Theorem remullid 41608

Description: Commuted version of ax-1rid 11182 without ax-mulcom 11176. (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
remullid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem remullid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2941	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		ax-rrecex 11184	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
3		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7	4, 6, 4	mulassd 11241	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝐴) = (𝐴 · (𝑥 · 𝐴)))
8		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 𝑥) = 1)
9	8	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
10	3, 5, 8	remulinvcom 41607	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · 𝐴) = 1)
11	10	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝑥 · 𝐴)) = (𝐴 · 1))
12		ax-1rid 11182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
13	3, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
14	11, 13	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝑥 · 𝐴)) = 𝐴)
15	7, 9, 14	3eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
16	2, 15	rexlimddv 3161	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
17	16	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 → (1 · 𝐴) = 𝐴))
18	1, 17	biimtrrid 242	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 = 0 → (1 · 𝐴) = 𝐴))
19		1re 11218	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
20		remul01 41582	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 · 0) = 0)
21	19, 20	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 · 0) = 0)
22		oveq2 7419	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 · 𝐴) = (1 · 0))
23		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
24	21, 22, 23	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
25	18, 24	pm2.61d2 181	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-2 12279  df-3 12280  df-resub 41541

This theorem is referenced by:  sn-mullid  41610  remulcand  41613  sn-0tie0  41614