Theorem rankeq0 9831

Description: A set is empty iff its rank is empty. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankeq0.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rankeq0	⊢ (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem rankeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankeq0.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unir1 9783	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2861	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		rankeq0b 9830	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ∅c0 4285  ∪ cuni 4871   “ cima 5663  Oncon0 6360  ‘cfv 6536  𝑅₁cr1 9732  rankcrnk 9733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-reg 9552  ax-inf2 9608

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-r1 9734  df-rank 9735

This theorem is used by:  rankxplim2  9850  rankxplim3  9851  rankxpsuc  9852  rankscottu  35531  rankkardu  35592  rank0  36670  rankeq1o  36671