Theorem renegneg 42862

Description: A real number is equal to the negative of its negative. Compare negneg 11439. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
renegneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem renegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rernegcl 42821	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
2		rernegcl 42821	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
5		renegid 42823	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)
6		elre0re 42711	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
7	5, 6	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
8		readdrid 42860	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9		repncan3 42833	. . . . . 6 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = 0)
10	1, 6, 9	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = 0)
11	10	oveq2d 7378	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)))) = (𝐴 + 0))
12		readdlid 42853	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
13	8, 11, 12	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)))) = (0 + 𝐴))
14		recn 11123	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
15	1	recnd 11168	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
16	3	recnd 11168	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	addassd 11162	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)))))
18	5	oveq1d 7377	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
19	13, 17, 18	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴))
20		readdcan 11315	. . 3 ⊢ (((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴) ↔ (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴))
21	20	biimpa 476	. 2 ⊢ ((((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
22	3, 4, 7, 19, 21	syl31anc 1376	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  0cc0 11033   + caddc 11036   −_ℝ cresub 42815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-2 12239  df-3 12240  df-resub 42816

This theorem is referenced by:  rei4  42874  zmulcomlem  42930  zmulcom  42931  sn-0lt1  42938