Theorem remullid 42918

Description: Commuted version of ax-1rid 11106 without ax-mulcom 11100. (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
remullid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem remullid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2936	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		ax-rrecex 11108	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
3		simpll 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simprl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7	4, 6, 4	mulassd 11166	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝐴) = (𝐴 · (𝑥 · 𝐴)))
8		simprr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 𝑥) = 1)
9	8	oveq1d 7378	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
10	3, 5, 8	remulinvcom 42917	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · 𝐴) = 1)
11	10	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝑥 · 𝐴)) = (𝐴 · 1))
12		ax-1rid 11106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
13	3, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
14	11, 13	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝑥 · 𝐴)) = 𝐴)
15	7, 9, 14	3eqtr3d 2783	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
16	2, 15	rexlimddv 3147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
17	16	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 → (1 · 𝐴) = 𝐴))
18	1, 17	biimtrrid 244	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 = 0 → (1 · 𝐴) = 𝐴))
19		1re 11142	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
20		remul01 42891	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 · 0) = 0)
21	19, 20	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 · 0) = 0)
22		oveq2 7371	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 · 𝐴) = (1 · 0))
23		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
24	21, 22, 23	3eqtr4d 2785	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
25	18, 24	pm2.61d2 182	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-2 12242  df-3 12243  df-resub 42850

This theorem is referenced by:  sn-mullid  42920  remulcand  42923  rediveud  42927  sn-rediv1d  42936  redivrec2d  42944  sn-0tie0  42948  mullt0b1d  42980