Theorem rankr1id 9859

Description: The rank of the hierarchy of an ordinal number is itself. (Contributed by NM, 14-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankr1id	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem rankr1id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 4004	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐴)
2		fvex 6904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ V
3	2	pwid 4624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)
4		r1sucg 9766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
5	3, 4	eleqtrrid 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))
6		r1elwf 9793	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
8		rankr1bg 9800	. . . . 5 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → ((𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐴) ↔ (rank‘(𝑅1‘𝐴)) ⊆ 𝐴))
9	7, 8	mpancom 686	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → ((𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐴) ↔ (rank‘(𝑅1‘𝐴)) ⊆ 𝐴))
10	1, 9	mpbii 232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘(𝑅1‘𝐴)) ⊆ 𝐴)
11		rankonid 9826	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
12	11	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘𝐴) = 𝐴)
13		onssr1 9828	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
14		rankssb 9845	. . . . 5 ⊢ ((𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴) → (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘(𝑅1‘𝐴))))
15	7, 13, 14	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘(𝑅1‘𝐴)))
16	12, 15	eqsstrrd 4021	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (rank‘(𝑅1‘𝐴)))
17	10, 16	eqssd 3999	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)
18		id 22	. . 3 ⊢ ((rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴 → (rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)
19		rankdmr1 9798	. . 3 ⊢ (rank‘(𝑅1‘𝐴)) ∈ dom 𝑅1
20	18, 19	eqeltrrdi 2842	. 2 ⊢ ((rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴 → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
21	17, 20	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602  ∪ cuni 4908  dom cdm 5676   “ cima 5679  Oncon0 6364  suc csuc 6366  ‘cfv 6543  𝑅₁cr1 9759  rankcrnk 9760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-r1 9761  df-rank 9762

This theorem is referenced by:  rankuni  9860