Theorem rankeq0b 9774

Description: A set is empty iff its rank is empty. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankeq0b	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))

Proof of Theorem rankeq0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6833	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = (rank‘∅))
2		r1funlim 9680	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
3	2	simpri 485	. . . . . 6 ⊢ Lim dom 𝑅1
4		limomss 7813	. . . . . 6 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
6		peano1 7831	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
7	5, 6	sselii 3929	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom 𝑅1
8		rankonid 9743	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘∅) = ∅)
9	7, 8	mpbi 230	. . 3 ⊢ (rank‘∅) = ∅
10	1, 9	eqtrdi 2786	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = ∅)
11		eqimss 3991	. . . . . . 7 ⊢ ((rank‘𝐴) = ∅ → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
13		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
14		rankr1bg 9717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ ∅ ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
15	13, 7, 14	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
16	12, 15	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅))
17		r10 9682	. . . . 5 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
18	16, 17	sseqtrdi 3973	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ ∅)
19		ss0 4353	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
21	20	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
22	10, 21	impbid2 226	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3900  ∅c0 4284  ∪ cuni 4862  dom cdm 5623   “ cima 5626  Oncon0 6316  Lim wlim 6317  Fun wfun 6485  ‘cfv 6491  ωcom 7808  𝑅₁cr1 9676  rankcrnk 9677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-r1 9678  df-rank 9679

This theorem is referenced by:  rankeq0  9775