Theorem renegneg 42504

Description: A real number is equal to the negative of its negative. Compare negneg 11411. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
renegneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem renegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rernegcl 42463	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
2		rernegcl 42463	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
5		renegid 42465	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)
6		elre0re 42346	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
7	5, 6	eqeltrd 2831	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
8		readdrid 42502	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9		repncan3 42475	. . . . . 6 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = 0)
10	1, 6, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = 0)
11	10	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)))) = (𝐴 + 0))
12		readdlid 42495	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
13	8, 11, 12	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)))) = (0 + 𝐴))
14		recn 11096	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
15	1	recnd 11140	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
16	3	recnd 11140	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	addassd 11134	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)))))
18	5	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
19	13, 17, 18	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴))
20		readdcan 11287	. . 3 ⊢ (((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴) ↔ (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴))
21	20	biimpa 476	. 2 ⊢ ((((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
22	3, 4, 7, 19, 21	syl31anc 1375	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006   + caddc 11009   −_ℝ cresub 42457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-2 12188  df-3 12189  df-resub 42458

This theorem is referenced by:  rei4  42516  zmulcomlem  42559  zmulcom  42560  sn-0lt1  42567