Theorem readdcan2 42897

Description: Commuted version of readdcan 11318 without ax-mulcom 11100. (Contributed by SN, 21-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
readdcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem readdcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)))
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)))
3		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		rernegcl 42855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
8	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
10	4, 6, 9	addassd 11165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = (𝐴 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))))
11		renegid 42857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶)) = 0)
12	11	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐴 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 0))
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 0))
14		readdrid 42894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
16	10, 13, 15	3eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
17	16	3adant2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
18	17	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
19		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
25	20, 22, 24	addassd 11165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = (𝐵 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))))
26	11	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐵 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐵 + 0))
27	26	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐵 + 0))
28		readdrid 42894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
30	25, 27, 29	3eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
31	30	3adant1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
32	31	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
33	2, 18, 32	3eqtr3d 2783	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → 𝐴 = 𝐵)
34	33	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
35		oveq1 7370	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
36	34, 35	impbid1 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036   + caddc 11039   −_ℝ cresub 42849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-2 12242  df-3 12243  df-resub 42850

This theorem is referenced by:  renegid2  42898