Theorem renegid2 42813

Description: Commuted version of renegid 42772. (Contributed by SN, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
renegid2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)

Proof of Theorem renegid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegid 42772	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)
2	1	oveq2d 7386	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴))) = ((0 −ℝ 𝐴) + 0))
3		rernegcl 42770	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
4		readdrid 42809	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 0) = (0 −ℝ 𝐴))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 0) = (0 −ℝ 𝐴))
6	2, 5	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴))) = (0 −ℝ 𝐴))
7	3	recnd 11174	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
8		recn 11130	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8, 7	addassd 11168	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + (0 −ℝ 𝐴)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴))))
10		readdlid 42802	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ 𝐴))
11	3, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ 𝐴))
12	6, 9, 11	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + (0 −ℝ 𝐴)) = (0 + (0 −ℝ 𝐴)))
13		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
14	3, 13	readdcld 11175	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) ∈ ℝ)
15		elre0re 42653	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
16		readdcan2 42812	. . 3 ⊢ ((((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ) → ((((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + (0 −ℝ 𝐴)) = (0 + (0 −ℝ 𝐴)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0))
17	14, 15, 3, 16	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + (0 −ℝ 𝐴)) = (0 + (0 −ℝ 𝐴)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0))
18	12, 17	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  0cc0 11040   + caddc 11043   −_ℝ cresub 42764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-ltxr 11185  df-2 12222  df-3 12223  df-resub 42765

This theorem is referenced by:  sn-it0e0  42815  sn-negex12  42816  reixi  42822  sn-0tie0  42850  zaddcomlem  42862  zaddcom  42863  cnreeu  42889