Theorem rankeq0b 9845

Description: A set is empty iff its rank is empty. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankeq0b	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))

Proof of Theorem rankeq0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6882	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = (rank‘∅))
2		r1funlim 9751	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
3	2	simpri 491	. . . . . 6 ⊢ Lim dom 𝑅1
4		limomss 7870	. . . . . 6 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
6		peano1 7888	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
7	5, 6	sselii 3931	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom 𝑅1
8		rankonid 9814	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘∅) = ∅)
9	7, 8	mpbi 233	. . 3 ⊢ (rank‘∅) = ∅
10	1, 9	eqtrdi 2813	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = ∅)
11		eqimss 3992	. . . . . . 7 ⊢ ((rank‘𝐴) = ∅ → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
13		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
14		rankr1bg 9788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ ∅ ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
15	13, 7, 14	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
16	12, 15	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅))
17		r10 9753	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
18	16, 17	sseqtrdi 3974	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ ∅)
19		ss0 4355	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
20	18, 19	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
21	20	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
22	10, 21	impbid2 229	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ∪ cuni 4870  dom cdm 5659   “ cima 5662  Oncon0 6361  Lim wlim 6362  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  ωcom 7865  𝑅₁cr1 9747  rankcrnk 9748

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-r1 9749  df-rank 9750

This theorem is used by:  rankeq0  9846