Theorem remullid 42422

Description: Commuted version of ax-1rid 11138 without ax-mulcom 11132. (Contributed by SN, 5-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
remullid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem remullid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2926	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		ax-rrecex 11140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
3		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7	4, 6, 4	mulassd 11197	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝐴) = (𝐴 · (𝑥 · 𝐴)))
8		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 𝑥) = 1)
9	8	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
10	3, 5, 8	remulinvcom 42421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · 𝐴) = 1)
11	10	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝑥 · 𝐴)) = (𝐴 · 1))
12		ax-1rid 11138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
13	3, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
14	11, 13	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (𝐴 · (𝑥 · 𝐴)) = 𝐴)
15	7, 9, 14	3eqtr3d 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
16	2, 15	rexlimddv 3140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 → (1 · 𝐴) = 𝐴))
18	1, 17	biimtrrid 243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 = 0 → (1 · 𝐴) = 𝐴))
19		1re 11174	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
20		remul01 42395	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 · 0) = 0)
21	19, 20	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 · 0) = 0)
22		oveq2 7395	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 · 𝐴) = (1 · 0))
23		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
24	21, 22, 23	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
25	18, 24	pm2.61d2 181	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-2 12249  df-3 12250  df-resub 42354

This theorem is referenced by:  sn-mullid  42424  remulcand  42427  rediveud  42431  sn-0tie0  42439  mullt0b1d  42471