Theorem readdcan2 41588

Description: Commuted version of readdcan 11393 without ax-mulcom 11178. (Contributed by SN, 21-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
readdcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem readdcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)))
3		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		rernegcl 41547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
10	4, 6, 9	addassd 11241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = (𝐴 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))))
11		renegid 41549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶)) = 0)
12	11	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐴 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 0))
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 0))
14		readdrid 41585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
16	10, 13, 15	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
17	16	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
19		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	recnd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	7	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
25	20, 22, 24	addassd 11241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = (𝐵 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))))
26	11	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐵 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐵 + 0))
27	26	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐵 + 0))
28		readdrid 41585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
30	25, 27, 29	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
31	30	3adant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
33	2, 18, 32	3eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → 𝐴 = 𝐵)
34	33	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
35		oveq1 7419	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
36	34, 35	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℝcr 11113  0cc0 11114   + caddc 11117   −_ℝ cresub 41541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258  df-2 12280  df-3 12281  df-resub 41542

This theorem is referenced by:  renegid2  41589