Theorem renegneg 41587

Description: A real number is equal to the negative of its negative. Compare negneg 11515. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
renegneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem renegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rernegcl 41547	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
2		rernegcl 41547	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
5		renegid 41549	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)
6		elre0re 41478	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
7	5, 6	eqeltrd 2832	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
8		readdrid 41585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9		repncan3 41559	. . . . . 6 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = 0)
10	1, 6, 9	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = 0)
11	10	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)))) = (𝐴 + 0))
12		readdlid 41579	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
13	8, 11, 12	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)))) = (0 + 𝐴))
14		recn 11204	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
15	1	recnd 11247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
16	3	recnd 11247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	addassd 11241	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)))))
18	5	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
19	13, 17, 18	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴))
20		readdcan 11393	. . 3 ⊢ (((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴) ↔ (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴))
21	20	biimpa 476	. 2 ⊢ ((((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
22	3, 4, 7, 19, 21	syl31anc 1372	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℝcr 11113  0cc0 11114   + caddc 11117   −_ℝ cresub 41541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258  df-2 12280  df-3 12281  df-resub 41542

This theorem is referenced by:  rei4  41599  zmulcomlem  41631  zmulcom  41632  sn-0lt1  41638