Theorem rankr1id 9551

Description: The rank of the hierarchy of an ordinal number is itself. (Contributed by NM, 14-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankr1id	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem rankr1id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3939	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐴)
2		fvex 6769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ V
3	2	pwid 4554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)
4		r1sucg 9458	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
5	3, 4	eleqtrrid 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))
6		r1elwf 9485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
8		rankr1bg 9492	. . . . 5 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → ((𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐴) ↔ (rank‘(𝑅1‘𝐴)) ⊆ 𝐴))
9	7, 8	mpancom 684	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → ((𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐴) ↔ (rank‘(𝑅1‘𝐴)) ⊆ 𝐴))
10	1, 9	mpbii 232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘(𝑅1‘𝐴)) ⊆ 𝐴)
11		rankonid 9518	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
12	11	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘𝐴) = 𝐴)
13		onssr1 9520	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
14		rankssb 9537	. . . . 5 ⊢ ((𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴) → (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘(𝑅1‘𝐴))))
15	7, 13, 14	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘(𝑅1‘𝐴)))
16	12, 15	eqsstrrd 3956	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (rank‘(𝑅1‘𝐴)))
17	10, 16	eqssd 3934	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)
18		id 22	. . 3 ⊢ ((rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴 → (rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)
19		rankdmr1 9490	. . 3 ⊢ (rank‘(𝑅1‘𝐴)) ∈ dom 𝑅1
20	18, 19	eqeltrrdi 2848	. 2 ⊢ ((rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴 → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
21	17, 20	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  ∪ cuni 4836  dom cdm 5580   “ cima 5583  Oncon0 6251  suc csuc 6253  ‘cfv 6418  𝑅₁cr1 9451  rankcrnk 9452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-r1 9453  df-rank 9454

This theorem is referenced by:  rankuni  9552