Theorem rankeq0b 9283

Description: A set is empty iff its rank is empty. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankeq0b	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))

Proof of Theorem rankeq0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6664	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = (rank‘∅))
2		r1funlim 9189	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
3	2	simpri 488	. . . . . 6 ⊢ Lim dom 𝑅1
4		limomss 7579	. . . . . 6 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
6		peano1 7595	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
7	5, 6	sselii 3963	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom 𝑅1
8		rankonid 9252	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘∅) = ∅)
9	7, 8	mpbi 232	. . 3 ⊢ (rank‘∅) = ∅
10	1, 9	syl6eq 2872	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = ∅)
11		eqimss 4022	. . . . . . 7 ⊢ ((rank‘𝐴) = ∅ → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
12	11	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
13		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
14		rankr1bg 9226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ ∅ ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
15	13, 7, 14	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
16	12, 15	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅))
17		r10 9191	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
18	16, 17	sseqtrdi 4016	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ ∅)
19		ss0 4351	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
21	20	ex 415	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
22	10, 21	impbid2 228	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  ∪ cuni 4831  dom cdm 5549   “ cima 5552  Oncon0 6185  Lim wlim 6186  Fun wfun 6343  ‘cfv 6349  ωcom 7574  𝑅₁cr1 9185  rankcrnk 9186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-r1 9187  df-rank 9188

This theorem is referenced by:  rankeq0  9284