Proof of Theorem readdcan2
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | oveq1 7438 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶))) | 
| 2 | 1 | adantl 481 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶))) | 
| 3 |  | simpl 482 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈
ℝ) | 
| 4 | 3 | recnd 11289 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈
ℂ) | 
| 5 |  | simpr 484 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈
ℝ) | 
| 6 | 5 | recnd 11289 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈
ℂ) | 
| 7 |  | rernegcl 42401 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (0
−ℝ 𝐶) ∈ ℝ) | 
| 8 | 7 | adantl 481 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0
−ℝ 𝐶) ∈ ℝ) | 
| 9 | 8 | recnd 11289 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0
−ℝ 𝐶) ∈ ℂ) | 
| 10 | 4, 6, 9 | addassd 11283 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = (𝐴 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶)))) | 
| 11 |  | renegid 42403 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + (0 −ℝ
𝐶)) = 0) | 
| 12 | 11 | oveq2d 7447 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐴 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 0)) | 
| 13 | 12 | adantl 481 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 0)) | 
| 14 |  | readdrid 42439 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴) | 
| 15 | 14 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 0) = 𝐴) | 
| 16 | 10, 13, 15 | 3eqtrd 2781 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐴) | 
| 17 | 16 | 3adant2 1132 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐴) | 
| 18 | 17 | adantr 480 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐴) | 
| 19 |  | simpl 482 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈
ℝ) | 
| 20 | 19 | recnd 11289 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈
ℂ) | 
| 21 |  | simpr 484 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈
ℝ) | 
| 22 | 21 | recnd 11289 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈
ℂ) | 
| 23 | 7 | adantl 481 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0
−ℝ 𝐶) ∈ ℝ) | 
| 24 | 23 | recnd 11289 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0
−ℝ 𝐶) ∈ ℂ) | 
| 25 | 20, 22, 24 | addassd 11283 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = (𝐵 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶)))) | 
| 26 | 11 | oveq2d 7447 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐵 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐵 + 0)) | 
| 27 | 26 | adantl 481 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + (𝐶 + (0 −ℝ 𝐶))) = (𝐵 + 0)) | 
| 28 |  | readdrid 42439 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵) | 
| 29 | 28 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 0) = 𝐵) | 
| 30 | 25, 27, 29 | 3eqtrd 2781 | . . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐵) | 
| 31 | 30 | 3adant1 1131 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐵) | 
| 32 | 31 | adantr 480 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → ((𝐵 + 𝐶) + (0 −ℝ 𝐶)) = 𝐵) | 
| 33 | 2, 18, 32 | 3eqtr3d 2785 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) → 𝐴 = 𝐵) | 
| 34 | 33 | ex 412 | . 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) → 𝐴 = 𝐵)) | 
| 35 |  | oveq1 7438 | . 2
⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)) | 
| 36 | 34, 35 | impbid1 225 | 1
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵)) |