Theorem remullid 43236

Description: Commuted version of ax-1rid 11188 without ax-mulcom 11182. (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
remullid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem remullid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2962	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		ax-rrecex 11190	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
3		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11255	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11255	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7	4, 6, 4	mulassd 11250	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝐴) = (𝐴 · (𝑥 · 𝐴)))
8		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 𝑥) = 1)
9	8	oveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
10	3, 5, 8	remulinvcom 43235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · 𝐴) = 1)
11	10	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝑥 · 𝐴)) = (𝐴 · 1))
12		ax-1rid 11188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
13	3, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
14	11, 13	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝑥 · 𝐴)) = 𝐴)
15	7, 9, 14	3eqtr3d 2809	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
16	2, 15	rexlimddv 3175	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
17	16	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 → (1 · 𝐴) = 𝐴))
18	1, 17	biimtrrid 246	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 = 0 → (1 · 𝐴) = 𝐴))
19		1re 11226	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
20		remul01 43209	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 · 0) = 0)
21	19, 20	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 · 0) = 0)
22		oveq2 7431	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 · 𝐴) = (1 · 0))
23		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
24	21, 22, 23	3eqtr4d 2811	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
25	18, 24	pm2.61d2 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   · cmul 11123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-2 12321  df-3 12322  df-resub 43168

This theorem is used by:  sn-mullid  43238  remulcand  43241  rediveud  43245  sn-rediv1d  43254  redivrec2d  43262  sn-0tie0  43266  mullt0b1d  43298