MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankeq0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankeq0b 9000
Description: A set is empty iff its rank is empty. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankeq0b (𝐴 (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))

Proof of Theorem rankeq0b
StepHypRef Expression
1 fveq2 6433 . . 3 (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = (rank‘∅))
2 r1funlim 8906 . . . . . . 7 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
32simpri 481 . . . . . 6 Lim dom 𝑅1
4 limomss 7331 . . . . . 6 (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ω ⊆ dom 𝑅1
6 peano1 7346 . . . . 5 ∅ ∈ ω
75, 6sselii 3824 . . . 4 ∅ ∈ dom 𝑅1
8 rankonid 8969 . . . 4 (∅ ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘∅) = ∅)
97, 8mpbi 222 . . 3 (rank‘∅) = ∅
101, 9syl6eq 2877 . 2 (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = ∅)
11 eqimss 3882 . . . . . . 7 ((rank‘𝐴) = ∅ → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
1211adantl 475 . . . . . 6 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
13 simpl 476 . . . . . . 7 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 (𝑅1 “ On))
14 rankr1bg 8943 . . . . . . 7 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ ∅ ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
1513, 7, 14sylancl 582 . . . . . 6 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
1612, 15mpbird 249 . . . . 5 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅))
17 r10 8908 . . . . 5 (𝑅1‘∅) = ∅
1816, 17syl6sseq 3876 . . . 4 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ ∅)
19 ss0 4199 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
2120ex 403 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
2210, 21impbid2 218 1 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wss 3798  c0 4144   cuni 4658  dom cdm 5342  cima 5345  Oncon0 5963  Lim wlim 5964  Fun wfun 6117  cfv 6123  ωcom 7326  𝑅1cr1 8902  rankcrnk 8903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-r1 8904  df-rank 8905
This theorem is referenced by:  rankeq0  9001
  Copyright terms: Public domain W3C validator