Theorem renegid2 42436

Description: Commuted version of renegid 42396. (Contributed by SN, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
renegid2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)

Proof of Theorem renegid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegid 42396	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)
2	1	oveq2d 7454	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴))) = ((0 −ℝ 𝐴) + 0))
3		rernegcl 42394	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
4		readdrid 42432	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 0) = (0 −ℝ 𝐴))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 0) = (0 −ℝ 𝐴))
6	2, 5	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴))) = (0 −ℝ 𝐴))
7	3	recnd 11296	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
8		recn 11252	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8, 7	addassd 11290	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + (0 −ℝ 𝐴)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴))))
10		readdlid 42426	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ 𝐴))
11	3, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ 𝐴))
12	6, 9, 11	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + (0 −ℝ 𝐴)) = (0 + (0 −ℝ 𝐴)))
13		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
14	3, 13	readdcld 11297	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) ∈ ℝ)
15		elre0re 42288	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
16		readdcan2 42435	. . 3 ⊢ ((((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ) → ((((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + (0 −ℝ 𝐴)) = (0 + (0 −ℝ 𝐴)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0))
17	14, 15, 3, 16	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + (0 −ℝ 𝐴)) = (0 + (0 −ℝ 𝐴)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0))
18	12, 17	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7438  ℝcr 11161  0cc0 11162   + caddc 11165   −_ℝ cresub 42388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-po 5601  df-so 5602  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-ltxr 11307  df-2 12336  df-3 12337  df-resub 42389

This theorem is referenced by:  sn-it0e0  42438  sn-negex12  42439  reixi  42445  sn-0tie0  42462  zaddcomlem  42474  zaddcom  42475  cnreeu  42493