Theorem sn-negex12 42459

Description: A combination of cnegex 11416 and cnegex2 11417, this proof takes cnre 11232 𝐴 = 𝑟 + i · 𝑠 and shows that i · -𝑠 + -𝑟 is both a left and right inverse. (Contributed by SN, 5-May-2024.) (Proof shortened by SN, 4-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sn-negex12	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))

Distinct variable group:   𝐴,𝑏

Proof of Theorem sn-negex12

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
3	2	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ↔ ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0))
4		oveq1 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
5	4	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0 ↔ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
6	3, 5	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0) ↔ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)))
7		ax-icn 11188	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
9		rernegcl 42414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑦) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑦) ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcld 11255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (0 −ℝ 𝑦)) ∈ ℂ)
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (0 −ℝ 𝑦)) ∈ ℂ)
13		rernegcl 42414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℂ)
16	12, 15	addcld 11254	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∈ ℂ)
17		recn 11219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
19		recn 11219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
20	8, 19	mulcld 11255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
22	18, 21, 12	addassd 11257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦)))))
23	8, 19, 10	adddid 11259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦))) = ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦))))
24		renegid 42416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦)) = 0)
25	24	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦))) = (i · 0))
26		sn-it0e0 42458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i · 0) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦))) = 0)
28	23, 27	eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 0)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 0)
30	29	oveq2d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦)))) = (𝑥 + 0))
31		readdrid 42452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
33	22, 30, 32	3eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 𝑥)
34	33	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) + (0 −ℝ 𝑥)) = (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)))
35	18, 21	addcld 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
36	35, 12, 15	addassd 11257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) + (0 −ℝ 𝑥)) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
37		renegid 42416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)) = 0)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)) = 0)
39	34, 36, 38	3eqtr3d 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0)
40	12, 15, 35	addassd 11257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
41		renegid2 42456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) = 0)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) = 0)
43	42	oveq1d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (0 + (i · 𝑦)))
44	15, 18, 21	addassd 11257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
45		sn-addlid 42447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
46	21, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
47	43, 44, 46	3eqtr3rd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) = ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
48	47	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
49	8, 10, 19	adddid 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)))
50		renegid2 42456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦) = 0)
51	50	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = (i · 0))
52	51, 26	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = 0)
53	49, 52	eqtr3d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)) = 0)
54	53	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)) = 0)
55	40, 48, 54	3eqtr2d 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
56	39, 55	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 + (i · 𝑦)) + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
57	6, 16, 56	rspcedvdw 3604	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑏 ∈ ℂ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
58	57	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∃𝑏 ∈ ℂ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
59		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 + 𝑏) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏))
60	59	eqeq1d 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝐴 + 𝑏) = 0 ↔ ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0))
61		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝑏 + 𝐴) = (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))))
62	61	eqeq1d 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝑏 + 𝐴) = 0 ↔ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
63	60, 62	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0) ↔ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)))
64	63	rexbidv 3164	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0) ↔ ∃𝑏 ∈ ℂ (((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)))
65	58, 64	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
66	65	rexlimdvva 3198	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
67	1, 66	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  ici 11131   + caddc 11132   · cmul 11134   −_ℝ cresub 42408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-2 12303  df-3 12304  df-resub 42409

This theorem is referenced by:  sn-negex  42460  sn-negex2  42461  addinvcom  42474