Theorem rankr1id 9848

Description: The rank of the hierarchy of an ordinal number is itself. (Contributed by NM, 14-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankr1id	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem rankr1id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3953	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐴)
2		fvex 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ V
3	2	pwid 4580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)
4		r1sucg 9751	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐴) = 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
5	3, 4	eleqtrrid 2867	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴))
6		r1elwf 9778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅1‘𝐴) ∈ (𝑅1‘suc 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
8		rankr1bg 9785	. . . . 5 ⊢ (((𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) → ((𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐴) ↔ (rank‘(𝑅1‘𝐴)) ⊆ 𝐴))
9	7, 8	mpancom 701	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → ((𝑅1‘𝐴) ⊆ (𝑅1‘𝐴) ↔ (rank‘(𝑅1‘𝐴)) ⊆ 𝐴))
10	1, 9	mpbii 236	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘(𝑅1‘𝐴)) ⊆ 𝐴)
11		rankonid 9811	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘𝐴) = 𝐴)
12	11	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘𝐴) = 𝐴)
13		onssr1 9813	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴))
14		rankssb 9832	. . . . 5 ⊢ ((𝑅1‘𝐴) ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐴) → (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘(𝑅1‘𝐴))))
15	7, 13, 14	sylc 66	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘𝐴) ⊆ (rank‘(𝑅1‘𝐴)))
16	12, 15	eqsstrrd 3966	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → 𝐴 ⊆ (rank‘(𝑅1‘𝐴)))
17	10, 16	eqssd 3948	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)
18		id 23	. . 3 ⊢ ((rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴 → (rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)
19		rankdmr1 9783	. . 3 ⊢ (rank‘(𝑅1‘𝐴)) ∈ dom 𝑅1
20	18, 19	eqeltrrdi 2869	. 2 ⊢ ((rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴 → 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
21	17, 20	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘(𝑅1‘𝐴)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  dom cdm 5648   “ cima 5651  Oncon0 6352  suc csuc 6354  ‘cfv 6528  𝑅₁cr1 9744  rankcrnk 9745

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7412  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-r1 9746  df-rank 9747

This theorem is used by:  rankuni  9849