Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-negex12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-negex12 42423
Description: A combination of cnegex 11440 and cnegex2 11441, this proof takes cnre 11256 𝐴 = 𝑟 + i · 𝑠 and shows that i · -𝑠 + -𝑟 is both a left and right inverse. (Contributed by SN, 5-May-2024.) (Proof shortened by SN, 4-Jul-2025.)
Assertion
Ref Expression
sn-negex12 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))
Distinct variable group:   𝐴,𝑏

Proof of Theorem sn-negex12
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11256 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))))
32eqeq1d 2737 . . . . . . 7 (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ↔ ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))) = 0))
4 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
54eqeq1d 2737 . . . . . . 7 (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → ((𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0 ↔ (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
63, 5anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → ((((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0) ↔ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)))
7 ax-icn 11212 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
9 rernegcl 42378 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
109recnd 11287 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (0 − 𝑦) ∈ ℂ)
118, 10mulcld 11279 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (0 − 𝑦)) ∈ ℂ)
1211adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (0 − 𝑦)) ∈ ℂ)
13 rernegcl 42378 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (0 − 𝑥) ∈ ℝ)
1413recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (0 − 𝑥) ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 − 𝑥) ∈ ℂ)
1612, 15addcld 11278 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) ∈ ℂ)
17 recn 11243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
19 recn 11243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
208, 19mulcld 11279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
2218, 21, 12addassd 11281 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 − 𝑦))) = (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 − 𝑦)))))
238, 19, 10adddid 11283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 − 𝑦))) = ((i · 𝑦) + (i · (0 − 𝑦))))
24 renegid 42380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + (0 − 𝑦)) = 0)
2524oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 − 𝑦))) = (i · 0))
26 sn-it0e0 42422 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · 0) = 0
2725, 26eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 − 𝑦))) = 0)
2823, 27eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) + (i · (0 − 𝑦))) = 0)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · 𝑦) + (i · (0 − 𝑦))) = 0)
3029oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 − 𝑦)))) = (𝑥 + 0))
31 readdrid 42416 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
3322, 30, 323eqtrd 2779 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 − 𝑦))) = 𝑥)
3433oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 − 𝑦))) + (0 − 𝑥)) = (𝑥 + (0 − 𝑥)))
3518, 21addcld 11278 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
3635, 12, 15addassd 11281 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 − 𝑦))) + (0 − 𝑥)) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))))
37 renegid 42380 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (0 − 𝑥)) = 0)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (0 − 𝑥)) = 0)
3934, 36, 383eqtr3d 2783 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))) = 0)
4012, 15, 35addassd 11281 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((i · (0 − 𝑦)) + ((0 − 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
41 renegid2 42420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ((0 − 𝑥) + 𝑥) = 0)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 − 𝑥) + 𝑥) = 0)
4342oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (0 + (i · 𝑦)))
4415, 18, 21addassd 11281 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = ((0 − 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
45 sn-addlid 42411 . . . . . . . . . . 11 ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
4621, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
4743, 44, 463eqtr3rd 2784 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) = ((0 − 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
4847oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = ((i · (0 − 𝑦)) + ((0 − 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
498, 10, 19adddid 11283 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (i · ((0 − 𝑦) + 𝑦)) = ((i · (0 − 𝑦)) + (i · 𝑦)))
50 renegid2 42420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → ((0 − 𝑦) + 𝑦) = 0)
5150oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → (i · ((0 − 𝑦) + 𝑦)) = (i · 0))
5251, 26eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (i · ((0 − 𝑦) + 𝑦)) = 0)
5349, 52eqtr3d 2777 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ((i · (0 − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = 0)
5453adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = 0)
5540, 48, 543eqtr2d 2781 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
5639, 55jca 511 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
576, 16, 56rspcedvdw 3625 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑏 ∈ ℂ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
5857adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∃𝑏 ∈ ℂ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
59 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 + 𝑏) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏))
6059eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐴 + 𝑏) = 0 ↔ ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0))
61 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝑏 + 𝐴) = (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))))
6261eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝑏 + 𝐴) = 0 ↔ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
6360, 62anbi12d 632 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0) ↔ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)))
6463rexbidv 3177 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0) ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)))
6558, 64syl5ibrcom 247 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
6665rexlimdvva 3211 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
671, 66mpd 15 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158   cresub 42372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-2 12327  df-3 12328  df-resub 42373
This theorem is referenced by:  sn-negex  42424  sn-negex2  42425  addinvcom  42438
  Copyright terms: Public domain W3C validator