Theorem rankeq0 9782

Description: A set is empty iff its rank is empty. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankeq0.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankeq0	⊢ (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem rankeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankeq0.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unir1 9734	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2836	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		rankeq0b 9781	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ∪ cuni 4851   “ cima 5631  Oncon0 6321  ‘cfv 6496  𝑅₁cr1 9683  rankcrnk 9684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-reg 9504  ax-inf2 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7367  df-om 7815  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-r1 9685  df-rank 9686

This theorem is referenced by:  rankxplim2  9801  rankxplim3  9802  rankxpsuc  9803  rank0  36374  rankeq1o  36375