Theorem readdcan2 42388

Description: Commuted version of readdcan 11464 without ax-mulcom 11248. (Contributed by SN, 21-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
readdcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem readdcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7455	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)))
3		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		rernegcl 42347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
10	4, 6, 9	addassd 11312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = (𝐴 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))))
11		renegid 42349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶)) = 0)
12	11	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐴 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 0))
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 0))
14		readdrid 42385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
16	10, 13, 15	3eqtrd 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
17	16	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
19		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	7	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
24	23	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
25	20, 22, 24	addassd 11312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = (𝐵 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))))
26	11	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐵 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐵 + 0))
27	26	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐵 + 0))
28		readdrid 42385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
30	25, 27, 29	3eqtrd 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
31	30	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
33	2, 18, 32	3eqtr3d 2788	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → 𝐴 = 𝐵)
34	33	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
35		oveq1 7455	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
36	34, 35	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187   −_ℝ cresub 42341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-2 12356  df-3 12357  df-resub 42342

This theorem is referenced by:  renegid2  42389