Theorem rankeq0b 9000

Description: A set is empty iff its rank is empty. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankeq0b	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))

Proof of Theorem rankeq0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6433	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = (rank‘∅))
2		r1funlim 8906	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
3	2	simpri 481	. . . . . 6 ⊢ Lim dom 𝑅1
4		limomss 7331	. . . . . 6 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
6		peano1 7346	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
7	5, 6	sselii 3824	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom 𝑅1
8		rankonid 8969	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘∅) = ∅)
9	7, 8	mpbi 222	. . 3 ⊢ (rank‘∅) = ∅
10	1, 9	syl6eq 2877	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = ∅)
11		eqimss 3882	. . . . . . 7 ⊢ ((rank‘𝐴) = ∅ → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
12	11	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
13		simpl 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
14		rankr1bg 8943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ ∅ ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
15	13, 7, 14	sylancl 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
16	12, 15	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅))
17		r10 8908	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
18	16, 17	syl6sseq 3876	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ ∅)
19		ss0 4199	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
21	20	ex 403	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
22	10, 21	impbid2 218	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144  ∪ cuni 4658  dom cdm 5342   “ cima 5345  Oncon0 5963  Lim wlim 5964  Fun wfun 6117  ‘cfv 6123  ωcom 7326  𝑅₁cr1 8902  rankcrnk 8903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-r1 8904  df-rank 8905

This theorem is referenced by:  rankeq0  9001