Theorem sn-negex12 41591

Description: A combination of cnegex 11399 and cnegex2 11400, this proof takes cnre 11215 𝐴 = 𝑟 + i · 𝑠 and shows that i · -𝑠 + -𝑟 is both a left and right inverse. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-negex12	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))

Distinct variable group:   𝐴,𝑏

Proof of Theorem sn-negex12

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11171	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
3		rernegcl 41546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑦) ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (0 −ℝ 𝑦)) ∈ ℂ)
6	5	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (0 −ℝ 𝑦)) ∈ ℂ)
7		rernegcl 41546	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℂ)
9	8	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℂ)
10	6, 9	addcld 11237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∈ ℂ)
11	10	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∈ ℂ)
12		eqeq1 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ↔ ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
13	12	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) → (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ↔ ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
14		eqidd 2731	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)))
15	11, 13, 14	rspcedvd 3613	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)))
16	15	ralrimivva 3198	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)))
17		cnre 11215	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
18	16, 17	r19.29d2r 3138	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
19		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))))
20	19	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))))
21		recn 11202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
22	21	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
23	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
24		recn 11202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
25	24	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
26	23, 25	mulcld 11238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
27	22, 26, 6	addassd 11240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦)))))
28		renegid 41548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦)) = 0)
29	28	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦))) = (i · 0))
30	2, 24, 4	adddid 11242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦))) = ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦))))
31		sn-it0e0 41590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i · 0) = 0
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · 0) = 0)
33	29, 30, 32	3eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 0)
34	33	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦)))) = (𝑥 + 0))
35	34	adantl 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦)))) = (𝑥 + 0))
36		readdrid 41584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
37	36	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
38	27, 35, 37	3eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 𝑥)
39	38	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 𝑥)
40	20, 39	eqtrd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 𝑥)
41	40	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 + (i · (0 −ℝ 𝑦))) + (0 −ℝ 𝑥)) = (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)))
42		simpll 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℂ)
43	6	ad2antlr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (i · (0 −ℝ 𝑦)) ∈ ℂ)
44	9	ad2antlr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℂ)
45	42, 43, 44	addassd 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 + (i · (0 −ℝ 𝑦))) + (0 −ℝ 𝑥)) = (𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
46		renegid 41548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)) = 0)
47	46	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)) = 0)
48	47	ad2antlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)) = 0)
49	41, 45, 48	3eqtr3d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0)
50		oveq2 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴) = (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
51	22, 26	addcld 11237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
52	6, 9, 51	addassd 11240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
53	9, 22, 26	addassd 11240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
54	53	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦))) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
55		renegid2 41588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) = 0)
56	55	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) = 0)
57	56	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (0 + (i · 𝑦)))
58		sn-addlid 41579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
59	26, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
60	57, 59	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
61	60	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦))) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)))
62	4	adantl 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑦) ∈ ℂ)
63	23, 62, 25	adddid 11242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)))
64		renegid2 41588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦) = 0)
65	64	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦) = 0)
66	65	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = (i · 0))
67	66, 31	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = 0)
68	61, 63, 67	3eqtr2d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦))) = 0)
69	52, 54, 68	3eqtr2d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
70	69	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
71	50, 70	sylan9eqr 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴) = 0)
72	49, 71	jca 510	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴) = 0))
73		oveq2 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (𝐴 + 𝑏) = (𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
74	73	eqeq1d 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((𝐴 + 𝑏) = 0 ↔ (𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0))
75		oveq1 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (𝑏 + 𝐴) = (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴))
76	75	eqeq1d 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((𝑏 + 𝐴) = 0 ↔ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴) = 0))
77	74, 76	anbi12d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0) ↔ ((𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴) = 0)))
78	72, 77	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
79	78	reximdv 3168	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
80	79	expimpd 452	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
81	80	ancomsd 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
82	81	rexlimdvva 3209	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
83	18, 82	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3068  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  ici 11114   + caddc 11115   · cmul 11117   −_ℝ cresub 41540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-2 12279  df-3 12280  df-resub 41541

This theorem is referenced by:  sn-negex  41592  sn-negex2  41593  addinvcom  41606