Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-negex12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-negex12 42446
Description: A combination of cnegex 11442 and cnegex2 11443, this proof takes cnre 11258 𝐴 = 𝑟 + i · 𝑠 and shows that i · -𝑠 + -𝑟 is both a left and right inverse. (Contributed by SN, 5-May-2024.) (Proof shortened by SN, 4-Jul-2025.)
Assertion
Ref Expression
sn-negex12 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))
Distinct variable group:   𝐴,𝑏

Proof of Theorem sn-negex12
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11258 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))))
32eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ↔ ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))) = 0))
4 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
54eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → ((𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0 ↔ (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
63, 5anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → ((((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0) ↔ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)))
7 ax-icn 11214 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
9 rernegcl 42401 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
109recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (0 − 𝑦) ∈ ℂ)
118, 10mulcld 11281 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (0 − 𝑦)) ∈ ℂ)
1211adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (0 − 𝑦)) ∈ ℂ)
13 rernegcl 42401 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (0 − 𝑥) ∈ ℝ)
1413recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (0 − 𝑥) ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 − 𝑥) ∈ ℂ)
1612, 15addcld 11280 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) ∈ ℂ)
17 recn 11245 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
19 recn 11245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
208, 19mulcld 11281 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
2218, 21, 12addassd 11283 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 − 𝑦))) = (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 − 𝑦)))))
238, 19, 10adddid 11285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 − 𝑦))) = ((i · 𝑦) + (i · (0 − 𝑦))))
24 renegid 42403 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + (0 − 𝑦)) = 0)
2524oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 − 𝑦))) = (i · 0))
26 sn-it0e0 42445 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · 0) = 0
2725, 26eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 − 𝑦))) = 0)
2823, 27eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) + (i · (0 − 𝑦))) = 0)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · 𝑦) + (i · (0 − 𝑦))) = 0)
3029oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 − 𝑦)))) = (𝑥 + 0))
31 readdrid 42439 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
3322, 30, 323eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 − 𝑦))) = 𝑥)
3433oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 − 𝑦))) + (0 − 𝑥)) = (𝑥 + (0 − 𝑥)))
3518, 21addcld 11280 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
3635, 12, 15addassd 11283 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 − 𝑦))) + (0 − 𝑥)) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))))
37 renegid 42403 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (0 − 𝑥)) = 0)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (0 − 𝑥)) = 0)
3934, 36, 383eqtr3d 2785 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))) = 0)
4012, 15, 35addassd 11283 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((i · (0 − 𝑦)) + ((0 − 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
41 renegid2 42443 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ((0 − 𝑥) + 𝑥) = 0)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 − 𝑥) + 𝑥) = 0)
4342oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (0 + (i · 𝑦)))
4415, 18, 21addassd 11283 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = ((0 − 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
45 sn-addlid 42434 . . . . . . . . . . 11 ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
4621, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
4743, 44, 463eqtr3rd 2786 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) = ((0 − 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
4847oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = ((i · (0 − 𝑦)) + ((0 − 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
498, 10, 19adddid 11285 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (i · ((0 − 𝑦) + 𝑦)) = ((i · (0 − 𝑦)) + (i · 𝑦)))
50 renegid2 42443 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → ((0 − 𝑦) + 𝑦) = 0)
5150oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → (i · ((0 − 𝑦) + 𝑦)) = (i · 0))
5251, 26eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (i · ((0 − 𝑦) + 𝑦)) = 0)
5349, 52eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ((i · (0 − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = 0)
5453adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = 0)
5540, 48, 543eqtr2d 2783 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
5639, 55jca 511 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
576, 16, 56rspcedvdw 3625 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑏 ∈ ℂ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
5857adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∃𝑏 ∈ ℂ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
59 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 + 𝑏) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏))
6059eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐴 + 𝑏) = 0 ↔ ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0))
61 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝑏 + 𝐴) = (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))))
6261eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝑏 + 𝐴) = 0 ↔ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
6360, 62anbi12d 632 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0) ↔ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)))
6463rexbidv 3179 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0) ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)))
6558, 64syl5ibrcom 247 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
6665rexlimdvva 3213 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
671, 66mpd 15 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160   cresub 42395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-2 12329  df-3 12330  df-resub 42396
This theorem is referenced by:  sn-negex  42447  sn-negex2  42448  addinvcom  42461
  Copyright terms: Public domain W3C validator