Theorem rankelg 9833

Description: The membership relation is inherited by the rank function. Closed form of rankel 9832. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rankelg	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))

Proof of Theorem rankelg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2850	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑦 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
2		fveq2 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (rank‘𝑦) = (rank‘𝐵))
3	2	eleq2d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝑦) ↔ (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵)))
4	1, 3	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑦 → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝑦)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))))
5		vex 3455	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	5	rankel 9832	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑦 → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝑦))
7	4, 6	vtoclg 3518	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵)))
8	7	imp 412	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  rankcrnk 9751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-reg 9570  ax-inf2 9626

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-r1 9752  df-rank 9753

This theorem is used by:  hfelhfOLD  9897