proof of Theorem rankelg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2814	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑦 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
2		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (rank‘𝑦) = (rank‘𝐵))
3	2	eleq2d 2811	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝑦) ↔ (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵)))
4	1, 3	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑦 → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝑦)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))))
5		vex 3470	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	5	rankel 9831	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑦 → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝑦))
7	4, 6	vtoclg 3535	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵)))
8	7	imp 406	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6534  rankcrnk 9755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-reg 9584  ax-inf2 9633

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-r1 9756  df-rank 9757

This theorem is referenced by:  hfelhf  35675