Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 0cn 11154 |
. . 3
โข 0 โ
โ |
2 | | ax-icn 11117 |
. . 3
โข i โ
โ |
3 | 1, 2 | mulcli 11169 |
. 2
โข (0
ยท i) โ โ |
4 | | cnre 11159 |
. 2
โข ((0
ยท i) โ โ โ โ๐ โ โ โ๐ โ โ (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) |
5 | | simplr 768 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) |
6 | | neqne 2952 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (ยฌ (0
ยท i) = 0 โ (0 ยท i) โ 0) |
7 | 6 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท i) โ 0) |
8 | | simplll 774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ๐ โ โ) |
9 | | rernegcl 40869 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ โ โ (0
โโ ๐) โ โ) |
10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 โโ ๐) โ โ) |
11 | | 1red 11163 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ 1 โ โ) |
12 | 10, 11 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 โโ ๐) + 1) โ โ) |
13 | | ax-rrecex 11130 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((0
โโ ๐) + 1) โ โ โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โ โ๐ฅ โ โ (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1) |
14 | 12, 13 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
(((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โ โ๐ฅ โ โ (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1) |
15 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ i โ โ) |
16 | 10 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 โโ ๐) โ โ) |
17 | | 1cnd 11157 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ 1 โ โ) |
18 | 15, 16, 17 | adddid 11186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (i ยท ((0 โโ ๐) + 1)) = ((i ยท (0
โโ ๐)) + (i ยท 1))) |
19 | | it1ei 40934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข (i
ยท 1) = i |
20 | 19 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((i
ยท (0 โโ ๐)) + (i ยท 1)) = ((i ยท (0
โโ ๐)) + i) |
21 | 18, 20 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (i ยท ((0 โโ ๐) + 1)) = ((i ยท (0
โโ ๐)) + i)) |
22 | 21 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท (i ยท ((0
โโ ๐) + 1))) = (0 ยท ((i ยท (0
โโ ๐)) + i))) |
23 | | 0cnd 11155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ 0 โ โ) |
24 | 15, 16 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (i ยท (0 โโ ๐)) โ
โ) |
25 | 23, 24, 15 | adddid 11186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท ((i ยท (0
โโ ๐)) + i)) = ((0 ยท (i ยท (0
โโ ๐))) + (0 ยท i))) |
26 | 22, 25 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท (i ยท ((0
โโ ๐) + 1))) = ((0 ยท (i ยท (0
โโ ๐))) + (0 ยท i))) |
27 | 5 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 โโ ๐) + (0 ยท i)) = ((0
โโ ๐) + (๐ + (i ยท ๐)))) |
28 | | renegid2 40911 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (๐ โ โ โ ((0
โโ ๐) + ๐) = 0) |
29 | 28 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 โโ ๐) + ๐) = 0) |
30 | 29 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (((0 โโ ๐) + ๐) + (i ยท ๐)) = (0 + (i ยท ๐))) |
31 | 8 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ๐ โ โ) |
32 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ๐ โ โ) |
33 | 32 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ๐ โ โ) |
34 | 15, 33 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (i ยท ๐) โ โ) |
35 | 16, 31, 34 | addassd 11184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (((0 โโ ๐) + ๐) + (i ยท ๐)) = ((0 โโ ๐) + (๐ + (i ยท ๐)))) |
36 | | sn-addid2 40902 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((i
ยท ๐) โ โ
โ (0 + (i ยท ๐))
= (i ยท ๐)) |
37 | 34, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 + (i ยท ๐)) = (i ยท ๐)) |
38 | 30, 35, 37 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 โโ ๐) + (๐ + (i ยท ๐))) = (i ยท ๐)) |
39 | 27, 38 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 โโ ๐) + (0 ยท i)) = (i ยท ๐)) |
40 | 39 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 ยท i) ยท ((0
โโ ๐) + (0 ยท i))) = ((0 ยท i)
ยท (i ยท ๐))) |
41 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท i) โ โ) |
42 | 41, 16, 41 | adddid 11186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 ยท i) ยท ((0
โโ ๐) + (0 ยท i))) = (((0 ยท i)
ยท (0 โโ ๐)) + ((0 ยท i) ยท (0 ยท
i)))) |
43 | 23, 15, 16 | mulassd 11185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 ยท i) ยท (0
โโ ๐)) = (0 ยท (i ยท (0
โโ ๐)))) |
44 | 41, 23, 15 | mulassd 11185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (((0 ยท i) ยท 0) ยท i) = ((0
ยท i) ยท (0 ยท i))) |
45 | | sn-mul01 40923 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((0
ยท i) โ โ โ ((0 ยท i) ยท 0) =
0) |
46 | 41, 45 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 ยท i) ยท 0) = 0) |
47 | 46 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (((0 ยท i) ยท 0) ยท i) = (0
ยท i)) |
48 | 44, 47 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 ยท i) ยท (0 ยท i)) = (0
ยท i)) |
49 | 43, 48 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (((0 ยท i) ยท (0
โโ ๐)) + ((0 ยท i) ยท (0 ยท
i))) = ((0 ยท (i ยท (0 โโ ๐))) + (0 ยท i))) |
50 | 42, 49 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 ยท i) ยท ((0
โโ ๐) + (0 ยท i))) = ((0 ยท (i
ยท (0 โโ ๐))) + (0 ยท i))) |
51 | 23, 15, 34 | mulassd 11185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 ยท i) ยท (i ยท ๐)) = (0 ยท (i ยท (i
ยท ๐)))) |
52 | 15, 15, 33 | mulassd 11185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((i ยท i) ยท ๐) = (i ยท (i ยท ๐))) |
53 | | reixi 40920 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข (i
ยท i) = (0 โโ 1) |
54 | | 1re 11162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข 1 โ
โ |
55 | | rernegcl 40869 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข (1 โ
โ โ (0 โโ 1) โ โ) |
56 | 54, 55 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข (0
โโ 1) โ โ |
57 | 53, 56 | eqeltri 2834 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (i
ยท i) โ โ |
58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (i ยท i) โ โ) |
59 | 58, 32 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((i ยท i) ยท ๐) โ โ) |
60 | 52, 59 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (i ยท (i ยท ๐)) โ โ) |
61 | | remul02 40903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((i
ยท (i ยท ๐))
โ โ โ (0 ยท (i ยท (i ยท ๐))) = 0) |
62 | 60, 61 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท (i ยท (i ยท ๐))) = 0) |
63 | 51, 62 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 ยท i) ยท (i ยท ๐)) = 0) |
64 | 40, 50, 63 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 ยท (i ยท (0
โโ ๐))) + (0 ยท i)) = 0) |
65 | 26, 64 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท (i ยท ((0
โโ ๐) + 1))) = 0) |
66 | 65 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ (0 ยท (i ยท ((0
โโ ๐) + 1))) = 0) |
67 | 66 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ ((0 ยท (i ยท ((0
โโ ๐) + 1))) ยท ๐ฅ) = (0 ยท ๐ฅ)) |
68 | | 0cnd 11155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ 0 โ
โ) |
69 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ i โ
โ) |
70 | 10 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ (0 โโ
๐) โ
โ) |
71 | 70 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ (0 โโ
๐) โ
โ) |
72 | | 1cnd 11157 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ 1 โ
โ) |
73 | 71, 72 | addcld 11181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ ((0 โโ
๐) + 1) โ
โ) |
74 | 69, 73 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ (i ยท ((0
โโ ๐) + 1)) โ โ) |
75 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ ๐ฅ โ โ) |
76 | 75 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ ๐ฅ โ โ) |
77 | 68, 74, 76 | mulassd 11185 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ ((0 ยท (i ยท ((0
โโ ๐) + 1))) ยท ๐ฅ) = (0 ยท ((i ยท ((0
โโ ๐) + 1)) ยท ๐ฅ))) |
78 | 69, 73, 76 | mulassd 11185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ ((i ยท ((0
โโ ๐) + 1)) ยท ๐ฅ) = (i ยท (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ))) |
79 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ (((0 โโ
๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1) |
80 | 79 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ (i ยท (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ)) = (i ยท 1)) |
81 | 80, 19 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ (i ยท (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ)) = i) |
82 | 78, 81 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ ((i ยท ((0
โโ ๐) + 1)) ยท ๐ฅ) = i) |
83 | 82 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ (0 ยท ((i ยท ((0
โโ ๐) + 1)) ยท ๐ฅ)) = (0 ยท i)) |
84 | 77, 83 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ ((0 ยท (i ยท ((0
โโ ๐) + 1))) ยท ๐ฅ) = (0 ยท i)) |
85 | | remul02 40903 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ฅ โ โ โ (0
ยท ๐ฅ) =
0) |
86 | 75, 85 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ (0 ยท ๐ฅ) = 0) |
87 | 67, 84, 86 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โง (๐ฅ โ โ โง (((0
โโ ๐) + 1) ยท ๐ฅ) = 1)) โ (0 ยท i) =
0) |
88 | 14, 87 | rexlimddv 3159 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง ((0
โโ ๐) + 1) โ 0) โ (0 ยท i) =
0) |
89 | 88 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (((0 โโ ๐) + 1) โ 0 โ (0 ยท i) =
0)) |
90 | 89 | necon1d 2966 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 ยท i) โ 0 โ ((0
โโ ๐) + 1) = 0)) |
91 | 7, 90 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 โโ ๐) + 1) = 0) |
92 | 91 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (๐ + ((0 โโ ๐) + 1)) = (๐ + 0)) |
93 | 31, 16, 17 | addassd 11184 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((๐ + (0 โโ ๐)) + 1) = (๐ + ((0 โโ ๐) + 1))) |
94 | | renegid 40871 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ โ (๐ + (0 โโ
๐)) = 0) |
95 | 8, 94 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (๐ + (0 โโ ๐)) = 0) |
96 | 95 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((๐ + (0 โโ ๐)) + 1) = (0 +
1)) |
97 | | readdid2 40901 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (1 โ
โ โ (0 + 1) = 1) |
98 | 54, 97 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
โข (0 + 1) =
1 |
99 | 96, 98 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((๐ + (0 โโ ๐)) + 1) = 1) |
100 | 93, 99 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (๐ + ((0 โโ ๐) + 1)) = 1) |
101 | | readdid1 40907 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ โ (๐ + 0) = ๐) |
102 | 8, 101 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (๐ + 0) = ๐) |
103 | 92, 100, 102 | 3eqtr3rd 2786 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ๐ = 1) |
104 | | rernegcl 40869 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ โ โ (0
โโ ๐) โ โ) |
105 | 32, 104 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 โโ ๐) โ โ) |
106 | 11, 105 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (1 + (0 โโ ๐)) โ โ) |
107 | | ax-rrecex 11130 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((1 + (0
โโ ๐)) โ โ โง (1 + (0
โโ ๐)) โ 0) โ โ๐ฆ โ โ ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1) |
108 | 106, 107 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
(((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โ โ๐ฆ โ โ ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1) |
109 | 105 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 โโ ๐) โ โ) |
110 | 15, 109 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (i ยท (0 โโ ๐)) โ
โ) |
111 | 23, 15, 110 | adddid 11186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท (i + (i ยท (0
โโ ๐)))) = ((0 ยท i) + (0 ยท (i
ยท (0 โโ ๐))))) |
112 | | 0re 11164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข 0 โ
โ |
113 | | remul02 40903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข (0 โ
โ โ (0 ยท 0) = 0) |
114 | 112, 113 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข (0
ยท 0) = 0 |
115 | 114 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((0
ยท 0) ยท i) = (0 ยท i) |
116 | 1, 1, 2 | mulassi 11173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((0
ยท 0) ยท i) = (0 ยท (0 ยท i)) |
117 | 115, 116 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (0
ยท i) = (0 ยท (0 ยท i)) |
118 | 117 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท i) = (0 ยท (0 ยท
i))) |
119 | 118 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 ยท i) + (0 ยท (i ยท (0
โโ ๐)))) = ((0 ยท (0 ยท i)) + (0
ยท (i ยท (0 โโ ๐))))) |
120 | 111, 119 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท (i + (i ยท (0
โโ ๐)))) = ((0 ยท (0 ยท i)) + (0
ยท (i ยท (0 โโ ๐))))) |
121 | 15, 17, 109 | adddid 11186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (i ยท (1 + (0 โโ ๐))) = ((i ยท 1) + (i
ยท (0 โโ ๐)))) |
122 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (i ยท 1) = i) |
123 | 122 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((i ยท 1) + (i ยท (0
โโ ๐))) = (i + (i ยท (0
โโ ๐)))) |
124 | 121, 123 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (i ยท (1 + (0 โโ ๐))) = (i + (i ยท (0
โโ ๐)))) |
125 | 124 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท (i ยท (1 + (0
โโ ๐)))) = (0 ยท (i + (i ยท (0
โโ ๐))))) |
126 | 23, 41, 110 | adddid 11186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท ((0 ยท i) + (i ยท (0
โโ ๐)))) = ((0 ยท (0 ยท i)) + (0
ยท (i ยท (0 โโ ๐))))) |
127 | 120, 125,
126 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท (i ยท (1 + (0
โโ ๐)))) = (0 ยท ((0 ยท i) + (i
ยท (0 โโ ๐))))) |
128 | 103 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (๐ + (i ยท ๐)) = (1 + (i ยท ๐))) |
129 | 5, 128 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท i) = (1 + (i ยท ๐))) |
130 | 129 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 ยท i) + (i ยท (0
โโ ๐))) = ((1 + (i ยท ๐)) + (i ยท (0 โโ
๐)))) |
131 | 17, 34, 110 | addassd 11184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((1 + (i ยท ๐)) + (i ยท (0 โโ
๐))) = (1 + ((i ยท
๐) + (i ยท (0
โโ ๐))))) |
132 | | renegid 40871 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (๐ โ โ โ (๐ + (0 โโ
๐)) = 0) |
133 | 32, 132 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (๐ + (0 โโ ๐)) = 0) |
134 | 133 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (i ยท (๐ + (0 โโ ๐))) = (i ยท
0)) |
135 | 15, 33, 109 | adddid 11186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (i ยท (๐ + (0 โโ ๐))) = ((i ยท ๐) + (i ยท (0
โโ ๐)))) |
136 | | sn-mul01 40923 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข (i โ
โ โ (i ยท 0) = 0) |
137 | 2, 136 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (i ยท 0) = 0) |
138 | 134, 135,
137 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((i ยท ๐) + (i ยท (0 โโ
๐))) = 0) |
139 | 138 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (1 + ((i ยท ๐) + (i ยท (0 โโ
๐)))) = (1 +
0)) |
140 | | readdid1 40907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข (1 โ
โ โ (1 + 0) = 1) |
141 | 54, 140 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (1 + 0) =
1 |
142 | 139, 141 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (1 + ((i ยท ๐) + (i ยท (0 โโ
๐)))) = 1) |
143 | 131, 142 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((1 + (i ยท ๐)) + (i ยท (0 โโ
๐))) = 1) |
144 | 130, 143 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 ยท i) + (i ยท (0
โโ ๐))) = 1) |
145 | 144 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท ((0 ยท i) + (i ยท (0
โโ ๐)))) = (0 ยท 1)) |
146 | 127, 145 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท (i ยท (1 + (0
โโ ๐)))) = (0 ยท 1)) |
147 | | ax-1rid 11128 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (0 โ
โ โ (0 ยท 1) = 0) |
148 | 112, 147 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (0
ยท 1) = 0 |
149 | 146, 148 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท (i ยท (1 + (0
โโ ๐)))) = 0) |
150 | 149 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ (0 ยท (i ยท (1 +
(0 โโ ๐)))) = 0) |
151 | 150 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ ((0 ยท (i ยท (1 +
(0 โโ ๐)))) ยท ๐ฆ) = (0 ยท ๐ฆ)) |
152 | | 0cnd 11155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ 0 โ
โ) |
153 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ i โ
โ) |
154 | | 1cnd 11157 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ 1 โ
โ) |
155 | 109 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ (0 โโ
๐) โ
โ) |
156 | 154, 155 | addcld 11181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ (1 + (0
โโ ๐)) โ โ) |
157 | 153, 156 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ (i ยท (1 + (0
โโ ๐))) โ โ) |
158 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ ๐ฆ โ โ) |
159 | 158 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ ๐ฆ โ โ) |
160 | 152, 157,
159 | mulassd 11185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ ((0 ยท (i ยท (1 +
(0 โโ ๐)))) ยท ๐ฆ) = (0 ยท ((i ยท (1 + (0
โโ ๐))) ยท ๐ฆ))) |
161 | 153, 156,
159 | mulassd 11185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ ((i ยท (1 + (0
โโ ๐))) ยท ๐ฆ) = (i ยท ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ))) |
162 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1) |
163 | 162 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ (i ยท ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ)) = (i ยท 1)) |
164 | 163, 19 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ (i ยท ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ)) = i) |
165 | 161, 164 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ ((i ยท (1 + (0
โโ ๐))) ยท ๐ฆ) = i) |
166 | 165 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ (0 ยท ((i ยท (1 +
(0 โโ ๐))) ยท ๐ฆ)) = (0 ยท i)) |
167 | 160, 166 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ ((0 ยท (i ยท (1 +
(0 โโ ๐)))) ยท ๐ฆ) = (0 ยท i)) |
168 | | remul02 40903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ฆ โ โ โ (0
ยท ๐ฆ) =
0) |
169 | 158, 168 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ (0 ยท ๐ฆ) = 0) |
170 | 151, 167,
169 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โง (๐ฆ โ โ โง ((1 + (0
โโ ๐)) ยท ๐ฆ) = 1)) โ (0 ยท i) =
0) |
171 | 108, 170 | rexlimddv 3159 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
(((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (0 ยท i) = (๐ + (i ยท ๐))) โง ยฌ (0 ยท i) = 0) โง (1
+ (0 โโ ๐)) โ 0) โ (0 ยท i) =
0) |
172 | 171 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((1 + (0 โโ ๐)) โ 0 โ (0 ยท i)
= 0)) |
173 | 172 | necon1d 2966 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 ยท i) โ 0 โ (1 + (0
โโ ๐)) = 0)) |
174 | 7, 173 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (1 + (0 โโ ๐)) = 0) |
175 | 174 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((1 + (0 โโ ๐)) + ๐) = (0 + ๐)) |
176 | 17, 109, 33 | addassd 11184 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((1 + (0 โโ ๐)) + ๐) = (1 + ((0 โโ ๐) + ๐))) |
177 | | renegid2 40911 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ โ ((0
โโ ๐) + ๐) = 0) |
178 | 32, 177 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((0 โโ ๐) + ๐) = 0) |
179 | 178 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (1 + ((0 โโ ๐) + ๐)) = (1 + 0)) |
180 | 179, 141 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (1 + ((0 โโ ๐) + ๐)) = 1) |
181 | 176, 180 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ((1 + (0 โโ ๐)) + ๐) = 1) |
182 | | readdid2 40901 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โ โ (0 +
๐) = ๐) |
183 | 32, 182 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 + ๐) = ๐) |
184 | 175, 181,
183 | 3eqtr3rd 2786 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ ๐ = 1) |
185 | 184 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (i ยท ๐) = (i ยท 1)) |
186 | 103, 185 | oveq12d 7380 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (๐ + (i ยท ๐)) = (1 + (i ยท 1))) |
187 | 5, 186 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท i) = (1 + (i ยท
1))) |
188 | 19 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . 9
โข (1 + (i
ยท 1)) = (1 + i) |
189 | 188 | eqeq2i 2750 |
. . . . . . . 8
โข ((0
ยท i) = (1 + (i ยท 1)) โ (0 ยท i) = (1 +
i)) |
190 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . 10
โข ((0
ยท i) = (1 + i) โ (((i ยท i) ยท i) ยท (0 ยท
i)) = (((i ยท i) ยท i) ยท (1 + i))) |
191 | 2, 2 | mulcli 11169 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (i
ยท i) โ โ |
192 | 191, 2 | mulcli 11169 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((i
ยท i) ยท i) โ โ |
193 | 192, 1, 2 | mulassi 11173 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((i
ยท i) ยท i) ยท 0) ยท i) = (((i ยท i) ยท i)
ยท (0 ยท i)) |
194 | | sn-mul01 40923 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((i
ยท i) ยท i) โ โ โ (((i ยท i) ยท i)
ยท 0) = 0) |
195 | 192, 194 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((i
ยท i) ยท i) ยท 0) = 0 |
196 | 195 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((i
ยท i) ยท i) ยท 0) ยท i) = (0 ยท
i) |
197 | 193, 196 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . . . 10
โข (((i
ยท i) ยท i) ยท (0 ยท i)) = (0 ยท
i) |
198 | | ax-1cn 11116 |
. . . . . . . . . . . 12
โข 1 โ
โ |
199 | 192, 198,
2 | adddii 11174 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((i
ยท i) ยท i) ยท (1 + i)) = ((((i ยท i) ยท i)
ยท 1) + (((i ยท i) ยท i) ยท i)) |
200 | 191, 2, 198 | mulassi 11173 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((i
ยท i) ยท i) ยท 1) = ((i ยท i) ยท (i ยท
1)) |
201 | 19 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((i
ยท i) ยท (i ยท 1)) = ((i ยท i) ยท
i) |
202 | 200, 201 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((i
ยท i) ยท i) ยท 1) = ((i ยท i) ยท
i) |
203 | 191, 2, 2 | mulassi 11173 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((i
ยท i) ยท i) ยท i) = ((i ยท i) ยท (i ยท
i)) |
204 | | rei4 40921 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((i
ยท i) ยท (i ยท i)) = 1 |
205 | 203, 204 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((i
ยท i) ยท i) ยท i) = 1 |
206 | 202, 205 | oveq12i 7374 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((i
ยท i) ยท i) ยท 1) + (((i ยท i) ยท i) ยท i))
= (((i ยท i) ยท i) + 1) |
207 | 199, 206 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . 10
โข (((i
ยท i) ยท i) ยท (1 + i)) = (((i ยท i) ยท i) +
1) |
208 | 190, 197,
207 | 3eqtr3g 2800 |
. . . . . . . . 9
โข ((0
ยท i) = (1 + i) โ (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) +
1)) |
209 | 54, 54 | readdcli 11177 |
. . . . . . . . . . 11
โข (1 + 1)
โ โ |
210 | | df-2 12223 |
. . . . . . . . . . . 12
โข 2 = (1 +
1) |
211 | | sn-0ne2 40904 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข 0 โ
2 |
212 | 211 | necomi 2999 |
. . . . . . . . . . . 12
โข 2 โ
0 |
213 | 210, 212 | eqnetrri 3016 |
. . . . . . . . . . 11
โข (1 + 1)
โ 0 |
214 | | ax-rrecex 11130 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((1 + 1)
โ โ โง (1 + 1) โ 0) โ โ๐ง โ โ ((1 + 1) ยท ๐ง) = 1) |
215 | 209, 213,
214 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . 10
โข
โ๐ง โ
โ ((1 + 1) ยท ๐ง) = 1 |
216 | 192, 198 | addcli 11168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((i
ยท i) ยท i) + 1) โ โ |
217 | 198, 2, 216 | addassi 11172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((1 + i)
+ (((i ยท i) ยท i) + 1)) = (1 + (i + (((i ยท i) ยท i) +
1))) |
218 | 2, 192, 198 | addassi 11172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((i + ((i
ยท i) ยท i)) + 1) = (i + (((i ยท i) ยท i) +
1)) |
219 | 218 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (1 + ((i
+ ((i ยท i) ยท i)) + 1)) = (1 + (i + (((i ยท i) ยท i) +
1))) |
220 | 2, 2, 2 | mulassi 11173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((i
ยท i) ยท i) = (i ยท (i ยท i)) |
221 | 220 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (i + ((i
ยท i) ยท i)) = (i + (i ยท (i ยท i))) |
222 | | ipiiie0 40935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (i + (i
ยท (i ยท i))) = 0 |
223 | 221, 222 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (i + ((i
ยท i) ยท i)) = 0 |
224 | 223 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((i + ((i
ยท i) ยท i)) + 1) = (0 + 1) |
225 | 224, 98 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((i + ((i
ยท i) ยท i)) + 1) = 1 |
226 | 225 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (1 + ((i
+ ((i ยท i) ยท i)) + 1)) = (1 + 1) |
227 | 217, 219,
226 | 3eqtr2i 2771 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((1 + i)
+ (((i ยท i) ยท i) + 1)) = (1 + 1) |
228 | 227 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โ ((1 + i) + (((i ยท i) ยท i) + 1)) = (1 +
1)) |
229 | 3, 198, 198 | adddii 11174 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((0
ยท i) ยท (1 + 1)) = (((0 ยท i) ยท 1) + ((0 ยท i)
ยท 1)) |
230 | 1, 2, 198 | mulassi 11173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((0
ยท i) ยท 1) = (0 ยท (i ยท 1)) |
231 | 19 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (0
ยท (i ยท 1)) = (0 ยท i) |
232 | 230, 231 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((0
ยท i) ยท 1) = (0 ยท i) |
233 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โ (0 ยท i) = (1 + i)) |
234 | 232, 233 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โ ((0 ยท i) ยท 1) = (1 + i)) |
235 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โ (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1)) |
236 | 232, 235 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โ ((0 ยท i) ยท 1) = (((i ยท i) ยท i) +
1)) |
237 | 234, 236 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โ (((0 ยท i) ยท 1) + ((0 ยท i) ยท 1)) = ((1 + i) +
(((i ยท i) ยท i) + 1))) |
238 | 229, 237 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โ ((0 ยท i) ยท (1 + 1)) = ((1 + i) + (((i ยท i) ยท
i) + 1))) |
239 | | remulid2 40931 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((1 + 1)
โ โ โ (1 ยท (1 + 1)) = (1 + 1)) |
240 | 209, 239 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โ (1 ยท (1 + 1)) = (1 + 1)) |
241 | 228, 238,
240 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โ ((0 ยท i) ยท (1 + 1)) = (1 ยท (1 +
1))) |
242 | 241 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โ (((0 ยท i) ยท (1 + 1)) ยท ๐ง) = ((1 ยท (1 + 1)) ยท ๐ง)) |
243 | 242 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โง (๐ง โ โ
โง ((1 + 1) ยท ๐ง)
= 1)) โ (((0 ยท i) ยท (1 + 1)) ยท ๐ง) = ((1 ยท (1 + 1)) ยท ๐ง)) |
244 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โง (๐ง โ โ
โง ((1 + 1) ยท ๐ง)
= 1)) โ (0 ยท i) โ โ) |
245 | | 1cnd 11157 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โง (๐ง โ โ
โง ((1 + 1) ยท ๐ง)
= 1)) โ 1 โ โ) |
246 | 245, 245 | addcld 11181 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โง (๐ง โ โ
โง ((1 + 1) ยท ๐ง)
= 1)) โ (1 + 1) โ โ) |
247 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โง (๐ง โ โ
โง ((1 + 1) ยท ๐ง)
= 1)) โ ๐ง โ
โ) |
248 | 247 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โง (๐ง โ โ
โง ((1 + 1) ยท ๐ง)
= 1)) โ ๐ง โ
โ) |
249 | 244, 246,
248 | mulassd 11185 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โง (๐ง โ โ
โง ((1 + 1) ยท ๐ง)
= 1)) โ (((0 ยท i) ยท (1 + 1)) ยท ๐ง) = ((0 ยท i) ยท ((1 + 1)
ยท ๐ง))) |
250 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โง (๐ง โ โ
โง ((1 + 1) ยท ๐ง)
= 1)) โ ((1 + 1) ยท ๐ง) = 1) |
251 | 250 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โง (๐ง โ โ
โง ((1 + 1) ยท ๐ง)
= 1)) โ ((0 ยท i) ยท ((1 + 1) ยท ๐ง)) = ((0 ยท i) ยท
1)) |
252 | 251, 232 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โง (๐ง โ โ
โง ((1 + 1) ยท ๐ง)
= 1)) โ ((0 ยท i) ยท ((1 + 1) ยท ๐ง)) = (0 ยท i)) |
253 | 249, 252 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โง (๐ง โ โ
โง ((1 + 1) ยท ๐ง)
= 1)) โ (((0 ยท i) ยท (1 + 1)) ยท ๐ง) = (0 ยท i)) |
254 | 245, 246,
248 | mulassd 11185 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โง (๐ง โ โ
โง ((1 + 1) ยท ๐ง)
= 1)) โ ((1 ยท (1 + 1)) ยท ๐ง) = (1 ยท ((1 + 1) ยท ๐ง))) |
255 | 250 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โง (๐ง โ โ
โง ((1 + 1) ยท ๐ง)
= 1)) โ (1 ยท ((1 + 1) ยท ๐ง)) = (1 ยท 1)) |
256 | | 1t1e1ALT 40807 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (1
ยท 1) = 1 |
257 | 255, 256 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โง (๐ง โ โ
โง ((1 + 1) ยท ๐ง)
= 1)) โ (1 ยท ((1 + 1) ยท ๐ง)) = 1) |
258 | 254, 257 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โง (๐ง โ โ
โง ((1 + 1) ยท ๐ง)
= 1)) โ ((1 ยท (1 + 1)) ยท ๐ง) = 1) |
259 | 243, 253,
258 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โง (๐ง โ โ
โง ((1 + 1) ยท ๐ง)
= 1)) โ (0 ยท i) = 1) |
260 | 259 | rexlimdvaa 3154 |
. . . . . . . . . 10
โข (((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โ (โ๐ง โ
โ ((1 + 1) ยท ๐ง) = 1 โ (0 ยท i) =
1)) |
261 | 215, 260 | mpi 20 |
. . . . . . . . 9
โข (((0
ยท i) = (1 + i) โง (0 ยท i) = (((i ยท i) ยท i) + 1))
โ (0 ยท i) = 1) |
262 | 208, 261 | mpdan 686 |
. . . . . . . 8
โข ((0
ยท i) = (1 + i) โ (0 ยท i) = 1) |
263 | 189, 262 | sylbi 216 |
. . . . . . 7
โข ((0
ยท i) = (1 + (i ยท 1)) โ (0 ยท i) = 1) |
264 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . 8
โข ((0
ยท i) = 1 โ (0 ยท (0 ยท i)) = (0 ยท
1)) |
265 | 116, 115 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . 8
โข (0
ยท (0 ยท i)) = (0 ยท i) |
266 | 264, 265,
148 | 3eqtr3g 2800 |
. . . . . . 7
โข ((0
ยท i) = 1 โ (0 ยท i) = 0) |
267 | 263, 266 | syl 17 |
. . . . . 6
โข ((0
ยท i) = (1 + (i ยท 1)) โ (0 ยท i) = 0) |
268 | 187, 267 | syl 17 |
. . . . 5
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โง ยฌ
(0 ยท i) = 0) โ (0 ยท i) = 0) |
269 | 268 | pm2.18da 799 |
. . . 4
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐))) โ (0
ยท i) = 0) |
270 | 269 | ex 414 |
. . 3
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ ((0
ยท i) = (๐ + (i
ยท ๐)) โ (0
ยท i) = 0)) |
271 | 270 | rexlimivv 3197 |
. 2
โข
(โ๐ โ
โ โ๐ โ
โ (0 ยท i) = (๐
+ (i ยท ๐)) โ (0
ยท i) = 0) |
272 | 3, 4, 271 | mp2b 10 |
1
โข (0
ยท i) = 0 |