Theorem renegneg 42904

Description: A real number is equal to the negative of its negative. Compare negneg 11439. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
renegneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem renegneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rernegcl 42863	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
2		rernegcl 42863	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
5		renegid 42865	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) = 0)
6		elre0re 42753	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
7	5, 6	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ)
8		readdrid 42902	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
9		repncan3 42875	. . . . . 6 ⊢ (((0 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = 0)
10	1, 6, 9	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = 0)
11	10	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)))) = (𝐴 + 0))
12		readdlid 42895	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
13	8, 11, 12	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)))) = (0 + 𝐴))
14		recn 11123	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
15	1	recnd 11168	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) ∈ ℂ)
16	3	recnd 11168	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	addassd 11162	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = (𝐴 + ((0 −ℝ 𝐴) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)))))
18	5	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
19	13, 17, 18	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴))
20		readdcan 11315	. . 3 ⊢ (((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴) ↔ (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴))
21	20	biimpa 478	. 2 ⊢ ((((0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴))) = ((𝐴 + (0 −ℝ 𝐴)) + 𝐴)) → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)
22	3, 4, 7, 19, 21	syl31anc 1382	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  0cc0 11033   + caddc 11036   −_ℝ cresub 42857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-2 12239  df-3 12240  df-resub 42858

This theorem is referenced by:  rei4  42916  zmulcomlem  42972  zmulcom  42973  sn-0lt1  42980