Theorem rankeq0 9722

Description: A set is empty iff its rank is empty. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankeq0.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankeq0	⊢ (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem rankeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankeq0.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unir1 9674	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2837	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		rankeq0b 9721	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3442  ∅c0 4273  ∪ cuni 4856   “ cima 5627  Oncon0 6306  ‘cfv 6483  𝑅₁cr1 9623  rankcrnk 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-reg 9453  ax-inf2 9502

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-ov 7344  df-om 7785  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-r1 9625  df-rank 9626

This theorem is referenced by:  rankxplim2  9741  rankxplim3  9742  rankxpsuc  9743  rank0  34609  rankeq1o  34610