Theorem rankel 9856

Description: The membership relation is inherited by the rank function. Proposition 9.16 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 4-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankel.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankel	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))

Proof of Theorem rankel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankel.1	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		unir1 9830	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2827	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		rankelb 9841	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵)))
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (rank‘𝐴) ∈ (rank‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  ∪ cuni 4903   “ cima 5675  Oncon0 6363  ‘cfv 6542  𝑅₁cr1 9779  rankcrnk 9780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-reg 9609  ax-inf2 9658

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-r1 9781  df-rank 9782

This theorem is referenced by:  rankuni  9880  rankval4  9884  rankc2  9888  rankxplim  9896  rankelg  35754