Theorem renegid2 43203

Description: Commuted version of renegid 43162. (Contributed by SN, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
renegid2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)

Proof of Theorem renegid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegid 43162	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)
2	1	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴))) = ((0 −ℝ 𝐴) + 0))
3		rernegcl 43160	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
4		readdrid 43199	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 0) = (0 −ℝ 𝐴))
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 0) = (0 −ℝ 𝐴))
6	2, 5	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴))) = (0 −ℝ 𝐴))
7	3	recnd 11243	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
8		recn 11196	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8, 7	addassd 11237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + (0 −ℝ 𝐴)) = ((0 −ℝ 𝐴) + (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴))))
10		readdlid 43192	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ 𝐴))
11	3, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + (0 −ℝ 𝐴)) = (0 −ℝ 𝐴))
12	6, 9, 11	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + (0 −ℝ 𝐴)) = (0 + (0 −ℝ 𝐴)))
13		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
14	3, 13	readdcld 11244	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) ∈ ℝ)
15		elre0re 43050	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
16		readdcan2 43202	. . 3 ⊢ ((((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ) → ((((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + (0 −ℝ 𝐴)) = (0 + (0 −ℝ 𝐴)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0))
17	14, 15, 3, 16	syl3anc 1397	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) + (0 −ℝ 𝐴)) = (0 + (0 −ℝ 𝐴)) ↔ ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0))
18	12, 17	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + 𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   −_ℝ cresub 43154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-2 12309  df-3 12310  df-resub 43155

This theorem is used by:  sn-it0e0  43205  sn-negex12  43206  reixi  43212  sn-0tie0  43253  zaddcomlem  43265  zaddcom  43266  cnreeu  43292