MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankeq0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankeq0b 9275
Description: A set is empty iff its rank is empty. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankeq0b (𝐴 (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))

Proof of Theorem rankeq0b
StepHypRef Expression
1 fveq2 6653 . . 3 (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = (rank‘∅))
2 r1funlim 9181 . . . . . . 7 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
32simpri 489 . . . . . 6 Lim dom 𝑅1
4 limomss 7570 . . . . . 6 (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ω ⊆ dom 𝑅1
6 peano1 7586 . . . . 5 ∅ ∈ ω
75, 6sselii 3948 . . . 4 ∅ ∈ dom 𝑅1
8 rankonid 9244 . . . 4 (∅ ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘∅) = ∅)
97, 8mpbi 233 . . 3 (rank‘∅) = ∅
101, 9syl6eq 2875 . 2 (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = ∅)
11 eqimss 4007 . . . . . . 7 ((rank‘𝐴) = ∅ → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
1211adantl 485 . . . . . 6 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
13 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 (𝑅1 “ On))
14 rankr1bg 9218 . . . . . . 7 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ ∅ ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
1513, 7, 14sylancl 589 . . . . . 6 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
1612, 15mpbird 260 . . . . 5 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅))
17 r10 9183 . . . . 5 (𝑅1‘∅) = ∅
1816, 17sseqtrdi 4001 . . . 4 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ ∅)
19 ss0 4333 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
2120ex 416 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
2210, 21impbid2 229 1 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3918  c0 4274   cuni 4821  dom cdm 5538  cima 5541  Oncon0 6174  Lim wlim 6175  Fun wfun 6332  cfv 6338  ωcom 7565  𝑅1cr1 9177  rankcrnk 9178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-om 7566  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-r1 9179  df-rank 9180
This theorem is referenced by:  rankeq0  9276
  Copyright terms: Public domain W3C validator