Theorem sn-negex12 40871

Description: A combination of cnegex 11336 and cnegex2 11337, this proof takes cnre 11152 𝐴 = 𝑟 + i · 𝑠 and shows that i · -𝑠 + -𝑟 is both a left and right inverse. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-negex12	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))

Distinct variable group:   𝐴,𝑏

Proof of Theorem sn-negex12

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11110	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
3		rernegcl 40826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑦) ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (0 −ℝ 𝑦)) ∈ ℂ)
6	5	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (0 −ℝ 𝑦)) ∈ ℂ)
7		rernegcl 40826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℂ)
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℂ)
10	6, 9	addcld 11174	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∈ ℂ)
11	10	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∈ ℂ)
12		eqeq1 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ↔ ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
13	12	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) → (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ↔ ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
14		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)))
15	11, 13, 14	rspcedvd 3583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)))
16	15	ralrimivva 3197	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)))
17		cnre 11152	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
18	16, 17	r19.29d2r 3137	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
19		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))))
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))))
21		recn 11141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
23	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
24		recn 11141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
26	23, 25	mulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
27	22, 26, 6	addassd 11177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦)))))
28		renegid 40828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦)) = 0)
29	28	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦))) = (i · 0))
30	2, 24, 4	adddid 11179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦))) = ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦))))
31		sn-it0e0 40870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i · 0) = 0
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · 0) = 0)
33	29, 30, 32	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 0)
34	33	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦)))) = (𝑥 + 0))
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦)))) = (𝑥 + 0))
36		readdid1 40864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
38	27, 35, 37	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 𝑥)
39	38	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 𝑥)
40	20, 39	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 𝑥)
41	40	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 + (i · (0 −ℝ 𝑦))) + (0 −ℝ 𝑥)) = (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)))
42		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℂ)
43	6	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (i · (0 −ℝ 𝑦)) ∈ ℂ)
44	9	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℂ)
45	42, 43, 44	addassd 11177	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 + (i · (0 −ℝ 𝑦))) + (0 −ℝ 𝑥)) = (𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
46		renegid 40828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)) = 0)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)) = 0)
48	47	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)) = 0)
49	41, 45, 48	3eqtr3d 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0)
50		oveq2 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴) = (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
51	22, 26	addcld 11174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
52	6, 9, 51	addassd 11177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
53	9, 22, 26	addassd 11177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
54	53	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦))) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
55		renegid2 40868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) = 0)
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) = 0)
57	56	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (0 + (i · 𝑦)))
58		sn-addid2 40859	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
59	26, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
60	57, 59	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
61	60	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦))) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)))
62	4	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑦) ∈ ℂ)
63	23, 62, 25	adddid 11179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)))
64		renegid2 40868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦) = 0)
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦) = 0)
66	65	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = (i · 0))
67	66, 31	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = 0)
68	61, 63, 67	3eqtr2d 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦))) = 0)
69	52, 54, 68	3eqtr2d 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
70	69	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
71	50, 70	sylan9eqr 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴) = 0)
72	49, 71	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴) = 0))
73		oveq2 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (𝐴 + 𝑏) = (𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
74	73	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((𝐴 + 𝑏) = 0 ↔ (𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0))
75		oveq1 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (𝑏 + 𝐴) = (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴))
76	75	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((𝑏 + 𝐴) = 0 ↔ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴) = 0))
77	74, 76	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0) ↔ ((𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴) = 0)))
78	72, 77	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
79	78	reximdv 3167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
80	79	expimpd 454	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
81	80	ancomsd 466	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
82	81	rexlimdvva 3205	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
83	18, 82	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056   −_ℝ cresub 40820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194  df-2 12216  df-3 12217  df-resub 40821

This theorem is referenced by:  sn-negex  40872  sn-negex2  40873  addinvcom  40886