Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-negex12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-negex12 39484
 Description: A combination of cnegex 10820 and cnegex2 10821, this proof takes cnre 10637 𝐴 = 𝑟 + i · 𝑠 and shows that i · -𝑠 + -𝑟 is both a left and right inverse. (Contributed by SN, 5-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-negex12 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))
Distinct variable group:   𝐴,𝑏

Proof of Theorem sn-negex12
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10595 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
21a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
3 rernegcl 39440 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
43recnd 10668 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (0 − 𝑦) ∈ ℂ)
52, 4mulcld 10660 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (0 − 𝑦)) ∈ ℂ)
65adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (0 − 𝑦)) ∈ ℂ)
7 rernegcl 39440 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (0 − 𝑥) ∈ ℝ)
87recnd 10668 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (0 − 𝑥) ∈ ℂ)
98adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 − 𝑥) ∈ ℂ)
106, 9addcld 10659 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) ∈ ℂ)
1110adantl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) ∈ ℂ)
12 eqeq1 2828 . . . . . 6 (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) ↔ ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))))
1312adantl 485 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))) → (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) ↔ ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))))
14 eqidd 2825 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)))
1511, 13, 14rspcedvd 3613 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)))
1615ralrimivva 3186 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)))
17 cnre 10637 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
1816, 17r19.29d2r 3327 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
19 oveq1 7157 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 + (i · (0 − 𝑦))) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 − 𝑦))))
2019adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 + (i · (0 − 𝑦))) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 − 𝑦))))
21 recn 10626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2221adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
24 recn 10626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
2524adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
2623, 25mulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
2722, 26, 6addassd 10662 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 − 𝑦))) = (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 − 𝑦)))))
28 renegid 39442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + (0 − 𝑦)) = 0)
2928oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 − 𝑦))) = (i · 0))
302, 24, 4adddid 10664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 − 𝑦))) = ((i · 𝑦) + (i · (0 − 𝑦))))
31 sn-it0e0 39483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · 0) = 0
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → (i · 0) = 0)
3329, 30, 323eqtr3d 2867 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) + (i · (0 − 𝑦))) = 0)
3433oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 − 𝑦)))) = (𝑥 + 0))
3534adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 − 𝑦)))) = (𝑥 + 0))
36 readdid1 39478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
3736adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
3827, 35, 373eqtrd 2863 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 − 𝑦))) = 𝑥)
3938ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 − 𝑦))) = 𝑥)
4020, 39eqtrd 2859 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 + (i · (0 − 𝑦))) = 𝑥)
4140oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 + (i · (0 − 𝑦))) + (0 − 𝑥)) = (𝑥 + (0 − 𝑥)))
42 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℂ)
436ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (i · (0 − 𝑦)) ∈ ℂ)
449ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (0 − 𝑥) ∈ ℂ)
4542, 43, 44addassd 10662 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 + (i · (0 − 𝑦))) + (0 − 𝑥)) = (𝐴 + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))))
46 renegid 39442 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (0 − 𝑥)) = 0)
4746adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (0 − 𝑥)) = 0)
4847ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑥 + (0 − 𝑥)) = 0)
4941, 45, 483eqtr3d 2867 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))) = 0)
50 oveq2 7158 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + 𝐴) = (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
5122, 26addcld 10659 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
526, 9, 51addassd 10662 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((i · (0 − 𝑦)) + ((0 − 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
539, 22, 26addassd 10662 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = ((0 − 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
5453oveq2d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 − 𝑦)) + (((0 − 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦))) = ((i · (0 − 𝑦)) + ((0 − 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
55 renegid2 39482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → ((0 − 𝑥) + 𝑥) = 0)
5655adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 − 𝑥) + 𝑥) = 0)
5756oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (0 + (i · 𝑦)))
58 sn-addid2 39473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
5926, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
6057, 59eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 − 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
6160oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 − 𝑦)) + (((0 − 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦))) = ((i · (0 − 𝑦)) + (i · 𝑦)))
624adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 − 𝑦) ∈ ℂ)
6323, 62, 25adddid 10664 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · ((0 − 𝑦) + 𝑦)) = ((i · (0 − 𝑦)) + (i · 𝑦)))
64 renegid2 39482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → ((0 − 𝑦) + 𝑦) = 0)
6564adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 − 𝑦) + 𝑦) = 0)
6665oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · ((0 − 𝑦) + 𝑦)) = (i · 0))
6766, 31syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · ((0 − 𝑦) + 𝑦)) = 0)
6861, 63, 673eqtr2d 2865 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 − 𝑦)) + (((0 − 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦))) = 0)
6952, 54, 683eqtr2d 2865 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
7069adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
7150, 70sylan9eqr 2881 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + 𝐴) = 0)
7249, 71jca 515 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + 𝐴) = 0))
73 oveq2 7158 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → (𝐴 + 𝑏) = (𝐴 + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))))
7473eqeq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → ((𝐴 + 𝑏) = 0 ↔ (𝐴 + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))) = 0))
75 oveq1 7157 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → (𝑏 + 𝐴) = (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + 𝐴))
7675eqeq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → ((𝑏 + 𝐴) = 0 ↔ (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + 𝐴) = 0))
7774, 76anbi12d 633 . . . . . . 7 (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → (((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0) ↔ ((𝐴 + ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) + 𝐴) = 0)))
7872, 77syl5ibrcom 250 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
7978reximdv 3266 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
8079expimpd 457 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥))) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
8180ancomsd 469 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
8281rexlimdvva 3287 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 − 𝑦)) + (0 − 𝑥)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
8318, 82mpd 15 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3134  (class class class)co 7150  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536  ici 10538   + caddc 10539   · cmul 10541   −ℝ cresub 39434 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-2 11700  df-3 11701  df-resub 39435 This theorem is referenced by:  sn-negex  39485  sn-negex2  39486  addinvcom  39498
 Copyright terms: Public domain W3C validator