Theorem sn-negex12 43063

Description: A combination of cnegex 11387 and cnegex2 11388, this proof takes cnre 11201 𝐴 = 𝑟 + i · 𝑠 and shows that i · -𝑠 + -𝑟 is both a left and right inverse. (Contributed by SN, 5-May-2024.) (Proof shortened by SN, 4-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sn-negex12	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))

Distinct variable group:   𝐴,𝑏

Proof of Theorem sn-negex12

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11201	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
3	2	eqeq1d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ↔ ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0))
4		oveq1 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
5	4	eqeq1d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0 ↔ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
6	3, 5	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0) ↔ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)))
7		ax-icn 11155	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
9		rernegcl 43017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑦) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑦) ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcld 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (0 −ℝ 𝑦)) ∈ ℂ)
12	11	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (0 −ℝ 𝑦)) ∈ ℂ)
13		rernegcl 43017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℂ)
15	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℂ)
16	12, 15	addcld 11224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∈ ℂ)
17		recn 11186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
18	17	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
19		recn 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
20	8, 19	mulcld 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
21	20	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
22	18, 21, 12	addassd 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦)))))
23	8, 19, 10	adddid 11229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦))) = ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦))))
24		renegid 43019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦)) = 0)
25	24	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦))) = (i · 0))
26		sn-it0e0 43062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i · 0) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦))) = 0)
28	23, 27	eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 0)
29	28	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 0)
30	29	oveq2d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦)))) = (𝑥 + 0))
31		readdrid 43056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
32	31	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
33	22, 30, 32	3eqtrd 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 𝑥)
34	33	oveq1d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) + (0 −ℝ 𝑥)) = (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)))
35	18, 21	addcld 11224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
36	35, 12, 15	addassd 11227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) + (0 −ℝ 𝑥)) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
37		renegid 43019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)) = 0)
38	37	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)) = 0)
39	34, 36, 38	3eqtr3d 2812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0)
40	12, 15, 35	addassd 11227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
41		renegid2 43060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) = 0)
42	41	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) = 0)
43	42	oveq1d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (0 + (i · 𝑦)))
44	15, 18, 21	addassd 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
45		sn-addlid 43050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
46	21, 45	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
47	43, 44, 46	3eqtr3rd 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) = ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
48	47	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
49	8, 10, 19	adddid 11229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)))
50		renegid2 43060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦) = 0)
51	50	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = (i · 0))
52	51, 26	eqtrdi 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = 0)
53	49, 52	eqtr3d 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)) = 0)
54	53	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)) = 0)
55	40, 48, 54	3eqtr2d 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
56	39, 55	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
57	6, 16, 56	rspcedvdw 3593	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑏 ∈ ℂ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
58	57	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∃𝑏 ∈ ℂ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
59		oveq1 7415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 + 𝑏) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏))
60	59	eqeq1d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐴 + 𝑏) = 0 ↔ ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0))
61		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝑏 + 𝐴) = (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))))
62	61	eqeq1d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝑏 + 𝐴) = 0 ↔ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
63	60, 62	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0) ↔ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)))
64	63	rexbidv 3195	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0) ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)))
65	58, 64	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
66	65	rexlimdvva 3228	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
67	1, 66	mpd 16	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  ici 11098   + caddc 11099   · cmul 11101   −_ℝ cresub 43011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-2 12299  df-3 12300  df-resub 43012

This theorem is referenced by:  sn-negex  43064  sn-negex2  43065  addinvcom  43078