Theorem sn-negex12 41592

Description: A combination of cnegex 11400 and cnegex2 11401, this proof takes cnre 11216 𝐴 = 𝑟 + i · 𝑠 and shows that i · -𝑠 + -𝑟 is both a left and right inverse. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-negex12	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))

Distinct variable group:   𝐴,𝑏

Proof of Theorem sn-negex12

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
3		rernegcl 41547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑦) ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (0 −ℝ 𝑦)) ∈ ℂ)
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · (0 −ℝ 𝑦)) ∈ ℂ)
7		rernegcl 41547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℂ)
10	6, 9	addcld 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∈ ℂ)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∈ ℂ)
12		eqeq1 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ↔ ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) → (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ↔ ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
14		eqidd 2732	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)))
15	11, 13, 14	rspcedvd 3614	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)))
16	15	ralrimivva 3199	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)))
17		cnre 11216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
18	16, 17	r19.29d2r 3139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
19		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))))
21		recn 11204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
23	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
24		recn 11204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
26	23, 25	mulcld 11239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
27	22, 26, 6	addassd 11241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦)))))
28		renegid 41549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦)) = 0)
29	28	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦))) = (i · 0))
30	2, 24, 4	adddid 11243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (𝑦 + (0 −ℝ 𝑦))) = ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦))))
31		sn-it0e0 41591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i · 0) = 0
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · 0) = 0)
33	29, 30, 32	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 0)
34	33	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦)))) = (𝑥 + 0))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + ((i · 𝑦) + (i · (0 −ℝ 𝑦)))) = (𝑥 + 0))
36		readdrid 41585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
38	27, 35, 37	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 𝑥)
39	38	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 𝑥)
40	20, 39	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 + (i · (0 −ℝ 𝑦))) = 𝑥)
41	40	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 + (i · (0 −ℝ 𝑦))) + (0 −ℝ 𝑥)) = (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)))
42		simpll 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℂ)
43	6	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (i · (0 −ℝ 𝑦)) ∈ ℂ)
44	9	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (0 −ℝ 𝑥) ∈ ℂ)
45	42, 43, 44	addassd 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 + (i · (0 −ℝ 𝑦))) + (0 −ℝ 𝑥)) = (𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
46		renegid 41549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)) = 0)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)) = 0)
48	47	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑥 + (0 −ℝ 𝑥)) = 0)
49	41, 45, 48	3eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0)
50		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴) = (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
51	22, 26	addcld 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
52	6, 9, 51	addassd 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
53	9, 22, 26	addassd 11241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦))))
54	53	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦))) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + ((0 −ℝ 𝑥) + (𝑥 + (i · 𝑦)))))
55		renegid2 41589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) = 0)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) = 0)
57	56	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (0 + (i · 𝑦)))
58		sn-addlid 41580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
59	26, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
60	57, 59	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
61	60	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦))) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)))
62	4	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝑦) ∈ ℂ)
63	23, 62, 25	adddid 11243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (i · 𝑦)))
64		renegid2 41589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦) = 0)
65	64	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦) = 0)
66	65	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = (i · 0))
67	66, 31	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (i · ((0 −ℝ 𝑦) + 𝑦)) = 0)
68	61, 63, 67	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (((0 −ℝ 𝑥) + 𝑥) + (i · 𝑦))) = 0)
69	52, 54, 68	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
70	69	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
71	50, 70	sylan9eqr 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴) = 0)
72	49, 71	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴) = 0))
73		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (𝐴 + 𝑏) = (𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))))
74	73	eqeq1d 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((𝐴 + 𝑏) = 0 ↔ (𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0))
75		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (𝑏 + 𝐴) = (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴))
76	75	eqeq1d 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((𝑏 + 𝐴) = 0 ↔ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴) = 0))
77	74, 76	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → (((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0) ↔ ((𝐴 + ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) = 0 ∧ (((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) + 𝐴) = 0)))
78	72, 77	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
79	78	reximdv 3169	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
80	79	expimpd 453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥))) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
81	80	ancomsd 465	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
82	81	rexlimdvva 3210	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (∃𝑏 ∈ ℂ 𝑏 = ((i · (0 −ℝ 𝑦)) + (0 −ℝ 𝑥)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0)))
83	18, 82	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑏 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑏) = 0 ∧ (𝑏 + 𝐴) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069  (class class class)co 7412  ℂcc 11112  ℝcr 11113  0cc0 11114  ici 11116   + caddc 11117   · cmul 11119   −_ℝ cresub 41541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258  df-2 12280  df-3 12281  df-resub 41542

This theorem is referenced by:  sn-negex  41593  sn-negex2  41594  addinvcom  41607