Theorem rankeq0 8974

Description: A set is empty iff its rank is empty. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankeq0.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankeq0	⊢ (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem rankeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankeq0.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unir1 8926	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2877	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		rankeq0b 8973	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 198   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3385  ∅c0 4115  ∪ cuni 4628   “ cima 5315  Oncon0 5941  ‘cfv 6101  𝑅₁cr1 8875  rankcrnk 8876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-reg 8739  ax-inf2 8788

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-r1 8877  df-rank 8878

This theorem is referenced by:  rankxplim2  8993  rankxplim3  8994  rankxpsuc  8995  rank0  32790  rankeq1o  32791