Theorem rankeq0b 9820

Description: A set is empty iff its rank is empty. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankeq0b	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))

Proof of Theorem rankeq0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6869	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = (rank‘∅))
2		r1funlim 9726	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
3	2	simpri 489	. . . . . 6 ⊢ Lim dom 𝑅1
4		limomss 7853	. . . . . 6 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
6		peano1 7871	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
7	5, 6	sselii 3935	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom 𝑅1
8		rankonid 9789	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘∅) = ∅)
9	7, 8	mpbi 232	. . 3 ⊢ (rank‘∅) = ∅
10	1, 9	eqtrdi 2815	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = ∅)
11		eqimss 3996	. . . . . . 7 ⊢ ((rank‘𝐴) = ∅ → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
12	11	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
13		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
14		rankr1bg 9763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ ∅ ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
15	13, 7, 14	sylancl 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
16	12, 15	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅))
17		r10 9728	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
18	16, 17	sseqtrdi 3978	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ ∅)
19		ss0 4358	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
21	20	ex 416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
22	10, 21	impbid2 228	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  ∪ cuni 4867  dom cdm 5649   “ cima 5652  Oncon0 6348  Lim wlim 6349  Fun wfun 6517  ‘cfv 6523  ωcom 7848  𝑅₁cr1 9722  rankcrnk 9723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-r1 9724  df-rank 9725

This theorem is referenced by:  rankeq0  9821