Theorem readdcan2 41367

Description: Commuted version of readdcan 11390 without ax-mulcom 11176. (Contributed by SN, 21-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
readdcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem readdcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)))
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)))
3		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		rernegcl 41326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
8	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
10	4, 6, 9	addassd 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = (𝐴 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))))
11		renegid 41328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶)) = 0)
12	11	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐴 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 0))
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 0))
14		readdrid 41364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
16	10, 13, 15	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
17	16	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
18	17	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
19		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	recnd 11244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
25	20, 22, 24	addassd 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = (𝐵 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))))
26	11	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐵 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐵 + 0))
27	26	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐵 + 0))
28		readdrid 41364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
30	25, 27, 29	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
31	30	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
32	31	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
33	2, 18, 32	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → 𝐴 = 𝐵)
34	33	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
35		oveq1 7418	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
36	34, 35	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   −_ℝ cresub 41320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-ltxr 11255  df-2 12277  df-3 12278  df-resub 41321

This theorem is referenced by:  renegid2  41368