Theorem sn-negex12 42587

Description: A combination of cnegex 11305 and cnegex2 11306, this proof takes cnre 11120 𝐴 = 𝑟 + i · 𝑠 and shows that i · -𝑠 + -𝑟 is both a left and right inverse. (Contributed by SN, 5-May-2024.) (Proof shortened by SN, 4-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sn-negex12	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))

Distinct variable group:   𝐴,𝑏

Proof of Theorem sn-negex12

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		oveq2 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
3	2	eqeq1d 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ↔ ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0))
4		oveq1 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
5	4	eqeq1d 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0 ↔ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
6	3, 5	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0) ↔ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)))
7		ax-icn 11076	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
9		rernegcl 42541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑦) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑦) ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcld 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (0 −ℝ 𝑦)) ∈ ℂ)
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (0 −ℝ 𝑦)) ∈ ℂ)
13		rernegcl 42541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℂ)
16	12, 15	addcld 11142	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∈ ℂ)
17		recn 11107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
19		recn 11107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
20	8, 19	mulcld 11143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
22	18, 21, 12	addassd 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦)))))
23	8, 19, 10	adddid 11147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦))) = ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦))))
24		renegid 42543	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦)) = 0)
25	24	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦))) = (i · 0))
26		sn-it0e0 42586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i · 0) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦))) = 0)
28	23, 27	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 0)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 0)
30	29	oveq2d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦)))) = (𝑥 + 0))
31		readdrid 42580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
33	22, 30, 32	3eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 𝑥)
34	33	oveq1d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) + (0 −ℝ 𝑥)) = (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)))
35	18, 21	addcld 11142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
36	35, 12, 15	addassd 11145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) + (0 −ℝ 𝑥)) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
37		renegid 42543	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)) = 0)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)) = 0)
39	34, 36, 38	3eqtr3d 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0)
40	12, 15, 35	addassd 11145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
41		renegid2 42584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) = 0)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) = 0)
43	42	oveq1d 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (0 + (i · 𝑦)))
44	15, 18, 21	addassd 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
45		sn-addlid 42574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
46	21, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
47	43, 44, 46	3eqtr3rd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) = ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
48	47	oveq2d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
49	8, 10, 19	adddid 11147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)))
50		renegid2 42584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦) = 0)
51	50	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = (i · 0))
52	51, 26	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = 0)
53	49, 52	eqtr3d 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)) = 0)
54	53	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)) = 0)
55	40, 48, 54	3eqtr2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
56	39, 55	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
57	6, 16, 56	rspcedvdw 3576	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑏 ∈ ℂ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
58	57	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∃𝑏 ∈ ℂ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
59		oveq1 7362	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 + 𝑏) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏))
60	59	eqeq1d 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐴 + 𝑏) = 0 ↔ ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0))
61		oveq2 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝑏 + 𝐴) = (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))))
62	61	eqeq1d 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝑏 + 𝐴) = 0 ↔ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
63	60, 62	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0) ↔ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)))
64	63	rexbidv 3157	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0) ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)))
65	58, 64	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
66	65	rexlimdvva 3190	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
67	1, 66	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016  0cc0 11017  ici 11019   + caddc 11020   · cmul 11022   −_ℝ cresub 42535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162  df-2 12199  df-3 12200  df-resub 42536

This theorem is referenced by:  sn-negex  42588  sn-negex2  42589  addinvcom  42602