Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  renegid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegid2 41230
Description: Commuted version of renegid 41190. (Contributed by SN, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
renegid2 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 𝐴) + 𝐴) = 0)

Proof of Theorem renegid2
StepHypRef Expression
1 renegid 41190 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 − 𝐴)) = 0)
21oveq2d 7420 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 𝐴) + (𝐴 + (0 − 𝐴))) = ((0 − 𝐴) + 0))
3 rernegcl 41188 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
4 readdrid 41226 . . . . 5 ((0 − 𝐴) ∈ ℝ → ((0 − 𝐴) + 0) = (0 − 𝐴))
53, 4syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 𝐴) + 0) = (0 − 𝐴))
62, 5eqtrd 2773 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 𝐴) + (𝐴 + (0 − 𝐴))) = (0 − 𝐴))
73recnd 11238 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − 𝐴) ∈ ℂ)
8 recn 11196 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
97, 8, 7addassd 11232 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (((0 − 𝐴) + 𝐴) + (0 − 𝐴)) = ((0 − 𝐴) + (𝐴 + (0 − 𝐴))))
10 readdlid 41220 . . . 4 ((0 − 𝐴) ∈ ℝ → (0 + (0 − 𝐴)) = (0 − 𝐴))
113, 10syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (0 − 𝐴)) = (0 − 𝐴))
126, 9, 113eqtr4d 2783 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (((0 − 𝐴) + 𝐴) + (0 − 𝐴)) = (0 + (0 − 𝐴)))
13 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
143, 13readdcld 11239 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 𝐴) + 𝐴) ∈ ℝ)
15 elre0re 41125 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
16 readdcan2 41229 . . 3 ((((0 − 𝐴) + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (0 − 𝐴) ∈ ℝ) → ((((0 − 𝐴) + 𝐴) + (0 − 𝐴)) = (0 + (0 − 𝐴)) ↔ ((0 − 𝐴) + 𝐴) = 0))
1714, 15, 3, 16syl3anc 1372 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((((0 − 𝐴) + 𝐴) + (0 − 𝐴)) = (0 + (0 − 𝐴)) ↔ ((0 − 𝐴) + 𝐴) = 0))
1812, 17mpbid 231 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 − 𝐴) + 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7404  cr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   cresub 41182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-2 12271  df-3 12272  df-resub 41183
This theorem is referenced by:  sn-it0e0  41232  sn-negex12  41233  reixi  41239  sn-0tie0  41256  zaddcomlem  41268  zaddcom  41269  cnreeu  41285
  Copyright terms: Public domain W3C validator