Theorem renegneg 39971

Description: A real number is equal to the negative of its negative. Compare negneg 11014. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
renegneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem renegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rernegcl 39931	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
2		rernegcl 39931	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
5		renegid 39933	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)
6		elre0re 39867	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
7	5, 6	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
8		readdid1 39969	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9		repncan3 39943	. . . . . 6 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = 0)
10	1, 6, 9	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = 0)
11	10	oveq2d 7186	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)))) = (𝐴 + 0))
12		readdid2 39963	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
13	8, 11, 12	3eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)))) = (0 + 𝐴))
14		recn 10705	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
15	1	recnd 10747	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
16	3	recnd 10747	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	addassd 10741	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)))))
18	5	oveq1d 7185	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
19	13, 17, 18	3eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴))
20		readdcan 10892	. . 3 ⊢ (((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴) ↔ (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴))
21	20	biimpa 480	. 2 ⊢ ((((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
22	3, 4, 7, 19, 21	syl31anc 1374	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7170  ℝcr 10614  0cc0 10615   + caddc 10618   −_ℝ cresub 39925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-ltxr 10758  df-2 11779  df-3 11780  df-resub 39926

This theorem is referenced by:  rei4  39982  sn-0lt1  40009