Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  readdcan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem readdcan2 42442
Description: Commuted version of readdcan 11435 without ax-mulcom 11219. (Contributed by SN, 21-Feb-2024.)
Assertion
Ref Expression
readdcan2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem readdcan2
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 − 𝐶)) = ((𝐵 + 𝐶) + (0 − 𝐶)))
21adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 − 𝐶)) = ((𝐵 + 𝐶) + (0 − 𝐶)))
3 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
43recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
65recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
7 rernegcl 42401 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℝ → (0 − 𝐶) ∈ ℝ)
87adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 − 𝐶) ∈ ℝ)
98recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 − 𝐶) ∈ ℂ)
104, 6, 9addassd 11283 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 − 𝐶)) = (𝐴 + (𝐶 + (0 − 𝐶))))
11 renegid 42403 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + (0 − 𝐶)) = 0)
1211oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐴 + (𝐶 + (0 − 𝐶))) = (𝐴 + 0))
1312adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐶 + (0 − 𝐶))) = (𝐴 + 0))
14 readdrid 42439 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
1610, 13, 153eqtrd 2781 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 − 𝐶)) = 𝐴)
17163adant2 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 − 𝐶)) = 𝐴)
1817adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 − 𝐶)) = 𝐴)
19 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
2019recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
2221recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
237adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 − 𝐶) ∈ ℝ)
2423recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 − 𝐶) ∈ ℂ)
2520, 22, 24addassd 11283 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 − 𝐶)) = (𝐵 + (𝐶 + (0 − 𝐶))))
2611oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐵 + (𝐶 + (0 − 𝐶))) = (𝐵 + 0))
2726adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + (𝐶 + (0 − 𝐶))) = (𝐵 + 0))
28 readdrid 42439 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
2928adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
3025, 27, 293eqtrd 2781 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 − 𝐶)) = 𝐵)
31303adant1 1131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 − 𝐶)) = 𝐵)
3231adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 − 𝐶)) = 𝐵)
332, 18, 323eqtr3d 2785 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → 𝐴 = 𝐵)
3433ex 412 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
35 oveq1 7438 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
3634, 35impbid1 225 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   cresub 42395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-2 12329  df-3 12330  df-resub 42396
This theorem is referenced by:  renegid2  42443
  Copyright terms: Public domain W3C validator